?01 前言
當(dāng)你看到這個題目時有沒有產(chǎn)生這樣的疑惑：
啥，成年人還要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)芦倒，有必要嗎艺挪？只要懂小學(xué)的加減乘除，再懂點比例之類的概念就足夠了熙暴，學(xué)這么多復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識簡直是在浪費生命闺属。
曾經(jīng)作為數(shù)學(xué)老師的我，雖然一直認(rèn)為成人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)很有用周霉，但是到底有啥用我也說不好掂器。
所以笛卡爾有句話說的對：
人一生當(dāng)中應(yīng)該至少有一次給你的思想洗一次澡。
要想搞清楚成年人如何學(xué)數(shù)學(xué)俱箱，首先要搞清楚成年人為啥要學(xué)數(shù)學(xué)国瓮。
02? ?成年人學(xué)數(shù)學(xué)有啥用？
成年人的世界總是與問題為伴狞谱。
當(dāng)面對一個嶄新的問題時乃摹，你通常解決問題的思維方式是什么？
此處不妨停頓十秒鐘跟衅，想一想孵睬。
我的第一反應(yīng)是依靠過去的經(jīng)驗，如果經(jīng)驗搞不定伶跷，我就會去找想對應(yīng)的案例或者尋找高手指點迷津掰读。
直到我聽了混沌大學(xué)善友教授的創(chuàng)新理論課，我有了全新的思考叭莫。
混沌理論課把人的認(rèn)知分為四個層次蹈集，如圖：
就和爬樓一樣，一樓是感性思維雇初，是用過去的經(jīng)驗信息處理問題拢肆，比如我的第一反應(yīng)，這也是絕大多數(shù)人都會用的思維方式靖诗。
二樓是理性思維郭怪，是用思維模型去解決問題。所謂思維模型呻畸，在我看來就是被驗證過的一套打法去解決問題移盆，就像我找成功案例和找高手請教一樣，其本質(zhì)是一種對標(biāo)思維伤为。
對標(biāo)其實是很厲害的一種思維咒循，高手總是對標(biāo)最厲害的人据途。
畢加索曾經(jīng)就說過：Good artists copy, great artists steal? ( 優(yōu)秀者模仿，偉大者剽竊）
還有沒有比對標(biāo)思維更加厲害的呢叙甸？還真有颖医，三樓叫做哲科思維。
什么叫哲科思維呢裆蒸？
要想深入理解哲科思維熔萧，必須與另外一個概念做對比，這個概念叫做技藝思維僚祷。
技藝思維：古老東方文明佛致，是經(jīng)驗的試錯法，實踐操作在先辙谜，經(jīng)驗總結(jié)在后俺榆，典型的歸納法思維
哲科思維：近代西方文明，是邏輯的試錯法装哆，邏輯假設(shè)在先罐脊，實踐檢驗在后，典型的演繹法思維
說的通俗點蜕琴，技藝思維（一樓和二樓）是把行動之后的總結(jié)奉為圭臬萍桌，來指導(dǎo)自己的行動；哲科思維是從這個世界最基本的原理出發(fā)凌简，來指導(dǎo)自己的行動上炎。
一個以事實為“一”，一個以邏輯為“一”雏搂。
這些最基本的原理也被稱之為第一性原理反症，它是哲科思維上的王冠。
這樣說還是比較抽象畔派，舉一個埃隆·馬斯克的例子：
埃隆·馬斯克想要發(fā)射載人飛船，但是載人飛船控制器的成本總計1.4億人民幣润绵，這簡直是天價线椰！馬斯克沒有放棄，他從物理學(xué)的第一性原理出發(fā)尘盼，拆分到足夠細(xì)憨愉，用工業(yè)級的器件通過組合創(chuàng)新制作昂貴的宇宙級器件，價格只有2.6萬人民幣,極大的降低了生產(chǎn)的成本卿捎。
這是多少倍的差距配紫？1.4億/2.6萬=5384倍.
