一蓬蝶、非數(shù)學專業(yè)的人適不適合讀數(shù)學
非數(shù)學專業(yè)的人適不適合讀數(shù)學？如果我們去問科班出身的人，會發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)的回答是非數(shù)學專業(yè)的同學不適合來讀數(shù)學醋旦。原因在于缺乏數(shù)學基礎的訓練。比如說你直接開始看研究生的課会放，會連課本都看不懂饲齐。我們怎么看待這種認識？他們這種看法有一定道理咧最，但是過于片面了捂人。非數(shù)學專業(yè)的來學數(shù)學，他的動力他的興趣會比較的強矢沿，這是一個方面论熙。另一個方面无午，當你在什么問題都還沒有開始想的時候宪迟，給你太多基礎的訓練是好事的同時也是一件壞事交惯。
好的一方面是你掌握了一些數(shù)學語言，并且懂得一些基本的邏輯意荤。壞的一方面是它將會以一種固定的方式限制你的思維。比如說我們對于數(shù)學到底想做什么的問題并不清楚捐寥，我們不知道數(shù)學想干什么，不知道數(shù)學到底是怎么回事，然后就被告訴說這道題就該這么解匕坯，這么解就對就珠。如果你問為什么要這么解泞歉，很多時候得不到任何想要的回答挺庞。而非數(shù)學專業(yè)的同學在看待很多問題的時候，思想可能會更開放然走。
比如說跟數(shù)學專業(yè)的人討論，他可能第一反應是你這個邏輯對不對妥凳，你這個細節(jié)有沒有問題屑那。這是他的第一個反應阵难。你如果跟其他專業(yè)的人去討論朱庆，他們可能首先關注你的想法是什么盛泡，你想解決什么問題，你這個想法能不能解決這些問題娱颊，而不拘泥于一些很細節(jié)的東西傲诵。如果你說的這條路對了，嚴格化只是一個手段箱硕。嚴格的證明能夠保證我們不出錯拴竹，但是嚴格的證明不能保證我們想到解決問題的思路。
事實上剧罩，科班出身的同學栓拜，由于受今天數(shù)學教育的一個影響，形式化思維會很嚴重。我們舉個n維歐式空間的例子幕与。在歷史上挑势，人們首先發(fā)現(xiàn)了實數(shù)，也就是一維的歐式空間纽门，然后根據(jù)現(xiàn)實需要推廣到高維的n維空間薛耻。但是從數(shù)學的角度看， n維空間是更基本的東西赏陵，一維空間只是n等于1的特殊情況饼齿。于是講的時候可以從n維的歐式空間開始講，再令n等于1得到一維空間的特殊結果蝙搔。而且這樣講顯得這個問題更深刻缕溉。
如果是這樣的思維，對于數(shù)學為何產生吃型，數(shù)學要解決什么樣的問題证鸥，抽象的數(shù)學和具體的現(xiàn)實問題有什么樣的聯(lián)系這些非常重要的問題是不會引起思考的，比如說現(xiàn)實的物理空間是三維的勤晚，有了相對論之后加上時間研究四維時空枉层，人們?yōu)槭裁匆芯恳话愕膎維空間，它的動力來源于哪里赐写，它的應用又為何正確鸟蜡？
從這個問題講，一方面是想告訴大家挺邀，數(shù)學專業(yè)本身去學數(shù)學有它的優(yōu)勢揉忘，要知道自己的優(yōu)勢在什么地方，但也要知道自己的不足端铛，要想辦法去彌補這些不足泣矛。而另一方面如果有非數(shù)學專業(yè)的人致力于研究數(shù)學，那么也有他的優(yōu)勢禾蚕，但也有他的不足您朽，也是要把自己的優(yōu)勢發(fā)揮出來，同時想辦法通過一定的訓練來彌補自己的不足换淆。
二哗总、概率論的起源
