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作者：王國波

高中題

? ? 第14題

2018上海高考數(shù)學(xué)填空題第12題恶守。這題我覺得不錯。

思維過程

? 首先觀察題目贡必，根據(jù)題目條件和問題熬的，想到什么？ 平方和為1赊级，聯(lián)想類比到圓方程（圓是兩實數(shù)平方和為正數(shù)常量的幾何解釋）押框、坐標(biāo)、三角函數(shù)正弦與余弦平方之和為1理逊，x1x2+y1y2=1/2,也能聯(lián)想到余弦cos(a-b)的公式這些知識點橡伞。看到最大值的式子想到什么晋被？好像和自己學(xué)過的什么東西有似曾相識的感覺兑徘，在大腦中比對匹配和哪些知識點比較相似，其實看到這個式子要能聯(lián)想類比到‘點到直線的距離公式’這個知識點羡洛，這個最大值的式子和點到直線的距離公式長得很像很接近挂脑，按數(shù)形結(jié)合中提到的數(shù)轉(zhuǎn)化成形，這個代數(shù)式子的兩個組成部分的幾何解釋就是直角坐標(biāo)系中點到直線的距離崭闲。所以這個題目是求圓上兩點到直線x+y-1=0距離之和的最大值肋联，也就是把問題轉(zhuǎn)化為求兩個點到直線距離和的最大值橄仍。轉(zhuǎn)化/化歸是非常重要的數(shù)學(xué)思想方法。

通過觀察、聯(lián)想類比、轉(zhuǎn)化但荤、對應(yīng)罗岖，思路已經(jīng)清晰。設(shè)x1=cosa, y1=sina,x2=cosb腹躁，y2=sinb.

x1x2+y1y2=1/2,就是cosa*cosb+sina*sinb=1/2, cos(a-b)=1/2,也就是a-b=60度桑包，別考慮-60和其他度數(shù)，用60度已經(jīng)夠了纺非。兩個角之差為60度哑了，也是個不變的約束。求圓上兩點到直線的距離之和烧颖，很自然想到數(shù)形結(jié)合弱左，畫圖如下，也就是構(gòu)造(創(chuàng)造)產(chǎn)生如下圖形炕淮。兩個點(x1,y1)拆火、（x2、y2）到原點的直線涂圆，其夾角為60度们镜。

觀察上圖，可以直觀的看出如果兩個點都在第1象限(AB小圓弧)润歉，它們到直線AB（其方程為x+y-1=0）的距離肯定不是最大模狭，繼續(xù)觀察如果有個點在第1象限，另一個點在第2或第4象限踩衩，距離和也不是最大嚼鹉。也就是只能在2贩汉、3、4象限才有可能最大锚赤。

此時這些直角坐標(biāo)已經(jīng)意義不大匹舞，我們重新畫圖，把直線AB畫成水平線宴树，如下圖策菜，便于觀察思考晶疼。先前觀察已經(jīng)得知兩個點在小圓弧AB上距離和不可能最大酒贬，只有在AB大圓弧上才有可能。此時分3種情況翠霍，第1種情況是兩個點都在AM圓弧上锭吨，第2種是一點在AM圓弧上，另一點在MB圓弧上寒匙，第3種是兩個點都在BM弧上零如，這和第一種類似，是對稱的锄弱，結(jié)果是一樣的考蕾，不用再重復(fù)考慮。

對第1種情況運用運動(動態(tài))思維会宪，運動肖卧，讓事物動起來，從靜止到運動或速度從慢到快等都是運動掸鹅，運動思想就是辯證法中運動發(fā)展變化的思想塞帐，讓事物發(fā)展變化，把題目條件變一變巍沙，或讓一些變量值或參數(shù)值或影響因素從小到大逐漸變大或相反從大變小葵姥，和函數(shù)思想也有聯(lián)系。在事物的運動過程中或變化發(fā)展過程中觀察/發(fā)現(xiàn)其中隱藏的規(guī)律和特點或相互聯(lián)系句携。具體在這個題目中榔幸，運動思想就是讓點動起來，想象點C矮嫉、D如上圖順時針沿圓弧運動牡辽。觀察它們在運動中的規(guī)律和變化趨勢。C1點和D1點到圓心O的夾角為60度敞临，保持夾角不變态辛，想像C1運動到C2點，D1運動到D2點挺尿，通過觀察和比較奏黑，顯然C2炊邦、D2點到直線AB的距離和比C1D1的大，也就是隨著向上順時針運動熟史，距離和是增加的馁害，這種情況最大值時的點為C3、D3（D3和M點為同一點）蹂匹。當(dāng)然不用這種方法碘菜，也可用余弦函數(shù)的增減性得出其增大趨勢，但用這種運動加形象思維的方法更直觀高效限寞。在運動中發(fā)現(xiàn)規(guī)律和解題突破口忍啸，有些圖形會隨著參數(shù)的變化而變化，那我們就讓參數(shù)變化履植，分析對應(yīng)的曲線如何運動變化计雌，例如拋物線開口隨著二次系數(shù)的變化其開口會擴張和收縮，隨著常系數(shù)c的變化拋物線隨著Y軸平移玫霎，直線隨著斜率變化而出現(xiàn)旋轉(zhuǎn)凿滤。我們就在這些運動過程中捕捉它們的變化規(guī)律和趨勢。如果涉及到幾何圖形庶近，一般可結(jié)合形象思維的直觀性來獲得洞見翁脆，例如這題。另外運動思想/變化思想在物理題中有時也很管用鼻种，靜態(tài)解決不了問題就動態(tài)反番，想象下事物的運動或運動趨勢，從中得到洞見普舆。