這個例子給了我很大的震撼，如果埃隆·馬斯克只是尋求已知的答案午阵，他就不可能有這樣的創(chuàng)新躺孝。這就是第一性原理的魅力：
邏輯上成立的享扔，事實上一定成立。
于是我想植袍，既然物理學(xué)的第一性原理可以指導(dǎo)實踐發(fā)揮這么大的功效惧眠，數(shù)學(xué)是不是也可以呢？
任何事情只要在邏輯上成立于个，必然在現(xiàn)實中發(fā)生氛魁。如果這個前提成立，那就可以找到數(shù)學(xué)中的底層原理秀存，來指導(dǎo)現(xiàn)實生活。
饒了這么一個大圈羽氮，就是想說明這件事或链。
成年人學(xué)數(shù)學(xué)到底有什么用？
不是為了學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容乏苦，而是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維方式.一元二次方程或者向量都只是鍛煉思維的工具而已株扛。
成年人學(xué)數(shù)學(xué)，是為了看似不可能的事情保存一分希望的火種;
成年人學(xué)數(shù)學(xué)汇荐，是因為大多數(shù)的我們從來不懂這種思維方式洞就。
正如馬斯克所言：
我認(rèn)為普通人的思維方式被傳統(tǒng)和過去的經(jīng)驗束縛太多了，人們幾乎不從第一性原理的基礎(chǔ)上思考任何問題掀淘。他們會說：我們這么做旬蟋，因為我們過去都是這么做的，或者“沒人這么做革娄，所以這么做肯定不對倾贰。”
03? 成年人該如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)拦惋？
講真的匆浙，我沒有標(biāo)準(zhǔn)答案。
因為對初中數(shù)學(xué)還比較熟悉厕妖，我做的就是首尼，找到我認(rèn)為可以應(yīng)用在生活中的數(shù)學(xué)思維方法，但要提前說明言秸，我并沒有做到软能，我現(xiàn)在只是想到。
如果你還感興趣举畸，歡迎繼續(xù)往下閱讀查排。
思維1：概念理解
概念學(xué)習(xí)是我們學(xué)習(xí)新知識的不二法門，從數(shù)學(xué)概念的展示可以得到諸多啟發(fā)抄沮，可以遷移到其他領(lǐng)域：
1）概念由來跋核，由已知到未知
比如根號2 到底是怎么來的岖瑰。
2）概念嚴(yán)謹(jǐn)性
例如一元一次方程的概念：含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的等式叫做方程了罪。三個條件缺一不可锭环。
3）概念之間的聯(lián)系性
數(shù)學(xué)概念緊密聯(lián)系，具有高度可壓縮性泊藕，一個概念聽不懂可能后邊100個概念都理解不透徹辅辩。反之，學(xué)習(xí)一個知識=等于100個知識娃圆。
4）概念的應(yīng)用場景
例題和練習(xí)題就是新概念最好的應(yīng)用場景玫锋，是最好的舉例。
……
概念學(xué)習(xí)看似簡單讼呢，實際奧妙無窮撩鹿。
如果不能用自己的話清晰的表達(dá)出概念的意思，實際上就沒有真正理解悦屏；如果不知道概念之間的聯(lián)系性节沦，就不知道同類知識之間的連接，就無法構(gòu)建體系化的知識大廈础爬；如果不知道概念的由來甫贯，就不動知識的生成與成長；如果不會做題目看蚜，就無法發(fā)揮概念的功效叫搁。
概念學(xué)習(xí)，牽一發(fā)而動全身供炎。
思維2：看透本質(zhì)
例如：-1渴逻，0，3音诫，8惨奕，15，24竭钝，35墓贿，48，63蜓氨，80，99……
以上的數(shù)字之間有什么聯(lián)系嗎队伟？如果你對于數(shù)字特別敏感就會發(fā)現(xiàn)穴吹，上面的數(shù)是平方數(shù)減去1之后得到的數(shù)字，可以表示為 n2-1 .
