作者：王國(guó)波
原創(chuàng)數(shù)學(xué)思想方法揭秘系列泊窘，以自身自學(xué)數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)結(jié)合哲學(xué)思想來悟道數(shù)學(xué)思維咕缎。閱讀本篇文章之前媒役，強(qiáng)烈建議按順序從前言看起。
上一篇：數(shù)學(xué)思想方法揭秘-3-5(原創(chuàng))围小。
這篇文章先講主要(關(guān)鍵&重點(diǎn))與次要的辯證關(guān)系在數(shù)學(xué)思維過程中的運(yùn)用昵骤，就是辯證法中的主要矛盾與次要矛盾、矛盾的主要方面和次要方面的實(shí)際運(yùn)用肯适。
如果對(duì)辯證法中的主要矛盾知識(shí)點(diǎn)不熟悉变秦，可以先看看百度百科上的主要矛盾。
一個(gè)復(fù)雜的問題或事物框舔，它通常包含影響或決定它的多種因素蹦玫，這些因素(部分或全部)可能是相互獨(dú)立的赎婚，更有可能是相互聯(lián)系相互牽制，錯(cuò)綜復(fù)雜的樱溉。對(duì)一些復(fù)雜的問題挣输，我們可以分析它包含的因素，找出決定或影響它的主要因素(主要矛盾)福贞，從抓主要矛盾入手撩嚼，優(yōu)先關(guān)注和聚焦于主要矛盾，適當(dāng)兼顧考慮次要矛盾挖帘，提綱挈領(lǐng)找到解決問題的突破口完丽，正所謂擒賊先擒王。
第18題（初中題）
為何按R的值進(jìn)行枚舉而不是Q拇舀？也是因?yàn)樯厦娴牡仁街蠷比Q要關(guān)鍵逻族，Q的值和R的平方在大多數(shù)情況下(R取4、5骄崩、6聘鳞、7、8要拂、9時(shí))不在一個(gè)數(shù)量級(jí)抠璃。在此等式右邊，數(shù)量大的起決定作用宇弛，也就是和Q相比鸡典，R是矛盾的主要方面源请。其實(shí)用Q進(jìn)行枚舉來試驗(yàn)下枪芒，和用R來枚舉對(duì)比，就馬上明白優(yōu)劣了谁尸。有時(shí)在解題中通過多次試驗(yàn)試探舅踪，在試驗(yàn)中進(jìn)行對(duì)比、反思總結(jié)良蛮、揚(yáng)棄抽碌、優(yōu)選也是正常的。并不是說數(shù)量大就一定是主要的關(guān)鍵的决瞳，要看具體問題和具體情況货徙，在這個(gè)等式中是這樣。
總結(jié)與點(diǎn)評(píng)：這題運(yùn)用了抓主要對(duì)象皮胡、關(guān)鍵對(duì)象的策略痴颊、估值思想、分類討論屡贺、枚舉(窮舉)蠢棱。
主要與次要：辯證法矛盾論中提到主要矛盾锌杀、次要矛盾以及矛盾的主要方面和次要方面，教導(dǎo)我們要抓主要矛盾和矛盾的主要方面泻仙，在這道題中就得到實(shí)踐運(yùn)用糕再，可見辯證法不是空洞的，要在具體的實(shí)踐中運(yùn)用和體會(huì)玉转。通過觀察突想、分析、比較冤吨，識(shí)別出主要矛盾和次要矛盾或矛盾的主要方面和次要方面蒿柳，識(shí)別出關(guān)鍵對(duì)象特殊對(duì)象。這些對(duì)象在問題中起到主導(dǎo)支配作用漩蟆，擒賊先擒王垒探，解題時(shí)抓住主要對(duì)象關(guān)鍵對(duì)象，圍繞它怠李，以它為中心為重點(diǎn)圾叼，從它入手找突破口，提綱挈領(lǐng)捺癞，利用好它夷蚊，處理好它。此題多處地方用到了識(shí)別出主要(關(guān)鍵髓介、重點(diǎn))對(duì)象和抓主要的解題策略惕鼓。另外我們?cè)诮夥匠毯鸵蚴椒纸鈺r(shí)使用主元法，本質(zhì)也是運(yùn)用了主要與次要中的抓主要思想唐础。