繼續(xù)分析恬口，第1種情況取最大值的兩個點其實是第2種情況下的特殊case，所以我們只考慮第2種情況沼侣。如上圖下部分圖形祖能，設(shè)角COM為a，則角MOD為60-a蛾洛。

園半徑為1养铸，GE=HF=ON=根號2/2，CG=CO*cosa=cosa轧膘，DH=cos(60-a）.

距離和CE+DF=CG+GE+DH+HF=cosa+cos(60-a)+根號2=2*cos30度*cos(30度-a)+根號2=根號3*cos(30度-a)+根號2钞螟，最大值為根號3+根號2。

這題是填空題谎碍，不需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明鳞滨，對填空題，也可借助直觀的幾何圖形蟆淀，直覺得出CD平行于AB時取最大值拯啦。

簡友留言提示澡匪，補充另一種方法，幾何法褒链。

如下圖唁情，作垂線，EF就是梯形中位線甫匹。

總結(jié)：這道題所用的數(shù)學(xué)思想方法：聯(lián)想甸鸟、類比、轉(zhuǎn)化兵迅、數(shù)形結(jié)合/形象思維抢韭、運動思想、分類喷兼、對稱篮绰、比較后雷。

數(shù)形結(jié)合季惯，數(shù)學(xué)大師華羅庚說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微臀突；數(shù)形結(jié)合百般好勉抓，隔離分家萬事休”。數(shù)學(xué)中候学，數(shù)和形是兩個最主要的研究對象藕筋，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，在一定條件下梳码，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化隐圾，相互滲透。借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性掰茶，或者借助形的幾何直觀性來闡明揭示數(shù)之間的某種關(guān)系暇藏，即數(shù)形結(jié)合包括兩個方面：第一種情形是以數(shù)解形，而第二種情形是以形助數(shù)濒蒋。

數(shù)形結(jié)合思想也好理解盐碱，既然數(shù)中有形，形中有數(shù)沪伙，這就是數(shù)和形的關(guān)系瓮顽，它們可相互轉(zhuǎn)化，在第9題中說過要想辦法利用好關(guān)系來解題围橡，那我們就應(yīng)該嘗試?yán)脭?shù)與形的關(guān)系來解題暖混。

這題中的數(shù)形結(jié)合也隱含使用了構(gòu)造法這種數(shù)學(xué)思想，構(gòu)造出如上的幾何圖形翁授。關(guān)于構(gòu)造法的進一步說明見第16題拣播。

? 第15題

證明102的103次方大于103的102次方善绎。

思維過程

這題就是具體中的復(fù)雜，其它數(shù)學(xué)思想方法例如聯(lián)想诫尽、類比等似乎對此題都不管用禀酱，直接計算似乎也不行，除非用計算機牧嫉，常用計算器會溢出剂跟。怎么處理？常用處理手法前面已經(jīng)說過酣藻。碰到這種數(shù)字大曹洽，變量多，一種是向下簡化辽剧，把數(shù)字變小送淆，用簡單的數(shù)字來研究下其中的規(guī)律。

這題用向下簡化的手法解決不了問題怕轿，只能發(fā)現(xiàn)從3開始偷崩，3的4次方大于4的3次方。聯(lián)想到數(shù)學(xué)歸納法撞羽，遞推法阐斜，試一下也不行【魑桑看來還是只有回到先前提到過的谒出，向上抽象。

把這題推廣泛化邻奠，向上抽象笤喳，建模，建立的抽象模型如下圖碌宴，把題目中的數(shù)量之間的關(guān)系用抽象的模型表達出來杀狡，證明方法也在圖中。

? 求函數(shù)導(dǎo)數(shù)很容易證明函數(shù)f(x)在x >= 3（更嚴(yán)格是x>e）時是遞減的唧喉。

? 抽象問題解決捣卤，把m=102代入抽象定理中就完成證明。

? 上圖中從m的（m+1）次方 > （m+1）的m次方到（m+1）lnm > mln(m+1)的變形體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化八孝，把不好處理的變成比較好處理的董朝，另一方面窮則思變，不變沒思路沒出路干跛，必須要變子姜，必須要尋找變化的手段，怎么變楼入，這里我們聯(lián)想到取對數(shù)哥捕。從（m+1）lnm > mln(m+1)到lnm/m > ln(m+1)/m+1的變形體現(xiàn)了分類分組思想牧抽，將m和m+1歸類到兩個組，就變成了lnm/m > ln(m+1)/m+1遥赚。接下來要能敏銳發(fā)現(xiàn)lnm/m > ln(m+1)/m+1中大于號左右兩邊具有同構(gòu)特征扬舒，它們具有相同的(統(tǒng)一的)結(jié)構(gòu)模式，根據(jù)這個同構(gòu)特征凫佛，可以抽象出模式:函數(shù)lnx/x讲坎，證明該函數(shù)的遞減性即可。