概率論要解決什么問題？我們人類為什么要搞這一門學科产舞？
概率論在歷史上的出現(xiàn)源于賭金的分配魂奥，從這個時候開始出現(xiàn)了概率相關的問題，但概率論真正成型和發(fā)展并不單純是由于這些問題易猫，更大的動力來源是生產實踐耻煤。我們現(xiàn)在來考察一個燈泡生產商。顧客要來買燈泡，肯定關心廠家的燈泡能燒多久哈蝇，產品的質量有沒有保證棺妓。如果是一個具體的燈泡，它要燒多久炮赦，我們可以讓它一直燒怜跑，看它什么時候燒壞了》涂保可問題在于性芬，經(jīng)過測試之后，燈泡就報廢了【绶溃現(xiàn)實生活中我們不能用這樣的思路解決問題植锉。我們必須想辦法通過其它手段來解決它，并給出令人信服的結論峭拘。
如果對于同樣的材料俊庇，同樣的生產工藝，生產的同一批燈泡鸡挠，我們認為它的一個質量大概是穩(wěn)定的辉饱。怎么叫做大概是穩(wěn)定的呢？就是說把這一批燈泡全都拿過來燒拣展，可能有的燒的時間特別短彭沼，有的可能燒的時間特別長，但是對于絕大多數(shù)的燈泡而言瞎惫，它燒的時間就會穩(wěn)定在一個值附近溜腐。
基于這樣的想法译株，如果一次生產了2萬個燈泡瓜喇，雖然不能把2萬個都燒了，但抽100個出來燒一下是沒問題的歉糜。燒一下之后乘寒，這100個可能有10個連200個小時都沒燒夠，可能還有15個直接燒過了8000個小時匪补，但是剩下的絕大多數(shù)都在三四千個小時左右伞辛。這個時候就說這批燈泡它大概比較穩(wěn)定的燒的時長是4000個小時。比如說超過80%合格夯缺，那么對于這樣的一個生產工藝蚤氏，它就是達到了一個及格線的，當然需要改進踊兜，但是可以繼續(xù)用竿滨。你再去買燈泡的時候，你可能也會偶然買到壞的，但是你不會說我一連買了100個全是壞的于游。這是一類我們需要用概率論解決的問題毁葱。
概率論這門學科它之所以能夠成型，第一個很基本的步驟就是概率這個概念的產生》“現(xiàn)實當中有很多問題倾剿，雖然說每考察一個都會產生一個確定的結果，但我們在處理問題的時候不能這樣去處理蚌成。我們發(fā)現(xiàn)在考慮多次或者多個的時候前痘，它會有一個穩(wěn)定性的東西，也就是概率這個概念担忧〖识龋或者說概率這個概念，是把這個穩(wěn)定性抽象出來涵妥。但是抽象出來還不算是數(shù)學乖菱，還只是一個想法，抽象出來之后蓬网，還得有數(shù)學的語言去表達它窒所，有數(shù)學方法去處理它。
在研究的時候也發(fā)現(xiàn)另外一些問題帆锋。比如你去研究不同的問題吵取，它所滿足的模式還不太一樣。從一個袋子里抓小球锯厢，抓出來放不放回去皮官，你會發(fā)現(xiàn)不同的概率它又有不同的模式。所以就得搞概型实辑，其實一個概型就是一類概率問題捺氢，用這一個概念來解決這一類問題。這些基本的概念和理論成型之后剪撬，它會抽象出一些數(shù)摄乒、一些數(shù)量關系，然后就需要把相應的概率做一些計算残黑。
剛剛我們講了賭金分配促使了概率論的偶然發(fā)生馍佑，而概率論真正成型和發(fā)展應當歸功于生產實踐。大家想梨水，我們先把概率論的歷史起源和基本認識搞清楚拭荤，具體一個概型的概率怎么算、為什么這么算等等這些東西一點一點去搞就行了疫诽，這樣的學習思路是不是更加清晰高效呢舅世？
三笼恰、高等數(shù)學要研究什么東西