? ?抓主要矛盾和關(guān)鍵對(duì)象箱歧，把握好利用好這些關(guān)鍵的對(duì)象和關(guān)鍵屬性關(guān)鍵特征。這些在傳統(tǒng)文化中也有類似的論述一膨，例如見機(jī)行事槐沼、天機(jī)优构，“機(jī)(也作幾)”就是萬事事物的關(guān)鍵或主要矛盾速兔，就是萬事萬物變化的樞紐镇防，或者說叫關(guān)鍵環(huán)節(jié)、關(guān)鍵點(diǎn)瞒津、要害蝉衣、機(jī)關(guān)、玄關(guān)(至玄至妙之機(jī)關(guān)巷蚪，玄牝之門)病毡、玄竅、玄機(jī)钓辆、題眼剪验。機(jī)既然可作”幾”肴焊，這表明它可能在形態(tài)上比較細(xì)微，看上去微不足道不起眼功戚，但不要輕視它的作用娶眷，很多時(shí)候它是解決問題的關(guān)鍵。
? 我們要洞察"機(jī)”點(diǎn)啸臀，也就是察機(jī)届宠，相關(guān)的還有知機(jī)、待機(jī)乘粒、乘機(jī)豌注、造機(jī)(主動(dòng)創(chuàng)造有利的契機(jī))，這些在《孫子兵法》中都有精辟的論述灯萍，包括權(quán)謀規(guī)劃(對(duì)應(yīng)解題策略)轧铁，解題和打仗有些類似之處，都是解決問題旦棉，看看孫子兵法對(duì)悟道數(shù)學(xué)思維有助益齿风。
? 提到主要次要，大家可能會(huì)聯(lián)想到平等與等級(jí)(在這個(gè)問題上下文中绑洛，用尊卑救斑，歧視不太合適，所以用等級(jí))真屯。平等(對(duì)稱)在很多場(chǎng)景包括日常生活中是應(yīng)該提倡的脸候，先前的博文中，我們也曾運(yùn)用對(duì)稱性來解決數(shù)學(xué)問題绑蔫，但社會(huì)上有些場(chǎng)景還是需要存在合理的等級(jí)制度运沦，需要有一個(gè)核心，需要有關(guān)鍵主要的角色對(duì)象存在晾匠，類似地茶袒，在數(shù)學(xué)解題中梯刚，有時(shí)也要分辨凉馆、識(shí)別出核心(主要對(duì)象)，抓主要對(duì)象來提綱挈領(lǐng)亡资，要圍繞關(guān)注主要對(duì)象澜共，從主要對(duì)象找到解題突破口，不要眉毛胡子一把抓锥腻。這和社會(huì)上喊的要緊密團(tuán)結(jié)在核心周圍同出一轍嗦董，何其相似。所以再次強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法不神秘瘦黑，它們就在日常生活中京革，道在日用奇唤，關(guān)鍵是看你能不能從日常生活中提煉升華，靈活移植到其它領(lǐng)域匹摇，例如數(shù)學(xué)領(lǐng)域咬扇。
抓主要矛盾，也運(yùn)用在抽象中廊勃，在抽象過程中去粗取精懈贺，去偽存真，就是抓主要矛盾坡垫，提煉本質(zhì)梭灿。
估值：估算可能的取值范圍，從而幫助做出判斷決策或縮小相關(guān)聯(lián)對(duì)象的取值范圍冰悠。此題多處地方都運(yùn)用了估值堡妒。
需要強(qiáng)調(diào)的是觀察，它在日常生活工作中必不可少溉卓，在數(shù)學(xué)解題中也是這樣涕蚤，幾乎每道題中都會(huì)用到。通過仔細(xì)敏銳有目的的觀察的诵，發(fā)現(xiàn)題目的特點(diǎn)特征万栅，發(fā)現(xiàn)題目中數(shù)學(xué)對(duì)象隱藏的特點(diǎn)、特征西疤、規(guī)律烦粒、關(guān)系，觀察發(fā)現(xiàn)的東西都有可能是解題線索和解題突破口代赁。這題處處都運(yùn)用了觀察扰她，例如通過觀察，發(fā)現(xiàn)是個(gè)主要對(duì)象關(guān)鍵對(duì)象芭碍；通過觀察等式2徒役，發(fā)現(xiàn)要對(duì)右邊的9Q-9P-
進(jìn)行估值；通過觀察窖壕，發(fā)現(xiàn)等式2左邊的9P-
