歌德爾艾舍巴赫——一條美麗的黃金帶
這個(gè)故事首先要從數(shù)學(xué)危機(jī)談起，數(shù)學(xué)危機(jī)這個(gè)詞聽起來有點(diǎn)高大上葵陵，其實(shí)說白了很簡(jiǎn)單的液荸，數(shù)學(xué)危機(jī)其實(shí)就是在數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中所產(chǎn)生的一些自我矛盾的地方，任何一個(gè)系統(tǒng)在邏輯上要滿足自洽脱篙、他洽娇钱、續(xù)洽。如果做不到就會(huì)產(chǎn)生自我矛盾绊困，數(shù)學(xué)危機(jī)就是這樣產(chǎn)生的文搂。
第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是無理數(shù)危機(jī)，在古希臘的時(shí)候秤朗，有一個(gè)學(xué)派叫做畢達(dá)哥拉斯學(xué)派煤蹭，這個(gè)學(xué)派崇尚萬物皆數(shù)，畢達(dá)哥拉斯說世界上萬物都是由確切的數(shù)構(gòu)成的取视。他最重要的一個(gè)理論成果就是畢達(dá)哥拉斯定理硝皂，在我們中國(guó)叫勾股定理，勾三股四弦五贫途，有一天畢達(dá)哥拉斯的一個(gè)叫希帕索斯的學(xué)生就跑過來說：老師你太偉大了吧彪，三的平方加四的平方等于五的平方，這個(gè)這么美妙的秘密都被你發(fā)現(xiàn)了丢早，不過老師啊姨裸，一的平方加一的平方等于幾的平方呢？這畢達(dá)哥拉斯就抓瞎了怨酝，這怎么辦呢傀缩？畢達(dá)哥拉斯想了想，不行把這貨弄死吧农猬！叫你丫多嘴赡艰！于是就把這家伙扔海里弄死了。
其實(shí)這個(gè)性質(zhì)就叫做不可通約性斤葱， 在自然數(shù)環(huán)中是沒有辦法解決這個(gè)問題慷垮，這個(gè)問題的解決直到引入了無理數(shù)揖闸，引入到新的形式化系統(tǒng)才解決的。
第二次數(shù)學(xué)危機(jī)料身，是由芝諾悖論引起的極限危機(jī)汤纸，故事是這樣的， 阿基里斯與烏龜芹血，阿基里斯與烏龜賽跑贮泞，他的速度是烏龜?shù)氖叮沁@個(gè)問題可以這樣想當(dāng)阿基里斯跑到烏龜?shù)哪莻€(gè)位置的時(shí)候?yàn)觚斢窒蚯白吡艘欢尉嚯x幔烛，而再重復(fù)這個(gè)動(dòng)作的時(shí)候啃擦，阿基里斯到下一個(gè)烏龜所在的點(diǎn)時(shí)，烏龜又已經(jīng)不在那個(gè)點(diǎn)上了饿悬，那么實(shí)際上阿基里斯永遠(yuǎn)不可能追上烏龜?shù)牧铗龋@就是芝諾悖論。這個(gè)思想和莊子所說的一尺之錘日取其半乡恕，萬世不竭是一個(gè)道理言询。這個(gè)悖論其實(shí)是說明數(shù)的無窮特性，我們總以為說自然數(shù)域是無窮的傲宜，一個(gè)個(gè)層疊加上去有無數(shù)多個(gè)數(shù)，但其實(shí)數(shù)與數(shù)之間了也是無窮多個(gè)的夫啊，比如說1和2之間有多少個(gè)數(shù)呢函卒？答案是無數(shù)個(gè)，在無窮的性質(zhì)中撇眯，你只要能找出一個(gè)數(shù)和2已經(jīng)是最接近了报嵌，但你總能構(gòu)造一個(gè)數(shù)比原來那個(gè)數(shù)和2之間的距離更小，這個(gè)概念在數(shù)學(xué)中就叫做極限熊榛。第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的直接后果就是導(dǎo)致了我們現(xiàn)在的高等數(shù)學(xué)中的微分與積分的出現(xiàn)锚国，人們對(duì)純形式化符號(hào)的數(shù)學(xué)其邊界的理解又更深了一層。