高等數(shù)學的核心是微積分，那微積分是從什么問題來的歇终？答案是運動社证。在15、16世紀之前评凝，整個數(shù)學都處于常量數(shù)學時期追葡，也就是初等數(shù)學時期，而從資本主義萌芽興起之后漸漸地過渡奕短，發(fā)展成了變量數(shù)學宜肉。為了反抗宗教神學，以伽利略和笛卡爾為代表的近代自然科學的先驅翎碑，開始去大量的研究運動問題。你比如說他們去研究天體運動日杈，神學講天體沿著圓周在運動，那是因為有上帝在推動莉擒。又為什么是圓周？因為上帝是完美的涨冀，而最完美的曲線是圓周，所以天體沿著圓周在運動鹿鳖。人們通過一定的研究，發(fā)現(xiàn)這個軌跡不是圓周翅帜，而是橢圓姻檀。然后通過牛頓等人做一個總結施敢，告訴人們天體運動不是有上帝在推動周荐，而是萬有引力的影響，是自然規(guī)律的作用概作。
再到后面人們發(fā)現(xiàn)運動的研究還有它的生產力意義腋妙，運動的研究是整個社會的發(fā)展向人們提出的現(xiàn)實要求。
從物理學的角度研究機械運動是我們熟知的情形讯榕，化學同樣會從化學的角度去研究運動骤素，比如在分子和原子層面考慮化學鍵的分裂匙睹、結合。不同的學科有各自不同的研究對象济竹，從不同的角度去研究痕檬，但是它們都涉及一類共性的問題，就是數(shù)量關系的問題送浊。而數(shù)學恰恰是來解決這個問題的梦谜，所以它就給數(shù)學提出了現(xiàn)實的需要。也就是說人們需要從而且只從數(shù)量關系的角度研究運動袭景，這正是數(shù)學這門學科所要解決的問題唁桩。當社會發(fā)展向人們提出研究運動需要的時候，就賦予了數(shù)學相應的任務和歷史使命耸棒。
為了完成這樣一個任務荒澡，承擔從數(shù)量關系研究運動這樣的一個歷史使命的學科就是微積分，微積分是從這個地方來的与殃，它要干的也就是這個事情单山。
當數(shù)學進入了變量的時代，它的研究對象幅疼、研究問題不一樣了饥侵，它的研究方法也發(fā)生了變化。數(shù)論里面產生了解析數(shù)論衣屏，幾何學也出現(xiàn)了解析幾何和微分幾何躏升。
四、笛卡爾的貢獻
在微積分出現(xiàn)之前狼忱，有一個必須要提的數(shù)學家——笛卡爾膨疏。怎么看待笛卡爾的數(shù)學成就呢？也就是說怎么評價坐標系的意義呢钻弄？
如果沒有笛卡爾坐標系佃却，今天的數(shù)學會是什么樣子？數(shù)和形結合不到一塊窘俺，也不會產生變量饲帅，我們可能一直處在初等數(shù)學時期。
笛卡爾坐標系的建立瘤泪，最直接的意義是解析幾何這門學科的誕生灶泵，里面包含一個觀念的轉變，也就是引入了動態(tài)的觀點对途。人們不再把一條曲線單純地看作曲線了赦邻，還可以把它看作是點的軌跡实檀，這是從形的角度說按声。那從數(shù)的角度看签则，會發(fā)現(xiàn)數(shù)可以變怀愧，可以有一個變化的范圍余赢，也就是說變量的概念產生了。變量數(shù)學的時代扛拨，如果連變量都沒有绑警，連變量都沒辦法刻畫央渣，自然沒有發(fā)展的舞臺，這是笛卡爾坐標系它真正的數(shù)學意義北启。所有的變量數(shù)學咕村，都可以看作是從笛卡爾這個地方起源的蚊俺。
他的這項工作泳猬，并沒有證明什么高深的定理，但他搞的這個東西開啟了整個變量數(shù)學的時代埋心。因此呛每，笛卡爾是世界一流的數(shù)學家晨横，是和牛頓、萊布尼茨同等層次的大數(shù)學家啥供。
五伙狐、函數(shù)的誕生