是否為0也很關(guān)鍵忧勿，提醒我們把它作為分類的標(biāo)準(zhǔn)；通過觀察
=9P瞻讽，發(fā)現(xiàn)等式左邊是平方數(shù)鸳吸，發(fā)現(xiàn)等式右邊的9也是個(gè)平方數(shù)(
)，這些就是觀察發(fā)現(xiàn)的特征速勇，從而得出P也應(yīng)該是個(gè)平方數(shù)晌砾。此題用到觀察的地方就不一 一列舉了，看上面的解題過程自己體會(huì)烦磁。
數(shù)學(xué)解題的本質(zhì)：關(guān)系思想和辯證的解題策略
? 辯證法中講矛盾的相互轉(zhuǎn)化养匈，萬事萬物都存在聯(lián)系哼勇，有聯(lián)系就有關(guān)系。整個(gè)宇宙可建模為各種對(duì)象/事物(對(duì)象包含各種屬性信息呕乎，屬性一般用數(shù)據(jù)來度量)猴蹂，以及對(duì)象之間的聯(lián)系和關(guān)系，數(shù)學(xué)是研究數(shù)量之間的關(guān)系和空間形式的楣嘁，數(shù)學(xué)對(duì)象也是這樣磅轻，它們之間也存在各種關(guān)系。
? ? 在日常生活中逐虚，很多人遇到困難喜歡找熟人找朋友走關(guān)系聋溜、找關(guān)系、利用關(guān)系來辦事叭爱，在數(shù)學(xué)中也是這樣撮躁，需要發(fā)現(xiàn)關(guān)系、創(chuàng)建關(guān)系买雾、利用關(guān)系把曼、改善關(guān)系、轉(zhuǎn)化關(guān)系漓穿。
? 數(shù)學(xué)對(duì)象的關(guān)系舉例：大小關(guān)系例如a小于b嗤军、倒數(shù)關(guān)系、相反數(shù)關(guān)系晃危、平方關(guān)系叙赚、三角形面積與底邊&高之間的關(guān)系、直角三角形三條邊之間的各種關(guān)系(主要體現(xiàn)為勾股定理僚饭，或用勾股定理來表達(dá)震叮，還有三角函數(shù)正弦余弦正切等)，方程 a+b = 12表達(dá)刻畫了一種關(guān)系鳍鸵，函數(shù)是對(duì)自變量和因變量之間對(duì)應(yīng)/映射關(guān)系的刻畫表達(dá)苇瓣。定理、公式偿乖、方程击罪、函數(shù)、集合汹想、等式外邓、不等式撤蚊、二次函數(shù)曲線圖像古掏、向量運(yùn)算、微積分等都是對(duì)關(guān)系的刻畫和表達(dá)侦啸，同時(shí)它們也是數(shù)學(xué)研究的數(shù)學(xué)對(duì)象槽唾。
? 更進(jìn)一步丧枪，甚至連關(guān)系都是對(duì)象，也就是把關(guān)系自身也作為對(duì)象庞萍。
? 關(guān)系之間也可能存在各種聯(lián)系/關(guān)系拧烦，例如因果、充要條件钝计、必要條件恋博、充分條件通常是對(duì)象之間或關(guān)系之間的關(guān)系聯(lián)系的邏輯表達(dá)。
? 關(guān)系之間有層次和包含關(guān)系私恬，例如除了A對(duì)象和B對(duì)象之間的關(guān)系债沮，對(duì)A對(duì)象，進(jìn)入到其內(nèi)部本鸣，它內(nèi)部的子對(duì)象之間存在關(guān)系疫衩，A對(duì)象和它內(nèi)部的子對(duì)象之間也存在關(guān)系，也就是整體和局部之間存在各種關(guān)系荣德。一個(gè)復(fù)雜的關(guān)系可能包含多個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的關(guān)系闷煤。