第三次數(shù)學(xué)危機(jī)是在1897年出現(xiàn)的玄坦，這也是一個(gè)悖論論引出的血筑，叫做理發(fā)師悖論，也叫羅素悖論煎楣。具體的內(nèi)容就是一個(gè)小鎮(zhèn)上的一個(gè)理發(fā)師說豺总，我只給這個(gè)小鎮(zhèn)上不給自己理發(fā)的人理發(fā)。如果這句話是真的择懂，那么他到底要不要給自己理發(fā)呢喻喳？
這個(gè)悖論涉及到了集合的知識(shí)。我盡量用簡(jiǎn)單的方法去解釋這個(gè)問題困曙。但要解釋這個(gè)先要討論其他一些問題表伦。
我們來看一個(gè)簡(jiǎn)單的悖論谦去，
第一句話，下面這句話是真的蹦哼。
第二句話哪轿，上面這句話是假的。
那么好翔怎，問題來了窃诉，這兩句話是自相矛盾的，你接受其中一條就必須放棄另一條赤套，不然你自身的邏輯就會(huì)出現(xiàn)混亂飘痛。當(dāng)然還有更極端的一種情況，我說的這句話是假話容握。想必到這里大家已經(jīng)糊涂了宣脉，這些悖論到底說的是什么？
也許從其他的角度可以解釋這些悖論剔氏。
先來看看我比較喜歡的一個(gè)畫家的畫塑猖，艾舍爾的《瀑布》。
恩谈跛，圖有點(diǎn)小拥坛，不過應(yīng)該能看清楚，其中的奧妙大家可以自己體會(huì)衬潦，與之類似的畫還有很多境钟，比如《城堡》。
這些畫其實(shí)都是利用人眼對(duì)環(huán)境的識(shí)別機(jī)制所產(chǎn)生的錯(cuò)覺阻桅，在走完一個(gè)上下的過程之后又重新回到了原點(diǎn)凉倚。除了繪畫以外，還有一個(gè)比較有意思的領(lǐng)域就的音樂嫂沉，在古典音樂里面有一種叫做卡農(nóng)稽寒。作者使用一種巧妙的編曲手段，使得一個(gè)上升音階在進(jìn)行完之后趟章，又重新回到了原點(diǎn)杏糙。這種卡農(nóng)就叫做無限升高的卡農(nóng)，這種卡農(nóng)和艾舍爾的畫有異曲同工之妙尤揣。
好了說了這么多我想大家都迷糊了搔啊。我到底想說什么？包括畫與音樂北戏，其實(shí)都與數(shù)有一樣的性質(zhì)负芋，這在計(jì)算機(jī)科學(xué)中就叫做循環(huán)與嵌套。
我以前常有一個(gè)想法就是如果給我一個(gè)神燈我要許一個(gè)愿望的話我就許我要再許一百個(gè)愿望。這個(gè)問題就回到了之前的那個(gè)理發(fā)師悖論了旧蛾。這樣的話愿望就會(huì)無窮無盡了對(duì)不對(duì)莽龟？但是這是不可能的，一旦這么做锨天，你就會(huì)陷入理發(fā)師一樣的矛盾毯盈。
就和解決數(shù)學(xué)危機(jī)的方法是一樣的，在原本的形式化系統(tǒng)中病袄，已經(jīng)無法解決這種內(nèi)部矛盾搂赋。只能將這種矛盾上移，產(chǎn)生新的益缠，討論范圍更廣的形式化系統(tǒng)脑奠。比如你要許一個(gè)再來一百個(gè)愿望的愿望，你必須有一個(gè)更高級(jí)的愿望幅慌，我們可以叫做元愿望宋欺。而如果要實(shí)現(xiàn)元愿望就需要實(shí)現(xiàn)元元愿望。這樣一直下恐怕我們只能去找造物主了胰伍。
