第21課特征值和特征向量

特征向量

什么是特征向量蝶涩？給定矩陣 $A$ 使得 $Ax//x$

矩陣有什么作用驶鹉？

它作用在向量上亭饵，矩陣乘以向量 $x$ ,結(jié)果得到向量 $Ax$ ，就像一個(gè)函數(shù)梁厉，微積分中的函數(shù)辜羊，表示作用在數(shù)字 $x$ 上得到 $f(x)$ 。線性代數(shù)擴(kuò)展到多維词顾，這些向量使人感興趣的是那些變換前后方向一致的向量八秃，這些是比較特殊的向量，多數(shù)向量而言肉盹， $Ax$ 是不同方向的昔驱，有特定的向量使得 $Ax$ 平行于 $x$ ，這些就是特征向量

$Ax=\lambda x(\lambda為一系數(shù))$

$\lambda$ 可為任意一數(shù)上忍，當(dāng) $\lambda$ 為0時(shí) $x$ 為零空間的向量

如果 $A$ 為奇異骤肛， $A$ 作用列向量 $x$ 后得到零向量，即可把一個(gè)非零向量 $x$ 轉(zhuǎn)化為零向量
$\underbrace{A}_{奇異陣} x=0$
$\lambda=0$ 是一個(gè)特征值窍蓝，需要研究所有的特征值

$\lambda=0$ 不再特殊該怎么求得這些向量 $x$ 和所有 $\lambda$ 值腋颠？

? 沒有類似 $Ax=b$ 的方程，

? 不能利用消元法吓笙，

? 兩個(gè)未知數(shù)淑玫，它們相乘作為一項(xiàng)， $\lambda$ 和 $x$ 都是未知數(shù)

投影矩陣的特征向量有哪些面睛？特征值 $\lambda$ 是什么絮蒿？
$P_投=A(A^TA)^{-1}A^T\\ P_投X=X \rightarrow \lambda=1 \\ P_投X=0X \rightarrow \lambda=0$
置換矩陣：
$A=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix} \\ x=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} \rightarrow Ax=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} \rightarrow \lambda=1 \\ x=\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix} \rightarrow Ax=\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix} \rightarrow \lambda = -1$
特征值性質(zhì)：

$n \times n$ 矩陣有 $n$ 個(gè)特征值
特征值的和等于對(duì)角線元素和，這個(gè)和數(shù)叫做"跡"
$跡=a_{11}+a_{22}+a_{33+\dots+a_{nn}}$

求解： $Ax=\lambda x?$ 的特征值和特征向量
$Ax=\lambda x \rightarrow \underbrace{(A-\lambda I)}_{奇異陣}x=0$

該式不含x叁鉴，稱作特征方程或特征值方程：
$det(A-\lambda I)=0$

例：
$A=\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix}\\ det(A-\lambda I)= \begin{vmatrix} \begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix}- \begin{bmatrix}\lambda&0\\0&\lambda\end{bmatrix} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}3-\lambda&1\\1&3-\lambda\end{vmatrix}=(3-\lambda)^2-1=0\\ \rightarrow \lambda^2-6\lambda+9-1=\lambda^2-6\lambda+8=0\\ \rightarrow (\lambda-4)(\lambda-2)=0\\ \rightarrow \lambda_1=4;\lambda_2=2$
方程中的6代表 $A?$ 的跡

方程中的8代表 $A$ 的行列式

求特征向量： $A-\lambda I$ 變?yōu)?strong>奇異矩陣

$\lambda = 4$
$A-\lambda I = A-4I=\begin{bmatrix}3-4&1\\1&3-4\end{bmatrix}= \underbrace{\begin{bmatrix}-1&1\\1&-1\end{bmatrix}}_{奇異}\\ (A-4I)x=0 \rightarrow \begin{bmatrix}-1&1\\1&-1\end{bmatrix}x=0\\ \rightarrow \begin{bmatrix}-x_1+x_2=0&x_1+x_2=0\\x_1+x_2=0&-x_1+x_2=0\end{bmatrix}\\ \rightarrow x=\begin{bmatrix}x_1=1\\x_2=1\end{bmatrix}$
$\lambda = 2$
$A-2I=\begin{bmatrix}3-2&1\\1&3-2\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix} \\ \rightarrow \begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}x=0\\ \rightarrow x=\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}$

如果矩陣 $A$ 加上 $\lambda I$ 土涝，那么它的特征向量保持不變，特征值加 $\lambda$

推導(dǎo)過程：如果 $Ax=\lambda x?$ 可得結(jié)果如下
$(A+3I)x = Ax+3Ix = \lambda x+3x =(\lambda+3)x$

如果 $Ax=\lambda x,B$ 的特征值為 $\alpha_1$ , $A+B=?$

特征值不滿足線性關(guān)系或乘積點(diǎn)積幌墓，因?yàn)樘卣飨蛄坎煌常瑹o法判斷 $A+B$

如果 $B$ 是單位陣的倍數(shù)狗准，則沒有問題， $A+B$ 是可以的

旋轉(zhuǎn)矩陣

將向量旋轉(zhuǎn) $90^\circ$
$\underbrace{Q}_{正交矩陣}=\begin{bmatrix}cos90^\circ&-sin90^\circ\\sin90^\circ&cos90^\circ\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}$
特征值之積等于行列式

特征值之和等于跡

$跡=\underbrace{a_{11}+a_{22}}_{A對(duì)角線之和} = \underbrace{\lambda_1+\lambda_2}_{特征值之和} = 0+0 = 0$

特征值成對(duì)出現(xiàn)茵肃，它們是復(fù)數(shù)，一對(duì)共軛復(fù)數(shù)袭祟，它們是完全實(shí)矩陣的特征值验残，如果矩陣是對(duì)陣，就會(huì)有復(fù)數(shù)特征值巾乳，如果矩陣是對(duì)陣的或接近對(duì)稱的您没，那么特征值是實(shí)數(shù)， $Q=-Q^T$ 胆绊，稱為反對(duì)陣氨鹏，這種矩陣特征值為純虛數(shù)，所以這屬極端情況压状，介于對(duì)稱和反對(duì)稱之間的矩陣仆抵，部分對(duì)稱，部分反對(duì)稱
$det(Q)=1=\lambda_1\lambda_2\\ det(Q+\lambda I) \rightarrow \lambda^2=-1\rightarrow\lambda_1=i;\lambda_2=-i$

例：
$A=\begin{bmatrix}3&1\\0&3\end{bmatrix}\\ det(A-\lambda I) = \begin{vmatrix}3-\lambda&1\\0&3-\lambda\end{vmatrix} = (3-\lambda)(3-\lambda) \rightarrow \lambda_1=3;\lambda_2=3\\ (A-\lambda I)x=0 \rightarrow \begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}x=0\\ \rightarrow x_1=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix};x_2=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$
沒有第二個(gè)無關(guān)特征向量种冬，此矩陣是一個(gè)退化矩陣镣丑，只是一個(gè)方向上特征向量，而不是兩個(gè)

最后編輯于：2019.11.02 19:39:25

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