? 數(shù)學(xué)思想方法中，方程有方程思想涮瞻，函數(shù)有函數(shù)思想鲤拿，但對(duì)‘關(guān)系’卻沒有對(duì)應(yīng)的思想， 而關(guān)系是數(shù)學(xué)研究的主題之一署咽，但奇怪的是幾乎沒有哪本數(shù)學(xué)書籍包括數(shù)學(xué)思想的書籍明確提到”關(guān)系思想“皆愉，都只是提到“關(guān)系”，網(wǎng)上也只有百度百科上有一處提到關(guān)系思想艇抠，如下圖幕庐，但內(nèi)容其實(shí)是關(guān)于函數(shù)的，函數(shù)也只是關(guān)系的其中一種家淤，網(wǎng)址https://baike.baidu.com/item/%E5%85%B3%E7%B3%BB%E6%80%9D%E6%83%B3/19147669
? ? ? 本人認(rèn)為應(yīng)該名正言順地把關(guān)系思想這個(gè)概念明確提出來异剥，定義出來，關(guān)系思想不只是適用于數(shù)學(xué)領(lǐng)域絮重，它是普遍適用的一種非常重要的思想冤寿。正因?yàn)槿绱耍瑧?yīng)該把它作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法加入到數(shù)學(xué)思想方法體系中青伤，它在數(shù)學(xué)思想方法體系中應(yīng)有非常重要的位置督怜，屬于高層次的思想。關(guān)系和關(guān)系思想是兩個(gè)不同的概念狠角，雖然它們之間有聯(lián)系号杠，就像方程和方程思想一樣，是不同的兩碼事兩個(gè)概念，熟悉方程并不意味著具有方程思想姨蟋。
? ? ? 對(duì)關(guān)系思想屉凯，本人定義如下：關(guān)系思想是辯證法中的普遍聯(lián)系觀點(diǎn)在思想方法中的變現(xiàn)和具體反應(yīng)，當(dāng)我們遇到任何事情或解決任何問題時(shí)眼溶，一定不要忘了運(yùn)用聯(lián)系(關(guān)系)分析的方法悠砚，要始終關(guān)注關(guān)系，深入研究關(guān)系堂飞，抓住關(guān)系把握關(guān)系灌旧，例如發(fā)現(xiàn)挖掘關(guān)系、識(shí)別關(guān)系绰筛、表達(dá)關(guān)系节榜、評(píng)估關(guān)系、繁衍關(guān)系别智、變換關(guān)系宗苍、看透關(guān)系、構(gòu)造關(guān)系薄榛、利用關(guān)系讳窟。根據(jù)普遍聯(lián)系的觀點(diǎn)，眾多對(duì)象（萬事萬物）之間的關(guān)系形成一個(gè)整體的關(guān)系網(wǎng)絡(luò)敞恋，就像我們四通八達(dá)的城市道路交通網(wǎng)一樣丽啡。
? ?事物之間的聯(lián)系(關(guān)系)就是紐帶和橋梁，就是天然的思維向?qū)季S線索硬猫，我們的思維順著這些紐帶补箍，抓著這些紐帶順藤摸瓜，一路探索形成解題思路啸蜜，通過它們引導(dǎo)我們的思維坑雅，它們是解題思路的帶路黨〕暮幔或者說這些紐帶就是一條思維的小河裹粤，是最有可能通向遠(yuǎn)方的目的地(在數(shù)學(xué)解題中就是結(jié)論和答案)的通道，顯然應(yīng)該借助它們蜂林，在它們的基礎(chǔ)上加寬加長(zhǎng)加深遥诉，打通各段互不聯(lián)通的小河，最終到達(dá)目的地,而不是從零開始費(fèi)事費(fèi)力地另辟蹊徑噪叙。
? 在旅游中攀登懸崖峭壁矮锈，為了安全順利地通過，我們大多會(huì)沿著事先開鑿的小路抓著鐵鏈繩索一路行走睁蕾，否則無路可走苞笨，這些小路和鐵鏈就好比數(shù)學(xué)解題中的聯(lián)系(關(guān)系)，抓住它們才容易推進(jìn)問題解決問題。
