立體幾何之目：2019文數(shù)B17~四棱柱與四棱錐

2019年文數(shù)全國(guó)卷B題17

17.（12分）

如圖哮缺，長(zhǎng)方體 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的底面 $ABCD$ 是正方形赞警，點(diǎn) $E$ 在棱 $AA_1$ 上妓忍， $BE \perp EC_1.$

（1）證明∶ $BE \perp$ 平面 $EB_1C_1$ ;

（2）若 $AE=A_1E, AB=3$ ，求四棱錐 $E-BB_1C_1C$ 的體積.

2019年文數(shù)B17

【解答第1問(wèn)】

∵ $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 是長(zhǎng)方體

∴ $C_1B_1 \perp$ 面 $A_1ABB_1$ , $C_1B_1 \perp BE$

∵ $BE \perp EC_1, BE \perp C_1B_1, EC_1 \cap C_1B_1=C_1$

∴ $BE \perp$ 面 $EB_1C_1$ .

【解答第2問(wèn)】

∵ $BE \perp$ 面 $EB_1C_1$ , ∴ $BE \perp EB_1$ .

∵ $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 是長(zhǎng)方體愧旦，∴ $A_1ABB_1$ 是矩形世剖，

∴ $A_1B_1=AB$ , $\angle B_1A_1E = \angle BAE$

又∵ $AE=A_1E$ , ∴ $\triangle B_1A_1E \cong \triangle BAE$ , ∴ $B_1E=BE$

∴ $\triangle B_1EB$ 是等腰直角三角形， $BE=\sqrt{2}AB=3\sqrt{2}$ ,

$B_1B=2AB=6$ , $BC=AB=3$

$S_{B_1BCC_1}=B_1B\times BC = 18$

$V_{E-BB_1C_1C}= \dfrac{1}{3} \times AB \times S_{B_1BCC_1} =18$

【提煉與提高】

這是一個(gè)入門(mén)級(jí)的考題笤虫，其難度與教材標(biāo)配的習(xí)題相當(dāng)旁瘫，可以作為教材的補(bǔ)充練習(xí)。

最后編輯于：2021.04.21 12:06:59

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