總結(jié)：抽象愧薛、轉(zhuǎn)化/變換晨炕、分析法（因果關(guān)系/充分條件/必要條件/充要條件）推理、函數(shù)思想毫炉、聯(lián)想瓮栗。這題中也隱含使用了構(gòu)造法，構(gòu)造出函數(shù)f(x) = lnx/x.關(guān)于構(gòu)造法的說明見第16題瞄勾。這題中函數(shù)求導(dǎo)费奸，微積分中的求導(dǎo)這個知識點就是處理這個抽象對象f(x)的工具，不要怕抽象丰榴，再次證明我們在抽象面前不是手無寸鐵货邓，此題中秆撮，我們在具體復(fù)雜性面前才是手無寸鐵四濒，對具體無可奈何，這題用抽象反而簡單反而能解決問題职辨，再次利用抽象中的簡單性來解題盗蟆。

不變(恒定固定)和變，是一對矛盾舒裤。講辯證喳资，矛盾通常并不是貶義詞，矛盾通常并不是不可調(diào)和的你死我活的沖突腾供，就是兩種相互制約仆邓、相互聯(lián)系相互依存相互轉(zhuǎn)化的兩種性質(zhì)的因素而已，就是陰陽伴鳖，就是男女节值，就是正電和負電，它們很多時候還要相互依存才能和諧平衡榜聂，孤陰不生搞疗，孤陽不長，失去一方须肆，另一方也長久不了匿乃。天行健桩皿，宇宙也是運動的，發(fā)展變化的幢炸，不變是不可能的泄隔，隨著時間，事物每天都不一樣宛徊，人也每天在成長和衰老 梅尤，但變中有不變，變化中有不變的規(guī)律岩调，不變的聯(lián)系和相對不變的本體巷燥、道。宇宙都是變化的号枕，我們既然講辯證缰揪，變化就并不可怕，我們要接受變化并利用好變化葱淳，我們?nèi)祟愂怯兄腔鄣亩巯伲l(fā)明了很多辦法和工具來掌控處理好變化，利用好變化赞厕，有時還要主動變化艳狐，從變化中尋找規(guī)律。學(xué)數(shù)學(xué)皿桑，不應(yīng)該偏愛具體毫目、常量、有限有界诲侮，不喜歡&害怕抽象镀虐、變量、無限沟绪、無窮刮便，要統(tǒng)一的平等的辯證的(我們一直被教育要辯證看問題，為何還是不能辯證的平等的看待矛盾的雙方)來看待這兩組概念和這兩組對象绽慈。如果偏愛前者恨旱，裹足不前，那就是不講辯證坝疼，用非數(shù)學(xué)領(lǐng)域的觀點或幼兒時期形成的膚淺的感性認識來認識數(shù)學(xué)來學(xué)數(shù)學(xué)搜贤，還徘徊在數(shù)學(xué)的大門之外來看數(shù)學(xué)問題，認為前者簡單可控裙士，后者不好掌控害淤。其實是沒吃過前者的虧测秸，沒體驗到后者的好关拒，沒體驗到符號字母、變量和抽象的一以概之和普適性夭咬、簡潔性、彈性表達性铆隘，沒體驗到方程的好處卓舵，特別是沒體驗到處理變化描述變化的非常有用的數(shù)學(xué)工具：函數(shù)、微積分等知識的好膀钠，沒深刻體驗到抽象思維的好掏湾，還在用小學(xué)低年級的算術(shù)思維來學(xué)初高中乃至大學(xué)數(shù)學(xué)；對通過抽象產(chǎn)生的抽象數(shù)學(xué)模型肿嘲，我們也能運用很多數(shù)學(xué)知識點和手段來進行處理融击，所以從初高中開始不應(yīng)該還有這樣的偏見和習(xí)慣。數(shù)學(xué)思想方法的最高宗旨也是變雳窟，數(shù)學(xué)思想方法中的‘’轉(zhuǎn)化‘’也是為了變尊浪，很多情況下，變比不變好封救，抽象比具體好拇涤；很多時候?qū)ふ沂挛镏g的聯(lián)系/關(guān)系，建立關(guān)系誉结，挖掘出關(guān)系也是為了能利用關(guān)系來進行變化鹅士，從而把事情從不好辦變成好辦，把問題從不好處理變成好處理惩坑。

不要自己限制自己的思維掉盅，不要自我設(shè)限。心包萬物旭贬、心包萬理怔接，心生萬法，心物一元稀轨，心游萬仞，整個宇宙包括各種規(guī)律都是可以被人類所認識岸军，無邊無際的宇宙都可以在你腦中在你思維中奋刽，天人合一天人相應(yīng)，就看你是否悟道和層次高低艰赞。