但是這種思想在數(shù)學(xué)中就有一個(gè)專有名詞——遞歸齿诞。
在計(jì)算機(jī)中這就是最基本的編程方法，所以任何一種計(jì)算機(jī)的編程語言要描述所有的程序和動(dòng)作只需要三種動(dòng)作——循環(huán)骂租、嵌套祷杈、遞歸，就可以描述整個(gè)程序的運(yùn)行流程菩咨。這就是形式化系統(tǒng)的力量吠式。
下面就是整個(gè)討論的核心內(nèi)容，什么是形式化系統(tǒng)抽米。形式化系統(tǒng)并不一定是數(shù)學(xué)，其實(shí)質(zhì)是現(xiàn)實(shí)到抽象世界的映射糙置。而這種映射到的東西其實(shí)是不重要的云茸。比如說這種映射可能產(chǎn)生繪畫，產(chǎn)生音樂的藝術(shù)谤饭，也可以是數(shù)學(xué)标捺，這幾個(gè)映射可以是同構(gòu)的。
同構(gòu)是一個(gè)數(shù)學(xué)上的名詞揉抵，原本是描述數(shù)學(xué)中代數(shù)關(guān)系的相似性的亡容。但其實(shí)對(duì)于從現(xiàn)實(shí)到形式化系統(tǒng)只要滿足相似的映射關(guān)系兩者之間都是同構(gòu)的。
甚至我們可以說兩個(gè)人之間都是同構(gòu)的冤今，因?yàn)闈M足基本的映射關(guān)系（當(dāng)然人與人是不同的）闺兢。
生活中一個(gè)最簡(jiǎn)單的同構(gòu)關(guān)系，就是聲音和留聲機(jī)戏罢，聲音通過留聲機(jī)在唱片上形成了深淺不一的紋路屋谭。這種紋路和聲音之間必然是同構(gòu)的脚囊，這其實(shí)是聲音系統(tǒng)在物理碟片上的映射。
對(duì)桐磁，其實(shí)形式化系統(tǒng)就是現(xiàn)實(shí)世界在抽象世界的一個(gè)映射悔耘。只不過映射的方法多種多樣，但這種映射關(guān)系的邏輯結(jié)構(gòu)都是一致的我擂。
在數(shù)學(xué)中一個(gè)比較成功的例子就是幾何學(xué)衬以。想必大家都學(xué)過對(duì)吧？在傳統(tǒng)的歐幾里德幾何學(xué)中我們知道校摩，歐幾里得僅從幾條公理就推出了整個(gè)幾何學(xué)的大廈看峻，但這一定是對(duì)的嗎？其實(shí)這只是平面幾何秧耗，因?yàn)樽铋_始的幾條公理就不一定是絕對(duì)的备籽，所以最后的結(jié)論也不是絕對(duì)的。這只是平面當(dāng)中的幾何分井，但我們生活的世界真的是平面的嗎?顯然我也不知道车猬，但只要這種描述關(guān)系是正確的就可以了。我們就可以用這種幾何學(xué)來形容我們的世界尺锚，至于其他的非歐幾里德幾何學(xué)又是其他的形式化系統(tǒng)了珠闰。
那么好我們理解了什么是形式化系統(tǒng)了，我們就必須理解形式化系統(tǒng)的本質(zhì)瘫辩。所謂形式化系統(tǒng)其實(shí)就是抽象化的信息載體伏嗜。