? 庖丁解牛之道也是順應(yīng)事物的規(guī)律和聯(lián)系猫缭，順著牛身體結(jié)構(gòu)中的縫隙順勢(shì)而為(順著結(jié)構(gòu)中聯(lián)系最薄弱的地方)葱弟，不過這個(gè)縫隙在數(shù)學(xué)思維數(shù)學(xué)解題中就是數(shù)學(xué)對(duì)象之間的聯(lián)系和各種特征壹店，我們要利用好這些聯(lián)系和特征猜丹，借助它們來解題。
? ? 在數(shù)學(xué)領(lǐng)域硅卢，關(guān)系是第一類對(duì)象射窒，它對(duì)應(yīng)的關(guān)系思想，通常包含如下內(nèi)容：
? ? 發(fā)現(xiàn)關(guān)系将塑、識(shí)別關(guān)系：關(guān)系有顯(明顯直接的脉顿、顯式的)有隱(隱藏的、間接的点寥、微小不起眼的艾疟、隱式的)，所以我們要通過觀察敢辩、分析蔽莱、聯(lián)想、類比戚长、抽象等手段來發(fā)現(xiàn)來挖掘出對(duì)象/事物之間盗冷、關(guān)系之間的各種關(guān)系，特別是本質(zhì)的聯(lián)系/關(guān)系同廉，這就是關(guān)系的發(fā)現(xiàn)和識(shí)別仪糖。
? ? 繁衍關(guān)系：數(shù)學(xué)對(duì)象或數(shù)學(xué)對(duì)象之間或關(guān)系之間，可以通過推理產(chǎn)生出/創(chuàng)造出新的關(guān)系/聯(lián)系,例如我們通過邏輯推理除了產(chǎn)生新的結(jié)論迫肖，一般也可能伴隨得出新的關(guān)系锅劝。解方程有時(shí)將兩個(gè)方程式相加或相減或其他運(yùn)算產(chǎn)生一個(gè)新的方程式，可以理解成對(duì)關(guān)系的組合蟆湖。解題方法中的綜合法就是對(duì)關(guān)系的繁衍鸠天，通過已知條件進(jìn)行推理得出新的結(jié)論。
? 變換關(guān)系：根據(jù)需要帐姻，我們可以對(duì)關(guān)系進(jìn)行變形和改造稠集，特別是不熟悉的關(guān)系、不好處理的棘手的關(guān)系饥瓷。代數(shù)中的各種運(yùn)算和變形剥纷，幾何中的加輔助線和變換，如平移呢铆、旋轉(zhuǎn)晦鞋、反射，這些通常是對(duì)關(guān)系進(jìn)行變換、改造悠垛、繁衍线定。
? 表達(dá)關(guān)系：把關(guān)系翻譯成數(shù)學(xué)語言，例如等式确买、不等式斤讥、函數(shù)、方程湾趾、幾何圖形芭商、圖像、集合搀缠、向量铛楣。這些都是關(guān)系的表現(xiàn)形式。
? ? 看透關(guān)系：洞察數(shù)學(xué)對(duì)象之間存在的關(guān)系艺普，另一種是入門三分地對(duì)已有的關(guān)系簸州，看透關(guān)系的表現(xiàn)形式背后的本質(zhì)內(nèi)涵。
? ? 構(gòu)造關(guān)系：拉關(guān)系歧譬，創(chuàng)造關(guān)系岸浑。
? ? 利用關(guān)系：最終就是要利用關(guān)系來達(dá)成我們的目的，來解決問題缴罗。
? ?數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式助琐，注意其中的數(shù)量關(guān)系，空間形式和結(jié)構(gòu)也主要是各種關(guān)系面氓。數(shù)學(xué)對(duì)象如數(shù)兵钮、量、方程舌界、函數(shù)掘譬、集合、幾何圖形呻拌、點(diǎn)葱轩、線、面藐握、面積靴拱、導(dǎo)數(shù)等等。數(shù)學(xué)對(duì)象數(shù)學(xué)對(duì)象之間的關(guān)系是數(shù)學(xué)研究的重點(diǎn)猾普，數(shù)學(xué)題中存在各種數(shù)學(xué)對(duì)象袜炕，所以我們解數(shù)學(xué)題要時(shí)刻碰到關(guān)系，要時(shí)刻運(yùn)用到關(guān)系初家，要時(shí)刻處理好關(guān)系偎窘。