在數(shù)學(xué)中也是這樣佣谐，數(shù)學(xué)中的復(fù)雜性可變性抽象性也是可以被刻畫被描述被掌握的，現(xiàn)在無法掌握方妖，心生萬法狭魂，以后肯定會有。對未知變量，無論是有界和無界雌澄，還是無限無窮斋泄，是連續(xù)還是離散，我們可以用變量(任它未知镐牺、可變炫掐、無限大、無限小睬涧、無限遠募胃、無邊無際，似乎感覺很難辦畦浓，但在數(shù)學(xué)中用幾個x痹束、y、z這樣的符號就輕松囊括了它讶请，收服了它参袱，代表了它，化解了它秽梅，舉重若輕抹蚀，都可裝在我們的思維乾坤袋中)、方程企垦、函數(shù)环壤、函數(shù)論、泛函分析來描述刻畫它們钞诡，來指代它們郑现，來研究它們；對各種變化荧降，可以用微積分等數(shù)學(xué)工具來研究它接箫，來掌控它們，它們逃不出我們的思維手心朵诫。所以在數(shù)學(xué)中辛友，不要害怕抽象、不要害怕未知剪返、不要害怕變化废累、不要害怕無限。

這題可加深對抽象和具體脱盲、變與不變的辯證關(guān)系的理解邑滨。

第16題

思維過程

? 觀察， 發(fā)現(xiàn)是個3元二次方程組钱反，不好直接解出來掖看，并且題目目標(biāo)也不是要求x匣距、y、z的值哎壳，是求兩兩乘積之和毅待。調(diào)整思路，發(fā)現(xiàn)了啥耳峦，1+2=3恩静、聯(lián)想到a的3次方 - b的三次方=（a-b）(a的平方+ab+b的平方)，有些似曾相識的地方蹲坷，但用這些發(fā)現(xiàn)的線索和知識點也不好解題驶乾。

? 在腦中繼續(xù)搜索知識點進行比對/比較：聯(lián)想到余弦定理和這個很相似，再進一步確認是120度角的三角形循签。數(shù)形結(jié)合中提到的數(shù)轉(zhuǎn)化成形级乐，這三個代數(shù)方程式的圖形化的解釋、幾何解釋就是三角形余弦定理县匠，夾角都是120度风科，我們構(gòu)造如下幾何圖形，形象思維/數(shù)形結(jié)合乞旦，x贼穆、y、z是三角形的邊長兰粉，把方程轉(zhuǎn)化成幾何圖形故痊。ABC是直角三角形。

在三角形中玖姑，xy是啥愕秫，它是三角形兩條邊的乘積，聯(lián)系聯(lián)想到三角形面積知識點中有根據(jù)兩條邊的乘積計算面積的公式：1/2xysin120這個式子對應(yīng)的幾何解釋/幾何意義就是三角形的面積(三角形面積等于1/2*兩個邊長的乘積*夾角的正弦焰络，此處根據(jù)兩邊長乘積xy聯(lián)想到這個面積公式是見微知著的聯(lián)想戴甩，從局部聯(lián)想到整體，小中見大闪彼，窺一斑而見全豹)甜孤，此處的三個夾角相同，都是120度备蚓，聯(lián)想到可以提取公因數(shù)课蔬。3個小三角形的面積之和等于直角三角形ABC的面積。

總結(jié)：觀察郊尝、聯(lián)想、類比战惊，碰壁再調(diào)整思路流昏，數(shù)形結(jié)合扎即、構(gòu)造、轉(zhuǎn)化况凉。這個代數(shù)題通過數(shù)形結(jié)合谚鄙，綜合運用代數(shù)和幾何圖形。

這題中的數(shù)形結(jié)合也體現(xiàn)了或者說綜合運用了構(gòu)造法思想刁绒，根據(jù)題目的題設(shè)(已知條件)特點闷营，返本歸元返本溯源，對應(yīng)地構(gòu)造出幾個三角形結(jié)構(gòu)知市，根據(jù)此題的結(jié)論和解題目標(biāo)傻盟，構(gòu)造出對應(yīng)出三角形面積。先前說過轉(zhuǎn)化是一種基本的很高層次的數(shù)學(xué)思想方法嫂丙，其他數(shù)學(xué)思想方法其實是實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的一種手段娘赴。數(shù)形結(jié)合思想、構(gòu)造法思想也是最終體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化變化的數(shù)學(xué)思想跟啤，這題通過數(shù)形結(jié)合和構(gòu)造法诽表，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形和幾何問題，將問題從一個領(lǐng)域(范疇)或一種形式轉(zhuǎn)到另一個領(lǐng)域或形式隅肥，或?qū)⒁粋€領(lǐng)域或形式的問題竿奏，延伸出、變化出額外的領(lǐng)域或形式腥放，綜合交叉多個領(lǐng)域或形式來一起解決問題泛啸。

這題和前面的第14題都是用了數(shù)形結(jié)合思想，都是數(shù)轉(zhuǎn)化成形捉片，結(jié)合形來解題平痰。反過來，形結(jié)合數(shù)的情況就更多了伍纫，幾何題幾乎大多都涉及到各種代數(shù)運算和變形宗雇。