這里不就不說信息論中對(duì)信息的定義了，僅討論一下信息的載體語言伐厌。首先語言其實(shí)就是一種形式化的系統(tǒng)承绸，語言的最大作用就是承載信息。而這種信息的承載也是有很明確的層次的挣轨。就以這篇文章來說军熏，對(duì)于一個(gè)不懂中文的小孩來說這篇文章就是一個(gè)電子文檔，這種判斷并不需要你認(rèn)識(shí)中文卷扮，只需要你懂得一些常識(shí)就可以了荡澎，這叫做信息的框架。第二層晤锹，你也不用理解這是什么內(nèi)容摩幔，但你也很容易判斷出來這是用中文寫的文章，這叫做外在的信息表現(xiàn)鞭铆。第三層就必須要你用中文的知識(shí)去理解這篇文章所表達(dá)的信息或衡，這就是信息的內(nèi)在。但這還沒有完，在任何一種文字中薇宠，其所表達(dá)的很可能是在文字之外的東西偷办，這個(gè)就叫做隱喻。對(duì)于一個(gè)外星人來說澄港，如果得到了這篇文章它很容易判斷里面有信息椒涯，它所需要做的就是把這信息里的東西提取出來，翻譯成他們自己的文字就可以了回梧，是不是覺得很眼熟废岂？
對(duì)！這個(gè)過程也是同構(gòu)狱意，只不過在不同的信息系統(tǒng)中同構(gòu)可能會(huì)有一些細(xì)微的差別湖苞。
比如在英語中，對(duì)一個(gè)不認(rèn)識(shí)的詞總可以很輕松的讀出來详囤，因?yàn)橛⑽氖堑湫偷谋硪粑淖植乒牵渲泻写罅康恼Z音信息，但每個(gè)中文漢字都必須要有人教才能讀出來藏姐，這也就是為什么會(huì)有這么多人會(huì)讀錯(cuò)字的原因隆箩。相反漢字中的語意信息很多，很多字一寫你不一定認(rèn)識(shí)但常掣嵫睿可以猜出什么意思捌臊，這也是為什么解讀甲骨文要比解讀線性文字容易得多的原因。
總之這些語言系統(tǒng)其實(shí)都是形式化的信息載體兜材，而其中他們之間其實(shí)都是同構(gòu)的理澎。
好了，我要放大招了曙寡。那么人體是不是形式化系統(tǒng)呢糠爬？是的，也是举庶，其實(shí)人體也是一套信息的處理機(jī)制秩铆，就以最簡(jiǎn)單的人眼來說吧？我們都知道人是通過視網(wǎng)膜來讀取信息的呢灯变？其實(shí)原理都是一樣的，視神經(jīng)只能感覺到光的強(qiáng)弱變化捅膘，也只需要將光在單個(gè)細(xì)胞上所產(chǎn)生的刺激轉(zhuǎn)化成電信號(hào)就可以了添祸。對(duì)！人眼就是一個(gè)傳感器寻仗，只不過構(gòu)造十分精巧刃泌，而他所解讀的基本信號(hào)和計(jì)算機(jī)是一樣的。都是二進(jìn)制信息，但二進(jìn)制和十進(jìn)制在數(shù)學(xué)意義上是同構(gòu)的耙替。只是一種形式化符號(hào)而已亚侠。對(duì)！人腦對(duì)信息的處理方法在底層和電腦是一樣的俗扇。
所有的現(xiàn)實(shí)現(xiàn)象硝烂，都可進(jìn)行抽象，而實(shí)際上這兩種形式系統(tǒng)是互通的铜幽，是互相影響的滞谢。人其實(shí)也只是信息的載體，也通過一套形式化系統(tǒng)來處理信息除抛，從某種意義上來說人就是一個(gè)函數(shù)狮杨，接受外部系統(tǒng)的信息，轉(zhuǎn)化成內(nèi)部信息的形式化到忽，然后處理信息后又轉(zhuǎn)化成新的形式信息輸出橄教。想到什么了？留聲機(jī)喘漏，對(duì)护蝶！性質(zhì)是一樣的。
講到這里我就要翻底牌了陷遮，那人與人的區(qū)別在哪呢滓走？
