高斯定理（by小毅）

平面轧钓、球聋迎、圓柱帶電體的場強：高斯定理

知識點

1. 電場線

$\$ $\$ $\$ 在電場中引入的一些假想的曲線。曲線上每一點的切線方向和該點電場強度的方向一致;曲線密集的地方場強強霉晕，稀疏的地方場強弱。

2. 電通量

$\$ $\$ $\$ 1. 通過電場中某一面的電場線數(shù)
$\$ $\$ $\$ 2. $\Phi_e=\vec{E}\cdot \vec{S}=ES\cos \theta$ $\$ $\$ $\$ 其中 $\theta$ 為面的法向量與場強的夾角

3. 高斯定理

高斯面：通過靜電場中的任意封閉曲面
封閉曲面外的電場線（連續(xù)性）穿過一個封閉曲面拄轻，從某點穿進去伟葫，一定能找到另一個點穿出，他們大小相等斧抱，符號相反渐溶，總和為0
所以外部電荷不影響電通量
$\oint\vec{E}_{\text{內(nèi)外和}}\cdot d\vec{S}=\frac{Q_{\text{內(nèi)}}}{\epsilon_{0}}$ ；
高斯面的場強是由高斯面內(nèi)外電荷共同產(chǎn)生的宪郊，因此拖陆，面內(nèi)無電荷時弛槐，面上的場強不一定為0依啰，面上的場強為0，也不一定說明面內(nèi)無場強灌闺。

平面對稱的電場和球?qū)ΨQ帶電體的電場

(a)做通過某場點的同心球面作為高斯面坏瞄，隨后將對該面應(yīng)用高斯定理： $內(nèi)\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q_{\text{內(nèi)}}}{\epsilon_{0}}$ 甩卓；
(b)公式中 $內(nèi)Q_{\text{內(nèi)}}$ 是指的這個高斯面所包圍的體積內(nèi)部的總電量。一定要想清楚電荷到底是如何分布的缀棍。在復(fù)雜的問題中，往往需要借助電荷密度來求解爬范。
(c) 設(shè)該場點的電場強度，大小為 $E$ 璧亮，則該面的電通量必然為 $E\cdot4\pi r^{2}$ 斥难，其中 $4\pi r^{2}$ 是高斯球面的面積。
(d)于是得到核心方程： $內(nèi)E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{內(nèi)}}}{\epsilon_{0}}$ 群扶，解出 $E$ 即可镀裤。

軸對稱帶電體的電場

(a)通過該場點做同軸圓柱作為高斯面，隨后將對該面應(yīng)用高斯定理： $內(nèi)\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q_{\text{內(nèi)}}}{\epsilon_{0}}$ 暑劝；
(b)公式中 $內(nèi)Q_{\text{內(nèi)}}$ 是指的這個高斯面所包圍的體積內(nèi)部的總電量铃岔。一定要想清楚電荷到底是如何分布的。在復(fù)雜的問題中毁习，往往需要借助電荷密度來求解。
(c) 設(shè)該場點的電場強度盏道，大小為 $E$ 载碌，則該面的電通量必然為 $E\cdot2\pi rh$ ，其中 $2\pi rh$ 是高斯面(圓柱)的側(cè)面積嫁艇。
(d)于是得到核心方程： $內(nèi)E\cdot2\pi rh=\frac{Q_{\text{內(nèi)}}}{\epsilon_{0}}$ ，解出 $E$ 即可论皆。

QQ圖片20190404202908.jpg

表達題

所有無限大的均勻帶電的平面或平板，以及由它們彼此平行合成的各種組合體感凤，均簡稱“平面帶電體”粒督。畫圖描述這類帶電體的場強特征：

任何無限大均勻帶電平板，做圖示的高斯面屠橄，則其通量 $\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}$ 計算出來必然為