構(gòu)造法：根據(jù)題目的題設(shè)(已知條件)和結(jié)論的特點、聯(lián)系莹规、特征赔蒲、性質(zhì)，運用數(shù)學(xué)思想方法(例如聯(lián)想良漱、類比舞虱、抽象、數(shù)形結(jié)合等等)母市，轉(zhuǎn)化問題(不熟悉變熟悉矾兜、局勢從不好變好、未知變已知患久、復(fù)雜變簡單椅寺、晦澀隱含變明確清晰浑槽、抽象一般變具體特殊或相反)，在使用常規(guī)方法的定向思維受阻時返帕，從新的角度用新的觀點觀察桐玻、分析、理解審視數(shù)學(xué)問題中的條件和結(jié)論荆萤，使用題目中的已知條件為原材料镊靴，運用已有知識點和理論作為工具，主動果斷地重起爐灶链韭，另辟蹊徑重新溯源而上偏竟，靈活巧妙構(gòu)造出、創(chuàng)造出恰當(dāng)?shù)臐M足條件或結(jié)論的新的數(shù)學(xué)模型(此題是構(gòu)造出幾何圖形梧油，在第14和15題中也隱含運用了構(gòu)造法苫耸，14題是構(gòu)造出幾何圖形，15題是構(gòu)造出函數(shù)f(x) )儡陨。

這些數(shù)學(xué)模型可能是圖形褪子、圖表、集合骗村、方程嫌褪、函數(shù)、數(shù)列胚股、等式笼痛、不等式、向量等等琅拌，不限形式缨伊，沒有固定的形式，是非常發(fā)散的进宝，這也體現(xiàn)了構(gòu)造法的創(chuàng)造性刻坊、跳躍性〉辰基于這個新的構(gòu)造物來進行思考谭胚，把思考重心從原題挪開，跳到這個模型上未玻，圍繞這個模型來解決問題灾而。通過構(gòu)造，轉(zhuǎn)化了原問題扳剿，原問題的結(jié)論是這個模型結(jié)的一個果實旁趟、開的一朵花。很多解題思維過程中和數(shù)學(xué)思想方法中都隱含有或顯式就具有或綜合運用了構(gòu)造法思想或轉(zhuǎn)化(化歸)變化思想庇绽，所以在第一篇漫談中提到轉(zhuǎn)化和構(gòu)造法是兩種基本的高層的數(shù)學(xué)思想方法轻庆。

第17題

? ? 三角形ABC癣猾，BD垂直于AC敛劝，BE是角ABC的角平分線余爆，F(xiàn)是AC中點，四個角相等（角ABD夸盟、DBE蛾方、EBF、FBC）上陕，求角ABC的度數(shù)桩砰。

思維過程

? 數(shù)形結(jié)合思想中，形中有數(shù)有關(guān)系释簿，那就計算亚隅，列方程等等，代數(shù)中的東西都可用庶溶。

? 幾何題煮纵，表面看起是形，但形中有數(shù)偏螺，形也對應(yīng)數(shù)行疏，通常離不開數(shù)，任何事物包括虛擬的事物套像，都有形酿联，都有數(shù)，就看你是否能發(fā)現(xiàn)并加以利用夺巩。幾何題中各種數(shù)學(xué)對象（角度贞让、長度、面積等等）之間都存在各種數(shù)量關(guān)系柳譬，對幾何題應(yīng)該要重視數(shù)形結(jié)合思想喳张。’得意忘形’征绎，加輔助線和幾何變換改造了幾何圖形的格局之后蹲姐，觀察提取了幾何圖形中的關(guān)系、特征之后人柿，把這些關(guān)系柴墩、特征、已知條件翻譯轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言之后凫岖，才可以忘形江咳，后面就是計算和推理。

? 觀察圖形哥放，可以發(fā)現(xiàn)有個統(tǒng)一的模式歼指，那就是AD爹土、DE（等于AD）、DF踩身、DC和高BD都有三角函數(shù)正切(tan)的關(guān)系胀茵，并且結(jié)合題目目標(biāo)，所求的答案也是和角度相關(guān)挟阻，感覺方向思路是對的琼娘。另外也可反問自己如何利用好發(fā)現(xiàn)的形方面的這些關(guān)系，就激發(fā)自己想到數(shù)形結(jié)合附鸽，把形中蘊含的數(shù)方面的特征表達出來脱拼，也就是用三角函數(shù)正切表達出來。解題方法如下圖坷备。?