答：形式化系統(tǒng)中，系統(tǒng)的范圍與符號(hào)量的不同帽馋。接受外部信息是一樣的搅方，怎樣才會(huì)有不同的輸出呢？數(shù)學(xué)危機(jī)已經(jīng)告訴了我們答案绽族。當(dāng)你在有理數(shù)域解決不了問題的時(shí)候姨涡，就出現(xiàn)了不可通約性。當(dāng)在有窮范圍內(nèi)解決不了問題的時(shí)候就出現(xiàn)了極限與無窮吧慢，當(dāng)在集合內(nèi)部產(chǎn)生悖論的時(shí)候就需要引入元命題和嵌套將問題分層涛漂。在實(shí)數(shù)域內(nèi)解決不了問題的時(shí)候，自然就出現(xiàn)了虛數(shù)检诗。
解決形式化系統(tǒng)內(nèi)部矛盾的方法就是拓展這個(gè)系統(tǒng)匈仗，增加這個(gè)系統(tǒng)的符號(hào)量。這也就是為什么有的人語言貧瘠逢慌，想象力匱乏悠轩，因?yàn)樗麤]有接觸過，所以他不可能有那么好的想象力攻泼。
什么是專家火架？專家就是掌握了更多的專業(yè)詞匯鉴象，他們?cè)谀硞€(gè)領(lǐng)域有更深的理解，懂得更多的在語言上的符號(hào)的意義何鸡。
這些語言上的符號(hào)所表達(dá)的信息其實(shí)是更深入的纺弊，但我們一般人是很難理解的。比如說一個(gè)精通音樂的人骡男，只要提出C小調(diào)馬上就能知道那是一個(gè)什么樣的旋律淆游，因?yàn)樗X海中建立了這樣的一個(gè)形式化系統(tǒng)的抽象，而我們一般人的腦海中是沒有這樣的映射的洞翩。同樣的在不同的文化中這種效果也是不同的稽犁，英國(guó)人就更能分辨手套的不同，為什么骚亿？因?yàn)樵谒麄冋Z言系統(tǒng)中Glove和mitten壓根就是兩個(gè)東西已亥。同樣對(duì)于北方人來說，很多人直接都分不清粉和粉絲的區(qū)別来屠，而這對(duì)于一個(gè)南方人來說是很容易的虑椎。
對(duì)這就是形式化系統(tǒng)的力量。這也是為什么小地方不與外人接觸的村莊中民風(fēng)都比較淳樸的原因俱笛，因?yàn)樗麄兯褂玫恼Z言中的符號(hào)量太小了捆姜，很多東西都沒有辦法思考。對(duì)迎膜！所有的思考都是通過形式化系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的泥技，當(dāng)然這種系統(tǒng)不一定是語言，也可以其他什么東西磕仅，但是一但這種符號(hào)量過少珊豹，思維就容易遲鈍。
我們都知道古漢語中有很多通假字對(duì)不對(duì)榕订？其實(shí)原因很簡(jiǎn)單店茶，因?yàn)槟莻€(gè)時(shí)候壓根就沒有那么多字，整個(gè)論語幾乎把當(dāng)時(shí)所有的字都用完了劫恒，也就兩千多個(gè)字贩幻，那要表示意思怎么辦？只能通假了两嘴。
所以要成為一個(gè)會(huì)思考的人應(yīng)該怎么辦丛楚？
答：不斷拓展你身體內(nèi)的形式化系統(tǒng)，接受憔辫、創(chuàng)造更多符號(hào)鸯檬、概念，拓展你的域螺垢，這樣在寫作喧务、思考，討論問題你的思維才能夠更活躍枉圃，因?yàn)樗枷胧墙⒃谀闼艹橄蟮男问交到y(tǒng)之上的功茴，這個(gè)系統(tǒng)越完善，你所能理解的知識(shí)也就越多孽亲。
