作者：王國波
接著后記2繼續(xù)講述底扳。
當(dāng)學(xué)到三角形兩邊之和大于第三邊和兩邊之差小于第三邊時呀癣，我們可以發(fā)散一下，考慮三角形一個角度為特殊值0度或180度時(不是傳統(tǒng)意義上的嚴(yán)格的三角形第美，此處是廣義)，也就是在三點共線的特殊情況下时鸵，會有什么結(jié)論，把這些結(jié)論綜合歸納起來會有什么統(tǒng)一的全面的認(rèn)識渴杆。
學(xué)習(xí)解析幾何中的直線寥枝、橢圓和雙曲線、拋物線時磁奖，一般只局限于研究點在直線或曲線上的情況囊拜。我們要發(fā)散思維，變化一下比搭，看看當(dāng)點不在直線或曲線上時會有什么變化和結(jié)論冠跷。
1）對解析幾何中的直線(代數(shù)式)，不能只限于點在直線上的情況身诺，要發(fā)散思維蜜托，考慮當(dāng)點不在直線上，也就是在直線左側(cè)區(qū)域或右側(cè)區(qū)域時霉赡，對應(yīng)的代數(shù)式有什么變化或有什么結(jié)論橄务。
2）教材上一般只講點在橢圓上的情況，局限了我們的思維穴亏。我們可主動發(fā)散思維變一變蜂挪，考慮當(dāng)點在橢圓內(nèi)或橢圓外時，點到兩焦點的距離之和有什么變化嗓化，有什么結(jié)論棠涮、對應(yīng)的代數(shù)和1之間的關(guān)系是怎樣的。例如我們可以得出如下結(jié)論：當(dāng)點在橢圓外部時刺覆，點到兩焦點的距離之和大于2a(長軸長度)严肪，
。當(dāng)點在橢圓內(nèi)部時谦屑，點到兩焦點的距離小于2a(長軸長度)驳糯，
。反過來伦仍，逆定理：當(dāng)點到某橢圓兩焦點的距離之和大于2a(長軸長度)時或
结窘，我們可得出點在橢圓外部。類似這樣發(fā)散思維充蓝，我們就能得到對橢圓更全面完整的認(rèn)識隧枫。
另外學(xué)到橢圓，要敏銳感覺或意識到它和圓應(yīng)該存在某些聯(lián)系谓苟，對它們的聯(lián)系進行研究官脓，先前講到過，要有關(guān)系思想涝焙，要注重新舊知識之間的聯(lián)系和區(qū)別卑笨。顯然圓是特殊的橢圓，所以橢圓的結(jié)論大多也適合圓仑撞。此外發(fā)現(xiàn)在物理上圓和橢圓可通過拉伸擠壓變形進行相互轉(zhuǎn)化赤兴，這種物理變形妖滔，數(shù)學(xué)上的概念就是伸縮變換(仿射變換)。橢圓可以通過這種變換轉(zhuǎn)化為圓桶良，通常研究圓比橢圓要容易座舍，有些涉及到橢圓的問題，通過這種變換把橢圓轉(zhuǎn)化為圓進行研究陨帆，得出在圓情況下的結(jié)論曲秉，再根據(jù)對應(yīng)關(guān)系，把結(jié)論反演回橢圓疲牵，得出橢圓情況下的結(jié)論承二。
3）當(dāng)點在雙曲線內(nèi)（凹槽內(nèi)）或外時，點到兩焦點的距離之差(絕對值)有什么變化纲爸，有什么結(jié)論亥鸠、代數(shù)式和1的關(guān)系是怎樣的。
注意：雖然這里介紹的例子是按位置關(guān)系的維度來進行分類討論缩焦，但發(fā)散思維不限于采用分類討論读虏，也不限維度，可從多個維度來發(fā)散思維袁滥，可從多維多來進行分解重組&組合變化盖桥，比如服裝，可以從性別維度题翻、顏色維度和尺碼維度來進行組合變化揩徊，變出：男士紅色M碼，男士紅色L碼嵌赠、女士白色M碼塑荒、女士白色L碼等。
這樣發(fā)散思維和聯(lián)想姜挺，就把我們的知識相互串起來齿税，結(jié)成一張聯(lián)系緊密的知識網(wǎng)絡(luò)知識體系。
初高中對數(shù)學(xué)學(xué)有余力且有興趣的要自學(xué)數(shù)學(xué)炊豪，看數(shù)學(xué)悟道人士的書籍和文章凌箕，在自學(xué)和解題實踐中悟道自學(xué)之道和數(shù)學(xué)思維之道。
數(shù)學(xué)實驗與探索法
實驗方法词渤、探索法與變化牵舱、數(shù)學(xué)思想、解題策略缺虐、發(fā)散思維芜壁、直覺思維、靈感思維、辯證法慧妄。
路漫漫其修遠(yuǎn)兮顷牌，吾將上下而求索。