這個角ABD的角度符號不好打字熄浓，這里用a來代替。在這道題的解題過程中間省撑，要能觀察發(fā)現(xiàn)題目中的2a=3a-a赌蔑，并利用這個發(fā)現(xiàn)的特征線索。這個特征看上去微不足道丁侄，但別輕視忽略它惯雳，要見微知著，有些觀察發(fā)現(xiàn)的微不足道或不起眼的關(guān)系鸿摇、特征石景、規(guī)律或蛛絲馬跡，不要輕視忽略它們拙吉，這些都可能是解題的線索和已知條件潮孽，要把它們用數(shù)學(xué)語言翻譯出來表達出來，抽象出來筷黔，這個2a=3a-a就是關(guān)系的表達形式往史，把發(fā)現(xiàn)的關(guān)系翻譯成轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)中的等式，還要寫在草稿紙上,可視化佛舱。這樣就從視覺上提醒你椎例，不要藏在腦中，藏在腦中就容易被忽視请祖，它們有時會起到重要的作用订歪，這個也是經(jīng)驗之談。

? 其實我當(dāng)時解題時看到上圖中的2tan2a= tan3a-tana這個等式肆捕，發(fā)現(xiàn)式子中的2a=3a-a刷晋，在腦子中立馬聯(lián)想到了三角函數(shù)正切公式tan(x-y)= tanx-tany / 1+tanxtany，腦子迅速意識到下一步等式兩邊會出現(xiàn)tan3a-tana相約的情況，不需要草稿紙眼虱，這樣一下子就把解題路徑打通了喻奥，形成了通路，快速越過了難走的泥濘道路捏悬，推進問題解決撞蚕。這個類似下棋，高明的棋手能在腦子中推演后面的棋局邮破，或從直覺上感覺到诈豌、洞見到、預(yù)見到后續(xù)幾步的局勢發(fā)展情況抒和，當(dāng)然首先要有這樣的思考習(xí)慣：在大腦中"走幾步"。要培養(yǎng)鍛煉這樣的數(shù)感彤蔽、思維習(xí)慣摧莽、思維能力包括直覺思維能力。

? 另外我們用綜合法進行邏輯推理顿痪，也是"走幾步"镊辕，一步步逼近問題答案和目標(biāo)，有時綜合法結(jié)合分析法乃至排除法蚁袭，讓它們在中途點相遇征懈。有時要運用合理推理、合理猜想揩悄、合理假設(shè)來從多種可能性中選取問題下一步最可能的情況進行試探卖哎，用最可能的情況來猜來試探。注意此處的合理删性，合理是在符合一定的邏輯和約束之下做出的一些合情合理的選擇亏娜、判斷或一些猜測。合理假設(shè)蹬挺，舉個例子维贺，我們用待定系數(shù)法來進行因式分解，就體現(xiàn)了合理猜想和合理假設(shè)巴帮，實際上是先合理猜想合理設(shè)想出這個因式分解大體上的結(jié)構(gòu)模式(結(jié)構(gòu)上的總體框架模式)溯泣，但在具體的細節(jié)層面還不確定，也就是系數(shù)未知還不確定榕茧，后面再運用對應(yīng)和方程思想來確定系數(shù)垃沦。在待定系數(shù)法中的未知系數(shù)過多，并且方程次數(shù)超過2次雪猪，例如3次或4次的復(fù)雜情況下用蠻力解出這些系數(shù)是比較難的栏尚，此時要繼續(xù)用合理假設(shè)和實驗法來把部分系數(shù)(也是方程中的未知數(shù))設(shè)置成幾種最可能的具體數(shù)值來進行試探，因為因式分解出題人通常就是按最可能的情況來出題的。實驗法在因式分解中也有另外的運用译仗，有些因式分解抬虽，特別是超過2次的或多元的，有時也可以用求根法纵菌，也就是把式子當(dāng)做方程阐污，用幾個特殊的具體數(shù)值(例如x=0、1咱圆、2笛辟、3、-1序苏、-2等)或x=y代進去手幢，實驗一下看式子是否為0，如為零忱详，則必有因式:x-根围来，例如x-2。有時因式分解匈睁，我們在草稿紙上使用待定系數(shù)法和求根法得出答案监透，但在寫到試卷上和作業(yè)本上時，可以寫成用拆項法航唆，這就體現(xiàn)了里與表的辯證胀蛮。

? ? 有時在解題第一步或中間步驟可能出現(xiàn)多種方案，特別是等式變形糯钙，可能有幾種變形方式粪狼，我們也可在大腦中很快對每種變形方式預(yù)先走一兩步，比較評估下每種方式超营，再做出選擇鸳玩，有些題通常是看到題目，一兩秒就直接知道可行的方案了演闭，做出正確的決策不跟。

? 前面的一些題，我們在數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)下找到解題突破口和關(guān)鍵的解題操作之后米碰，很快就感覺豁然開朗窝革，解題局勢大變樣，其實這也是我們的思維在解題突破口和解題操作基礎(chǔ)上吕座，走了一兩步的結(jié)果虐译。例如第7題，我們通過聯(lián)想將多面體拆開之后吴趴，立即就覺得此法可行漆诽；第13題，加輔助線之后，立即覺得形勢好轉(zhuǎn)厢拭。

? 解題和警察破案有些類似兰英，通過各種手段收集提取各種線索和證據(jù)，包括到案件現(xiàn)場勘驗供鸠、查看視頻監(jiān)控畦贸，調(diào)查被害人和犯罪嫌疑人的情況特征和社會關(guān)系(例如家庭關(guān)系、朋友關(guān)系和關(guān)系人之間的通訊記錄)楞捂，展開推理和推測薄坏，用證據(jù)驗證自己的推理，進行揚棄寨闹。