? 已知條件除了是數(shù)據(jù)信息(例如邊長(zhǎng)是5)之外乌助，很多已知條件描述的是數(shù)學(xué)對(duì)象之間的關(guān)系。代數(shù)和幾何結(jié)構(gòu)陌知、規(guī)則他托、算法、定理都蘊(yùn)含有關(guān)系都刻畫表達(dá)了數(shù)學(xué)對(duì)象之間的關(guān)系或約束了數(shù)學(xué)對(duì)象之間的關(guān)系仆葡，例如算法表示的是輸入和輸出的某種關(guān)系赏参，勾股定理刻畫表達(dá)的是直角三角形三條邊之間的某種關(guān)系，可以把規(guī)則浙芙、算法登刺、定理理解成關(guān)系的化身籽腕，或把它們當(dāng)關(guān)系來使用嗡呼。我們使用邏輯推理主要也是依靠關(guān)系。我們?cè)谏钪辛?xí)慣利用社會(huì)關(guān)系來"走關(guān)系"皇耗，有關(guān)系就好辦事南窗。
? 對(duì)每道數(shù)學(xué)題，從起點(diǎn)(題設(shè)郎楼、已知條件)到目標(biāo)終點(diǎn)(結(jié)論万伤、答案)的解題過程中的每一步幾乎都是使用關(guān)系來不斷地轉(zhuǎn)化問題，不熟悉轉(zhuǎn)化成熟悉呜袁，未知轉(zhuǎn)化成已知敌买，不好處理轉(zhuǎn)化成好處理，和目標(biāo)較遠(yuǎn)轉(zhuǎn)化成越來越接近阶界，從一種形式轉(zhuǎn)化成另一種形式虹钮，從而一步步向終點(diǎn)靠近。不斷地轉(zhuǎn)化問題膘融，也就是不斷地變化芙粱，從起點(diǎn)一步步變化，最終到終點(diǎn)氧映。
? 在漫談3的第1題中春畔，我們通過聯(lián)想類比，在第1題和將軍飲馬和壁虎爬墻之間建立了聯(lián)系和關(guān)系岛都，從而類推出要試著用兩點(diǎn)之間直線最短的定理和思路來解決問題律姨，朝這個(gè)方向努力，就自然聯(lián)想到熟悉的長(zhǎng)方體的展開臼疫；第7題择份，我們觀察圖形的特點(diǎn)，利用該幾何圖形閉合和拆分的辯證關(guān)系以及對(duì)應(yīng)關(guān)系多矮。第9題是解方程缓淹，這個(gè)方程自身就是一種關(guān)系哈打，但這個(gè)關(guān)系中還隱藏有其他關(guān)系。我們觀察該方程的特點(diǎn)讯壶，發(fā)現(xiàn)了隱藏的倒數(shù)關(guān)系料仗。有些題利用了數(shù)與形的辯證關(guān)系來轉(zhuǎn)化問題，有些題利用了抽象和具體的辯證關(guān)系伏蚊。
? ? 眾多關(guān)系組成關(guān)系網(wǎng)立轧，有關(guān)系就要利用，靈活利用好就能左右逢源躏吊，就能順利實(shí)現(xiàn)目標(biāo)氛改，不能坐以待斃不去利用。
? ? 善于發(fā)現(xiàn)/洞察關(guān)系比伏、善于創(chuàng)造/繁衍關(guān)系胜卤、善于變換/改造關(guān)系、善于表達(dá)刻畫關(guān)系赁项、善于利用關(guān)系來解題應(yīng)該成為一種思想：關(guān)系思想葛躏。關(guān)系思想，其實(shí)就是辯證法中萬物普遍聯(lián)系的思想觀點(diǎn)悠菜。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題一定要有關(guān)系思想意識(shí)舰攒，因?yàn)殛P(guān)系在解題過程中是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化變化的橋梁。