物理塞淹、化學(xué)韧掩、生物有實驗課，數(shù)學(xué)被很多人單純認(rèn)為是演繹科學(xué)窖铡，形式化是數(shù)學(xué)的基本特征，強調(diào)形式化的邏輯推導(dǎo)和形式化的結(jié)果坊谁，沒有數(shù)學(xué)實驗费彼。認(rèn)為數(shù)學(xué)就是邏輯，不必做什么實驗的口芍，這是對數(shù)學(xué)研究箍铲、數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)解題的誤解。數(shù)學(xué)不是只有符號化形式化的邏輯思維和邏輯推理鬓椭，它也需要非形式化的一些內(nèi)容：豐富的想象力颠猴、感性認(rèn)識，需要觀察小染、聯(lián)想翘瓮、類比、估算裤翩、比較资盅、選擇、歸納踊赠、猜測呵扛、優(yōu)化、分析筐带、推理今穿、判斷、驗證伦籍、構(gòu)造蓝晒、反思辆床、調(diào)整重归，需要非邏輯的直覺思維、靈感思維涌哲、形象思維和數(shù)學(xué)實驗富蓄。法國數(shù)學(xué)家龐加萊認(rèn)為：”邏輯是證明的工具剩燥，直覺是發(fā)明的工具”。很多數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)和數(shù)學(xué)創(chuàng)新的產(chǎn)生主要靠直覺、靈感灭红、實驗侣滩，而不是邏輯，數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史已清楚地表明变擒，形式化和非形式化是辯證的對立統(tǒng)一關(guān)系君珠，數(shù)學(xué)的無限發(fā)展正是在形式化與非形式化的辯證運動中得以實現(xiàn)的，形式化和非形式化是并存的娇斑，是相互促進的策添，相互轉(zhuǎn)化的。
數(shù)學(xué)教學(xué)不能過度形式化抽象化毫缆，否則會將生動活潑的數(shù)學(xué)思維活動淹沒在形式化的海洋里唯竹。數(shù)學(xué)的現(xiàn)代發(fā)展也表明全盤形式化是不可能的。
數(shù)學(xué)教學(xué)就是要把數(shù)學(xué)形式化的學(xué)術(shù)形態(tài)適當(dāng)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài)苦丁。數(shù)學(xué)的高度抽象性與形式化的特點浸颓，決定了學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中要真正地理解數(shù)學(xué)、掌握數(shù)學(xué)旺拉、進而領(lǐng)悟數(shù)學(xué)中的精神和方法产上，必須要經(jīng)歷一個“再創(chuàng)造”的過程，要由學(xué)生自己把要學(xué)的東西發(fā)現(xiàn)出來蛾狗。
數(shù)學(xué)不僅需要實驗晋涣，而且數(shù)學(xué)的創(chuàng)新教育，更需要數(shù)學(xué)試驗沉桌，數(shù)學(xué)實驗是進行創(chuàng)新能力培養(yǎng)的有效途徑姻僧。學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗蒲牧、猜測撇贺、類比、歸納冰抢、計算松嘶、推理、驗證等活動過程挎扰。
再來學(xué)習(xí)幾位數(shù)學(xué)大師關(guān)于數(shù)學(xué)探索和實驗的幾段話翠订。
波利亞在《怎樣解題》中指出“探索就是一再地去試,多次變換方法,使我們不致錯過那少許的寶貴的可能性.”。
“數(shù)學(xué)有兩個側(cè)面遵倦，一方面是歐幾里德式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)尽超，從這方面看，數(shù)學(xué)像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)梧躺；但是另一方面似谁，在創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)更像是一門實驗性的歸納科學(xué)”傲绣。