從具體的數(shù)字到抽象的字母嗜侮，從看似復(fù)雜的現(xiàn)象到簡潔優(yōu)美的規(guī)律港令，這就叫看透本質(zhì)啥容。
可以理解為發(fā)現(xiàn)現(xiàn)象（事物）背后的規(guī)律。這樣看來顷霹，整個數(shù)學(xué)大廈都是在探尋這樣的規(guī)律咪惠。
看透本質(zhì)應(yīng)該成為一種下意識。當(dāng)我們在生活中看到一種新的現(xiàn)象時淋淀，就要思考其背后的原理是什么遥昧。比如最近房價持續(xù)上漲就是不跌其背后的經(jīng)濟(jì)學(xué)原理是什么。
高手的特征是能在本質(zhì)和現(xiàn)象之間來回穿梭朵纷。
思維3：抓住因果
一花一菩提炭臭，一葉一世界。
有因必有果袍辞，有果必有因鞋仍。由因生果，因果歷然搅吁。
數(shù)學(xué)中專門有一門研究因與果的學(xué)問叫函數(shù)威创。是的，就是那個讓無數(shù)莘莘學(xué)子為之頭疼不已乃至輾轉(zhuǎn)反側(cè)的函數(shù)谎懦。
我的一個學(xué)生曾經(jīng)問過我：老師肚豺，學(xué)函數(shù)有啥用處啊党瓮？
我的回答是：學(xué)函數(shù)當(dāng)然有用详炬，而且是大用，它可以讓我們更好的理解這個世界寞奸。
速度一定時呛谜，路程和時間的關(guān)系是一次函數(shù)，它研究的是線性增長枪萄；
但我們真正的世界卻是非線性的隐岛，比如指數(shù)函數(shù)。
眾所周知瓷翻，巴菲特的財富就非常符合指數(shù)增長（復(fù)利法則）聚凹，難道這是巧合嗎？事實是因為他在7歲時就明白了這個道理齐帚，并且一直通過行動證明妒牙，直至達(dá)成。
所以指數(shù)增長是可以被設(shè)計出來的对妄，這個過程就是數(shù)學(xué)的第一性原理運用湘今。
思維4：以小見大
如今的社會是一個信息過載的社會，生活中充斥的各類信息如同滔滔江水剪菱，如果我們無法把握住有用的信息摩瞎，就會在洶涌的信息洪流中迷失方向拴签，被裹挾著偏離初衷。
所以旗们，這就要求我們具備一種能力蚓哩，對龐大數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，并從中挑選最有意義的信息上渴。由局部信息推到整體岸梨，這就是以小見大，這是統(tǒng)計學(xué)施展拳腳的地方驰贷。
比如只需一勺就知道整鍋湯的味道如何盛嘿，只要做個抽樣調(diào)查即可。
思維5：尋找周期
日有東升西落括袒，月有陰晴圓缺次兆，年有春夏秋冬。
仔細(xì)觀察我們很容易發(fā)現(xiàn)锹锰，周期性是諸多事物發(fā)展的規(guī)律芥炭。周期性，也稱循環(huán)變動恃慧，是隨著時間呈現(xiàn)出來的圍繞長期趨勢的一種波浪形或振蕩式變動园蝠。數(shù)學(xué)中比較典型的周期就是正余弦波。
周期性給我最大的啟發(fā)是事物每隔一段時間都要進(jìn)行重復(fù)痢士。一旦重復(fù)就可以參考彪薛。正如馬克吐溫那句至理名言：
歷史不會重演，但總會押韻怠蹂。
能把每一天過得圓滿善延，就能把一生過得燦爛。每一天就是一個小周期城侧。
有了周期性易遣，就可以研究事物發(fā)展的規(guī)律，就像開了一雙天眼嫌佑，未卜先知豆茫。
尋找周期，要成為一種本能屋摇。
思維6：尋找對稱
數(shù)學(xué)之美揩魂，美在對稱。
軸對稱炮温、中心對稱火脉、旋轉(zhuǎn)對稱。
對稱之美源于自然，是客觀存在于宇宙之中忘分，在日常生活中處處都可見。對稱之所以為美白修，這是視覺美的天性使然妒峦。而中國人對于自然的崇尚，更反映在對稱美的普遍運用之上兵睛。
對稱的事物能給人一種“安靜”的嚴(yán)肅感肯骇，蘊含著平衡、穩(wěn)定之美祖很。
單一的個體笛丙，通過對稱，可以創(chuàng)造新的事物假颇。這本身就是一種創(chuàng)新胚鸯。
所以不妨嘗試思考：一件事物它的對稱面是什么。
思維7：等值替換
等值替換笨鸡，顧名思義姜钳，同等的事物可以相互替換。
最簡單的例子:若a=b,b=c,則a=c.