解題思路一般要有一定的憑據(jù)(why)悔醋，為何思路是這樣摩窃，為何這樣做這樣變化。要有一定的理由和根據(jù)(邏輯)芬骄，不是想當(dāng)然猾愿，除了直覺和靈感，很多不是憑運(yùn)氣或隨意思考德玫，不是全憑經(jīng)驗(yàn)或類似題目的解題方法的簡(jiǎn)單模仿匪蟀，而解題思路的產(chǎn)生源泉和憑據(jù)就是數(shù)學(xué)思想方法包括關(guān)系思想和解題策略，也就是數(shù)學(xué)思想和解題策略對(duì)探索解題思路起到指導(dǎo)啟發(fā)作用宰僧。
? 在解數(shù)學(xué)難題時(shí)材彪，找關(guān)系最簡(jiǎn)單的是直接把題目中的已知條件轉(zhuǎn)化翻譯成數(shù)學(xué)對(duì)象，例如方程琴儿、函數(shù)段化、等式、不等式造成、集合显熏、幾何圖形、圖表等晒屎，這些數(shù)學(xué)對(duì)象就是對(duì)關(guān)系的刻畫表達(dá)喘蟆。除了這些已知條件中明顯蘊(yùn)含的關(guān)系缓升，我們還要通過觀察和審題發(fā)現(xiàn)題目中隱藏的特征、特點(diǎn)蕴轨、規(guī)律港谊，分析識(shí)別出題目中的矛盾、難點(diǎn)橙弱，這很大程度上也是為了尋找關(guān)系歧寺，因?yàn)樘卣鳌⑻攸c(diǎn)棘脐、規(guī)律一般都蘊(yùn)含有某些關(guān)系斜筐，這個(gè)尋找隱藏關(guān)系的過程通常要運(yùn)用聯(lián)想、類比蛀缝、比較等數(shù)學(xué)思想方法顷链。接下來來我們運(yùn)用前面介紹的數(shù)學(xué)思想方法利用好題目中的關(guān)系來幫助我們解題，包括創(chuàng)造關(guān)系内斯，改造關(guān)系蕴潦，加上對(duì)題目中矛盾(此處的矛盾是指辯證法中的矛盾像啼，不是邏輯矛盾)和難點(diǎn)的改造和轉(zhuǎn)化俘闯、消除(對(duì)矛盾與難點(diǎn)的識(shí)別、轉(zhuǎn)化忽冻、改造真朗、消除可以體會(huì)第三篇中的矛盾分析法)。這樣就實(shí)現(xiàn)了對(duì)難題的成功解題僧诚。
? 通過關(guān)系思想來解題遮婶，來轉(zhuǎn)化問題轉(zhuǎn)化矛盾，要注意兩點(diǎn)：第一點(diǎn)首先是要找出關(guān)系湖笨，不管是淺顯的直接的關(guān)系還是隱藏的關(guān)系旗扑，甚至是主動(dòng)創(chuàng)造新的關(guān)系，想辦法讓對(duì)象之間發(fā)生關(guān)系來產(chǎn)生新對(duì)象和新關(guān)系慈省，想法讓關(guān)系之間發(fā)生關(guān)系來產(chǎn)生新的關(guān)系臀防。如何找關(guān)系和創(chuàng)造關(guān)系，主要是依靠數(shù)學(xué)思想方法和觀察以及審題边败。另一點(diǎn)是在找關(guān)系利用關(guān)系時(shí)要靈活調(diào)整思維的視角和方向袱衷，要講策略講辯證，例如正向解決問題比較困難笑窜，那我們就逆向來解決致燥，也就是正難則反的辯證策略；具體問題不好解決就上升到抽象層次來就解決排截，也就是抽象化策略嫌蚤。這兩點(diǎn)在數(shù)學(xué)思想方法揭秘-3的解題思維過程中已經(jīng)有講述和體現(xiàn)辐益。
? 在數(shù)學(xué)思想方法的最上層就是觀察、關(guān)系脱吱、特征荷腊、轉(zhuǎn)化、辯證急凰、反思女仰。
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王國(guó)波? 2019.1.13于廣州