有了變量之后瞬欧，也就有了函數(shù)，函數(shù)的概念最早由歐拉定義唉侄，但在這之前數(shù)學家們也一直在研究函數(shù)属划。函數(shù)其實就是變量對變量的依附關系候生，這些變量在其它學科里面是具體的量，比如速度须蜗、電流等等唠粥，但在數(shù)學這里停做，變量只保留了數(shù)量在一定范圍內可以發(fā)生變化的特點蛉腌。函數(shù)是微積分的研究對象，這里主要的還是連續(xù)函數(shù)舅巷。那么我們需要什么樣的方法進行研究呢钠右？
極限的概念并不直觀忘蟹，因為極限是倒著來的搁凸。比如說一個人從地方A走到地方B护糖，極限的看法是我先走到了地方B嫡良，再往回看我1/2的時間走到了哪里献酗，1/4的時間走到哪里。極限是當這個運動過程完成之后回過頭來看的很澄，它和人們的直觀思考方式不太一樣痴怨。牛頓產生了極限這個想法器予，但他自己也不是很肯定乾翔，到了晚年他也還是想用這個東西，但畢竟微積分沒有跟著牛頓的思路發(fā)展萌丈。當時牛頓和萊布尼茨爭奪微積分發(fā)明的優(yōu)先權辆雾，導致整個歐洲的數(shù)學分裂成了兩部分月劈，一部分是以牛頓為代表的英國數(shù)學家群體，一部分是以萊布尼茨為代表的歐洲大陸數(shù)學家們惭墓。英國那一派沒走下去腊凶，雖然也出了麥克勞林、泰勒等人褐缠，可是這些人做的東西顯然沒辦法跟歐拉送丰、拉格朗日等人相比弛秋。
如果要研究運動蟹略，y隨著x變化遏佣，自然的做法是去考察x變一點點的時候状婶，y怎么變。而這也就是我們微積分研究的無窮小方法,沿著這個方法就構成了19世紀之前整個微積分的發(fā)展草姻。微積分誕生之后稍刀，它自身作為工具账月，又可以去研究微分方程，也可以用微分去研究幾何（微分幾何）剧劝。常微分方程在18世紀的時候讥此，解法就已經(jīng)研究得比較清楚了锭部，此時的物理學還主要停留在力學的研究時代，所以偏微分方程主要是以弦振動方程為代表的一些簡單的波動方程取胎。到了19世紀物理學進入了電磁學和熱學等的研究時代闻蛀，所以19世紀的偏微分方程的發(fā)展又是以熱傳導方程、拉普拉斯方程為代表役衡，格林函數(shù)法等解法也在這時誕生薪棒。
從這些東西我們可以看到微積分是從什么地方來的，要解決什么問題棵介，研究微積分的過程中是怎么把這樣的一些想法轉化成數(shù)學的方式邮辽，它需要什么樣的概念。我們就要把這些問題搞清楚吨述，而這些問題又需要結合數(shù)學本身演化的歷史來把它搞清楚揣云，也就是我們講的歷史和邏輯相一致的問題芳肌。
人類為什么要研究數(shù)學？通過剛才對數(shù)學史的講解翎迁，我們把邏輯過程還原為認識過程净薛，能夠發(fā)現(xiàn)歷史上的數(shù)學不是現(xiàn)在這個樣子肃拜。其實未來的數(shù)學也不是今天這個樣子，數(shù)學要有一個歷史的發(fā)展燃领。很多人把數(shù)學當成是既定的這個樣子猛蔽，但是我們知道數(shù)學有它自己要完成的任務灵寺，因為數(shù)學要解決現(xiàn)實的數(shù)量關系略板、空間形式等慈缔，把數(shù)量關系的規(guī)律藐鹤、空間形式的規(guī)律給它揭示出來，所以在它發(fā)展到一定階段時距帅，它可能會有一些質的變化括堤，這是數(shù)學自身的發(fā)展規(guī)律绍移。數(shù)學的發(fā)展最終也一定會朝著更好地為人類服務的方向前進蹂窖。
文章來源：數(shù)學經(jīng)緯網(wǎng)公眾號