看似簡單形耗，但等值替換的思想貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終哥桥，是一種轉(zhuǎn)化的思想，應(yīng)用范圍極廣激涤。幾何證明中等值替換幾乎每每用到拟糕。
等值替換還有一種變形，不僅可以通過相等的替換倦踢，還可以通過和差替換送滞。例如下圖中求陰影部分的面積，就是通過圓的面積和三角形面積之差獲得硼一。
等值替換的本質(zhì)就是一種轉(zhuǎn)換累澡。轉(zhuǎn)換告訴我們遇到問題不要執(zhí)于一隅，打開思維尋找替換般贼，說不定能看到新的天地愧哟。
永遠(yuǎn)記得，凡事必有三種解決方案哼蛆。
思維8：逆向思維
逆向思維蕊梧，是對已經(jīng)司空見慣的似乎已成定論的事物或觀點反過來思考的一種思維方式。敢于“反其道而思之”腮介，讓思維向?qū)α⒚娴姆较虬l(fā)展肥矢，從問題的相反面深入地進(jìn)行探索，樹立新思想，創(chuàng)立新形象甘改。
司馬光砸缸的故事想必大家耳熟能詳旅东，它就是一種逆向思維，不是讓人離水十艾，而是讓水離缸抵代。
數(shù)學(xué)中逆向思維應(yīng)用很廣，最典型的例子就是反證法忘嫉。
反證法：①對想要證明的事物荤牍，先進(jìn)行否定假設(shè)；②再從中找到自相矛盾的地方庆冕。
舉個例子康吵，前邊說可以設(shè)計指數(shù)式的發(fā)展，如果這時候有人跟你說做不到访递。你就可以回?fù)羲赫垎柣耷叮阌腥魏卧砟軌蜃C明做不到嗎？也就是對立面是無法證明為真力九，那就有可能做到耍铜。
逆向思維有很多方向：
因果逆向：倒因為果、倒果為因跌前，看看是否會發(fā)生新的創(chuàng)造棕兼。
缺點逆向：比如可以思考如何發(fā)揮缺點的優(yōu)勢，而不是避免缺點抵乓。私以為混沌理論中“低端顛覆”就是逆向思維的極致體現(xiàn)伴挚。
……
查理·芒格說：反過來想，總是反過來想灾炭。逆向思維至少可以多出50%的思路茎芋。
思維9：以終為始
以終為始是斯蒂芬·柯維在《高效能人士的七個習(xí)慣》中提到的第二個習(xí)慣：
先在腦海里醞釀，然后進(jìn)行實質(zhì)創(chuàng)造蜈出，換句話說田弥，就是想清楚了目標(biāo)，然后努力實現(xiàn)之铡原。
而其實偷厦，以終為始在幾千年前的數(shù)學(xué)中早已體現(xiàn)的淋漓盡致。初中數(shù)學(xué)的很多解題思路都是以終為始燕刻，最典型的當(dāng)屬幾何證明只泼。
幾何證明的思路一般是這樣：
（1）根據(jù)已知結(jié)論，追溯上一步是什么卵洗，要證A,必先證明B ;要證明B请唱，必先證明C;
? (2)? 閱讀題目，分析條件，把所有已知條件標(biāo)準(zhǔn)到圖中十绑；
（3）把由已知條件可以直接推出的條件也標(biāo)注出來聚至；
（4）再按照倒推的思路證明出C。一般這個過程會有難點本橙，這就是需要著重攻克的地方晚岭。
想想我們的人生與幾何證明題何其相似。首先必須得清晰自己的目標(biāo)勋功，然后再一步步拆解目標(biāo)。下一步就是分析當(dāng)下自己的條件库说，可以做到什么樣的程度狂鞋。再按照拆解目標(biāo)的要求一步步去拼搏。
以終為始是絕對的高手思維：巴菲特在7歲時就確立了財富自由的目標(biāo)潜的，幾十年如一日打造復(fù)利增長曲線骚揍；山姆·沃爾頓永遠(yuǎn)設(shè)定高的目標(biāo)，每天為之無所不用其極的奮斗啰挪，最終建立零售商業(yè)帝國信不；孫正義20歲之前設(shè)定了一生的目標(biāo)，然后以終為始亡呵，瘋狂達(dá)成目標(biāo)抽活。
不謀全局者不足以謀一域，不謀萬世者不足以謀一時锰什，不謀終局者不足以謀開局下硕。
以終為始，厲害的人會在終點等你汁胆。
04? 小結(jié)
以上是我的一些思考和探索梭姓，肯定有許多不完善的地方，這是我百分百確定的：
首先嫩码，對于數(shù)學(xué)思維的闡述不夠嚴(yán)謹(jǐn)誉尖，甚至不準(zhǔn)確，更多的是我的個人感受铸题；
其次铡恕，我現(xiàn)在也只是意識到了這件事，我也沒有體會到數(shù)學(xué)思維真正發(fā)揮作用的喜悅回挽。
但我還是想寫出來没咙，否則這些內(nèi)容也不會有。
如果哪怕有一個點對你有所啟發(fā)千劈，我就會非常開心祭刚。如果你也有好的想法，歡迎一起探討交流。
最后涡驮，用一段話結(jié)束本篇：
無論遇到任何問題暗甥，你都可以搜集線索（解題條件），明確目標(biāo)（待解問題）捉捅，運用邏輯判斷分析能力（計算過程）來加以解決撤防。
在確定問題得到解決之后，你還可以將具體的事情加以抽象分析棒口，從而得出經(jīng)驗寄月，并根據(jù)經(jīng)驗歸納出合適的解決辦法，以備以后遇到類似問題時參考无牵。
這就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)真正的用意漾肮。
以上，所有茎毁。
參考書目：
1克懊、永野裕之《寫給全人類的數(shù)學(xué)魔法書》
2、永野裕之《數(shù)學(xué)好的人是如何思考的》
3七蜘、永野裕之《如何喚醒數(shù)學(xué)腦》