再次強調(diào)：關(guān)系關(guān)系關(guān)系胶坠、關(guān)系思想。從一定角度上看鼻忠，除了對象和屬性的數(shù)值信息涵但，一切皆關(guān)系,對象之間，對象內(nèi)部都存在各種關(guān)系帖蔓。我們學(xué)過的知識點中幾乎都存在關(guān)系或者說是對關(guān)系的刻畫和表達，例如長方形面積等于長乘以寬瞳脓，各種定理塑娇、等式、函數(shù)劫侧、方程埋酬、公式、結(jié)構(gòu)烧栋、模型写妥、問題已知條件和特征特點、規(guī)律审姓、圖形中都存在關(guān)系都表達了關(guān)系珍特。問題和知識點之間、知識點和知識點之間魔吐、概念之間扎筒，概念和知識點之間、問題和問題之間也是如此酬姆，關(guān)系無處不在嗜桌。從上面的這些解題過程中可知，發(fā)現(xiàn)和挖掘出題目中隱藏的關(guān)系辞色，研究好關(guān)系骨宠，利用好關(guān)系，處理好關(guān)系極其重要，可以說關(guān)系決定成敗层亿。

結(jié)尾

? ? 學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)鍵是為了鍛煉數(shù)學(xué)思維桦卒，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)性、全面系統(tǒng)性棕所、批判性等思維品質(zhì)闸盔，從初等到高等數(shù)學(xué)，工作之后我們大多數(shù)人能用到多少數(shù)學(xué)知識琳省？還記得多少數(shù)學(xué)知識迎吵？知識是容易忘記的，但通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錘煉出來的對數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟掌握和思維嚴(yán)謹(jǐn)性针贬、靈活性击费、全面系統(tǒng)性、批判性這些思維品質(zhì)桦他，即使不從事數(shù)學(xué)教育和當(dāng)數(shù)學(xué)家蔫巩，這些思維品質(zhì)在各行各業(yè)中都是不可或缺的，例如在軟件行業(yè)快压，看到很多思維混亂圆仔，邏輯性差，思維不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)娜四枇樱麄兙褪菙?shù)學(xué)教育失敗的受害者坪郭。

? ? 具體的解題過程就講完了，再總結(jié)下脉幢，做到4個善于：

? ? 第一善于觀察：善于發(fā)現(xiàn)和挖掘題目中隱藏的解題線索和蛛絲馬跡：特征特點歪沃、規(guī)律、關(guān)系嫌松、充要條件沪曙。找關(guān)系找聯(lián)系很重要，關(guān)系萎羔、聯(lián)系很重要液走。如果沒有關(guān)系，沒有聯(lián)系外驱，就要找出對應(yīng)的關(guān)系育灸，找出對應(yīng)的聯(lián)系，甚至主動創(chuàng)造關(guān)系昵宇，主動創(chuàng)造聯(lián)系磅崭。關(guān)系/聯(lián)系通常是存在于多個對象(兩個或兩個以上)之間的，有時題目中缺少關(guān)系瓦哎，甚至缺少聯(lián)系對應(yīng)的對象砸喻，例如題目中只有甲對象(元素)柔逼，沒有甲對象關(guān)聯(lián)的乙對象，此時我們就要通過聯(lián)想割岛、類比愉适、對偶等數(shù)學(xué)思想方法積極主動找出關(guān)聯(lián)的乙對象，再讓甲乙發(fā)生關(guān)系建立關(guān)系癣漆；

? ? 第二善于變化：善于運用各種數(shù)學(xué)思想方法和解題策略指導(dǎo)我們進行變化(轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)換)维咸，通過變化處理好利用好題目中的已知條件、特征特點惠爽、規(guī)律癌蓖、關(guān)系、結(jié)論和答案婚肆，在變化中找到解題突破口和解題思路租副。

? ? 第三善于反思總結(jié)。

? ? 第四善于自學(xué)较性。

通過3篇博客用僧，基本上對大多數(shù)數(shù)學(xué)思想方法以及解題策略都有所涉獵，對邏輯推理中的因果關(guān)系思想在上面的解題思維過程中也有運用赞咙，體現(xiàn)因果關(guān)系思想的綜合法(由條件到結(jié)論)和分析法(由結(jié)論/答案反推必要充要條件)在學(xué)校的教學(xué)和解題實踐中用的很多责循，在幾何、代數(shù)中都有廣泛的使用攀操。對構(gòu)造法思想也有初步講述沼死。關(guān)于估值思想、主要-次要抓關(guān)鍵等策略的運用示例崔赌，合理推理和合理猜想、解題過程中的反思的實際運用(就是在解題過程中碰壁時耸别，對當(dāng)前方法進行反思否定健芭，包括反思是否把題目中的已知條件用好用足，從而調(diào)整和改變解題方法秀姐，最終解決問題)慈迈，有空在數(shù)學(xué)思想方法揭秘-4中講述，代數(shù)中的待定系數(shù)法其實體現(xiàn)的就是合理推理省有、合理猜想和對結(jié)構(gòu)模式的假設(shè)痒留，普通的因式分解題，常人一眼就能看出是否要使用待定系數(shù)法蠢沿，但有些競賽題要靠對待定系數(shù)法有本質(zhì)的理解和洞見才能有意識地想到用它伸头，才能用對它，因為這些題出的很巧妙舷蟀，從題目表面上看恤磷，從形上看面哼，它不是因式分解題，難以看穿它要用待定系數(shù)法扫步。原因就在沒有提煉出待定系數(shù)法背后的本質(zhì)和沒有自覺聯(lián)想到使用它魔策。除此外，不限于待定系數(shù)法河胎，其他類型的題目有時也要運用合情合理的推理闯袒、猜想假設(shè)/估算估值、實驗游岳、從模糊逐步到精確等方法相結(jié)合才能找到解題突破口政敢。