解答：

IMG_20190411_220641.jpg

“平板帶電體”求電場 $\vec{E}$ 的思路是：(a)通過某場點仇矾，在平板兩邊對稱地做一個圓柱型表面作為高斯面，隨后將對該面應(yīng)用高斯定理： $內(nèi)\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q_{\text{內(nèi)}}}{\epsilon_{0}}$ 贮匕；
(b)公式中 $內(nèi)Q_{\text{內(nèi)}}$ 指的這個高斯面所包圍的體積內(nèi)部的總電量。一定要想清楚電荷到底是如何分布的掏膏。在復(fù)雜的問題中敦锌，往往需要借助電荷密度來求解。
(c) 設(shè)該場點的電場強度颖变，大小為 $E$ ，則該面的電通量必然為 $2ES$ 腥刹，其中 $S$ 是圓柱型表面的底面積汉买。
(d)于是得到核心方程： $內(nèi)2ES=\frac{Q_{\text{內(nèi)}}}{\epsilon_{0}}$ ，解出 $E$ 即可垫卤。
現(xiàn)在有一個均勻帶電的平板出牧，電量體密度為 $\rho$ ，平板的厚度是 $D$ 崔列。我們想求出該平板外部旺遮，距離中心為 $x$ 處的場點的電場( $x>D/2$ )。我們過該點边翼，做圖示的高斯面。設(shè)該點電場大小為 $E$ 组底，則核心方程可能為：

解答：

現(xiàn)在有一個均勻帶電的平板债鸡，電量體密度為 $\rho$ ，平板的厚度是 $D$ 厌均。我們想求出該平板內(nèi)部，距離中心為 $x$ 處的場點的電場( $x$ < $D/2$ )晶密。我們過該點模她，做圖示的高斯面。設(shè)該點電場大小為 $E$ 侈净，則核心方程可能為：

解答：

IMG_20190411_220701.jpg

某半徑為 $R$ 的均勻帶電實心球體畜侦，設(shè)某場點到球心的距離是 $r$ ，場強的大小是 $E$ ∠囊粒現(xiàn)在做半徑為 $r$ 的虛擬球面(高斯面)，則該面的電通量 $\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}$ 為( )

解答： $\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q_{\text{內(nèi)}}}{\epsilon_{0}}$
$4\pi r^2 \cdot \vec{E}=\frac{\frac{4\pi R^3}{3 } \rho }{{\epsilon_{0}}}$
$E=\frac{R^3\rho }{{3\epsilon_{0}r^2}}$

現(xiàn)在有一個均勻帶電的球殼咏连，總電量為 $Q$ 鲁森，球殼的半徑是 $R$ ，球殼厚度可以忽略垄懂。我們想求出該球殼內(nèi)部，距離球心為 $r$ 的 $M$ 處的電場( $r<R$ )桶蛔。我們過該點漫谷，做半徑為 $r$ 的同心球面作為高斯面。設(shè)該點電場大小為 $E$ 舔示，則核心方程可能為：
(1) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{0}{\epsilon_{0}}$
(2) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Q}{\epsilon_{0}}$
(3) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Qr^{2}}{\epsilon_{0}R^{2}}$
(4) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Qr}{\epsilon_{0}R}$
解出電場來惕稻，觀察其規(guī)律可能為：(請理解、歸納俺祠、記憶)
(5) 均勻帶電的薄球殼，內(nèi)部場強為零妓布。
(6) 均勻帶電的薄球殼宋梧，內(nèi)部場強不為零。
進而借助疊加原理思考：有厚度的空心帶電球體捂龄，空腔里的場強為
(7) 零。
(8) 不一定唇撬。
則正確的是( )

解答：(1) （5）（7）

現(xiàn)在有一個均勻帶電的球殼展融，總電量為 $Q$ ，球殼的半徑是 $R$ 告希，球殼厚度可以忽略。我們想求出該球殼外部喝噪，距離球心為 $r$ 的 $N$ 處的電場( $r>R$ )指么。我們過該點榴鼎，做半徑為 $r$ 的同心球面作為高斯面晚唇。設(shè)該點電場大小為 $E$ ，則核心方程可能為：
(1) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Q}{\epsilon_{0}}$
(2) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{0}{\epsilon_{0}}$
(3) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Qr^{2}}{\epsilon_{0}R^{2}}$
(4) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Qr}{\epsilon_{0}R}$
解出電場來翁涤，觀察其規(guī)律可能為：(請理解萌踱、歸納号阿、記憶)：均勻帶電薄球殼的外部場強，( )等效為球心處放一個等電量的點電荷所產(chǎn)生的電場扔涧。
(5) 能
(6) 不能
進而借助疊加原理思考：有厚度的空心帶電球體枯夜，球外的場強，( )等效為球心處放一個等電量的點電荷所產(chǎn)生的電場湖雹。
(7) 能
(8) 不能。
則正確的是( )

解答：（1）（5）（7）

現(xiàn)在有一個均勻帶電的球體鸽嫂，總電量為 $Q$ 征讲，球的半徑是 $R$ 。我們想求出該球體外部诗箍，距離球心為 $r$ 的 $N$ 處的電場( $r>R$ )。我們過該點筷狼，做半徑為 $r$ 的同心球面作為高斯面氨距。設(shè)該點電場大小為 $E$ ，則核心方程可能為：
(1) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Q}{\epsilon_{0}}$
(2) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{0}{\epsilon_{0}}$
(3) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Qr^{2}}{\epsilon_{0}R^{2}}$
(4) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Qr}{\epsilon_{0}R}$
解出電場來楞遏，觀察其規(guī)律可能為：(請理解、歸納寡喝、記憶)
(5) 均勻帶電球體的外部場強，等效為球心處放一個等電量的點電荷所產(chǎn)生的電場巧骚。

(6) 均勻帶電球體的外部場強格二，不等效為球心處放一個等電量的點電荷所產(chǎn)生的電場。

則正確的是( )

解答：（1）（5）

現(xiàn)在有一個均勻帶電的球體顶猜，總電量為 $Q$ 长窄，球的半徑是 $R$ 。我們想求出該球體內(nèi)部挠日，距離球心為 $r$ 的 $M$ 處的電場( $r<R$ )。我們過該點冬骚，做半徑為 $r$ 的同心球面作為高斯面郑原。設(shè)該點電場大小為 $E$ ，則核心方程可能為：
(1) $內(nèi)E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{內(nèi)}}}{\epsilon_{0}}$ , $內(nèi)Q_{\text{內(nèi)}}=\frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^{3}}\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}=Q\cdot(\frac{r}{R})^{3}$
(2) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{0}{\epsilon_{0}}$
(3) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{4r^{2}}{\epsilon_{0}R^{2}}$
(4) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{4r}{\epsilon_{0}R}$
結(jié)合以上求解過程知属愤，均勻帶電球體內(nèi)部某場點的場強酸役，可等效為( _ )集中到球心時產(chǎn)生的電場。(請理解涣澡、歸納、記憶)
(5) 所有電荷奄薇。
(6) 高斯面內(nèi)所有電荷抗愁。
則正確的是( )

解答：
（1）（6）

組合帶電體的場強請用疊加原理呵晚。在上面幾道題中沫屡，我們總結(jié)歸納了幾條直觀經(jīng)驗，具體地：
(1) 均勻帶電的薄球殼沮脖，內(nèi)部場強為零。
(2) 均勻帶電薄球殼的外部場強驶俊，等效為球心處放一個等電量的點電荷所產(chǎn)生的電場涮因。
(3) 均勻帶電球體的外部場強伺绽，等效為球心處放一個等電量的點電荷所產(chǎn)生的電場。
(4)均勻帶電球體的內(nèi)部某場點的場強澜掩，可等效為高斯面內(nèi)所有電荷集中到球心時產(chǎn)生的電場杖挣。

所有無限長肩榕、均勻帶電的細桿惩妇、空心圓筒歌殃、實心圓柱乔妈，以及由它們合成的各種“同軸”組合體氓皱，均叫做“圓柱型帶電體”。請圖示這類帶電體的場強特征股淡。

提示：距離軸線為 $r$ 的各點廷区，場強的大小都相等，并且方向一定與軸線垂直埠帕。

小結(jié)

求電場有3種方法

$\color{red}{1. 矢量疊加 }$
$\color{red}{2. 求積分}$
$\color{red}{3.高斯定理 }$

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