? 需要注意的是，沒有哪種數(shù)學(xué)思想方法是萬能的吭历，法無定法堕仔，運用之妙，存乎一心晌区，對具體的數(shù)學(xué)題摩骨，我們一般是綜合運用多種數(shù)學(xué)思想方法和解題策略來引導(dǎo)我們的思維過程。

? 真掌握了這些思想和解題策略朗若，我們幾乎就是出題人肚子中的蟲蟲恼五，和他們一個鼻孔出氣，能較快識破看穿他們當(dāng)時出題的伎倆哭懈，雖然沒見面灾馒，也能有會心一笑的感覺和共鳴。最關(guān)鍵的是通過用正確的數(shù)學(xué)思想方法來鍛煉思維能力遣总，培養(yǎng)自學(xué)能力睬罗，思維靈活，養(yǎng)成良好的理工科思維品質(zhì)，以后在大學(xué)階段理工科學(xué)習(xí)就如虎添翼。

? ? 道不遠人瘫筐，數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)就是一個聞道麻养，然后悟道的過程。開始聞道，感覺道在天邊，對這些不熟悉，但只要你在實踐中用心體會它算芯，有意識的去訓(xùn)練它運用它，格物致知凳宙，日久成自然熙揍，可能有一天就頓悟了，就真正消化領(lǐng)悟了近速，這些思維模式就成為潛意識中的習(xí)慣了诈嘿，此時道和你合二為一堪旧。有人說觀察力和聯(lián)想能力或其他能力不行，缺啥補啥奖亚，那你就有意識的去訓(xùn)練這方面的能力淳梦，去通過上面的解題思維過程體會如何聯(lián)想等等這些。

? 上士聞道昔字，勤而行之爆袍，下士聞道，大笑之作郭。信手寫來陨囊，加上寫作水平一般，造成有些章節(jié)位置排版不合理的地方夹攒，又想力圖講清楚蜘醋，造成有較多重復(fù)的地方，但如果感興趣咏尝，可以把數(shù)學(xué)思想方法的三篇文章完整多讀幾遍压语，特別是第一篇和第三篇，前后聯(lián)系起來讀编检，應(yīng)該會有所收獲胎食，有所領(lǐng)悟后再去解題實戰(zhàn)中運用，在實踐中進一步加深對數(shù)學(xué)思維之道的領(lǐng)悟和體會允懂。有些觀點雖然有些偏頗偏激片面厕怜，其實是想針砭時弊，不妥的地方多包涵蕾总。

? 小初高的題再擴充下數(shù)量粥航，每種數(shù)學(xué)思想方法為主一個章節(jié)，把內(nèi)容重新整理下生百，可以出三本分別適合小學(xué)躁锡、初中、高中的數(shù)學(xué)思想方法的思維訓(xùn)練書籍置侍，它們涉及到的思想方法基本上是一樣的，只是考察的知識點有所不同拦焚。

? 思想方法是思維之道蜡坊，教育的目的是要傳道悟道，至少要悟?qū)W科思維之道赎败，有的甚至進一步悟人生之道秕衙，悟宇宙之道，要有悟性僵刮，要提高悟性据忘。

? 看過一些數(shù)學(xué)思想方面的書籍和文章鹦牛，說實話，不滿意勇吊，感覺深度和廣度都不夠曼追，幾乎難以看到有醍醐灌頂讓人思想通透，讓人有與君一席談勝讀十年書的感覺的書汉规。會當(dāng)凌絕頂礼殊，一覽眾山小，這篇文章融匯哲學(xué)思想针史，較全面深刻地對數(shù)學(xué)思想方法和解題策略做了較深入淺出的闡述晶伦，幫助我們從高屋建瓴的層面用高觀點來進一步理解數(shù)學(xué)思想方法和解題策略。并用親身的解題思維過程來講解如何靈活運用數(shù)學(xué)思想和解題策略啄枕，都是用自己的語言來講婚陪，是我如何學(xué)數(shù)學(xué)的肺腑之言經(jīng)驗之談，徹底揭開數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)解題的真諦频祝，這也是我很久之前就想做的泌参。

下篇：數(shù)學(xué)思想方法揭秘-4(原創(chuàng))。

王國波2018.7.14于廣州