歐拉曾說過：“數(shù)學(xué)這門科學(xué)，需要觀察巩踏，還需要實驗秃诵。
高斯也曾提到過，他的許多定理都是靠實驗塞琼，歸納法發(fā)現(xiàn)的菠净，證明只是補充的手續(xù)彪杉。
數(shù)學(xué)實驗方法和探索方法(擴大化，包括本系列所講的數(shù)學(xué)思想方法論)是溝通具體到抽象煞抬，感性到理性的一座橋梁，它們好比建筑工程中使用的腳手架构哺，雖然我們的目的是大廈本身战坤，但在建設(shè)大廈的過程中腳手架不可或缺，在數(shù)學(xué)思維過程中也是這樣途茫。數(shù)學(xué)實驗不僅需要動手碟嘴，更需要動腦囊卜，更多的是思維實驗。
數(shù)學(xué)實驗方法
對一些數(shù)學(xué)難題, 往往不知如何下手去解,找不到解題突破口雀瓢，類比物理刃麸、化學(xué)實驗, 我們通過觀察題目, 從特殊入手司浪、從簡單入手、從具體入手吁伺、從整體入手租谈、從主要或關(guān)鍵對象入手，結(jié)合分析推理宦搬、歸納等來做一些思維實驗, 這種探索解題途徑的思想方法稱為實驗法憔足。從特殊入手、從簡單入手、從熟悉入手等也屬于解題策略或解題策略指導(dǎo)下的思維變化悼沈。
數(shù)學(xué)有實驗性的歸納和類比思維壤靶，有形象思維和直覺思維包雀，數(shù)學(xué)創(chuàng)造需要數(shù)學(xué)實驗。
前面系列文章所講的觀察、比較叙谨、分析&推理、計算敦姻、歸納&猜想旺入、估值估算、枚舉扮匠、局部調(diào)整讹蘑、特殊化&特例游盲、簡單化、具體化屏富、尋找周期等實際上都是數(shù)學(xué)實驗法瘤袖，這些方法在系列文章中幾乎都有講解。
數(shù)學(xué)實驗主要是在大腦中進行的思維實驗占婉，要求的工具和器材不多逆济，初高中階段，有紙有筆加上靈活的思維足夠了抛虫，幾乎不需要尺規(guī)简僧、計算器岛马、電腦和輔助軟件。
這里再舉幾個例子伞矩。
多項式因式分解試根法就屬于數(shù)學(xué)實驗方法夏志。
18.1題 因式分解：
多項式中常數(shù)項和最高次項的系數(shù)的約數(shù)相除的正負(fù)值沟蔑，都可能是這個多項式=0的根。
這里常數(shù)項為-2枫吧，它的約數(shù)為1宇色、2宣蠕，系數(shù)為1甥捺，約數(shù)為1镰禾，因此根可能為
.將
帶入多項式劫樟，發(fā)現(xiàn)當(dāng)=2是多項式的根，故
是多項式的因式奶陈，后面的變形就有的放矢附较，按照
進行有目的地拆補變形翅睛。
=
自己思考用試根法進行因式分解：
18.2題 已知,求該方程的解凡纳。
解：顯然這4個數(shù)是對稱的，不妨設(shè)巷怜。
暴氏，又
,故
答渔。
1）當(dāng)a=4時，,由
,又
,故b=4宋雏，可得
,又
磨总，故
，
招狸，
厕诡。
2）當(dāng)a=5時，壹罚，
寿羞。
? ? ? ? ? 當(dāng)b=2時绪穆，，
,當(dāng)
時菠红，易知此時d無解试溯。當(dāng)
,無解猎塞。
? ? ? ? ? 當(dāng)b=3時杠纵，比藻。
? ? ? ? ? ? ? ? ? 當(dāng)c=1時倘屹，
纽匙；當(dāng)
轩拨，無解。
? ? ? ? ? 當(dāng)b,無解淋肾。
綜上所述爸邢，a=4,b=3,c=1,d=-2是方程的一組解杠河，把這組解的值互換，也就是進行排列組合七扰，可知有24組解陪白，這些解就不寫出了咱士。
18.3 題
這題通過用幾個具體的簡單的n值進行歸納實驗序厉，猜想出個位數(shù)為9，再用數(shù)學(xué)歸納法進行嚴(yán)格證明道盏。
可見對這道題，我們通過歸納實驗得出了規(guī)律媒咳，猜想出了結(jié)論涩澡。如果在教學(xué)中只講解下半部分的證明而不講上半部分的歸納實驗過程坠敷，會讓人感覺結(jié)論很突然膝迎，知其然而不知其所以然。對教學(xué)而言茎辐，這道題的上半部分比下半部分更重要拖陆。
實驗法也屬于探索法懊亡。
探索法與變化
數(shù)學(xué)解題過程關(guān)鍵在于探索解題方法店枣。重溫下數(shù)學(xué)思想方法揭秘-1(原創(chuàng))中提到過的”數(shù)學(xué)解題思維的本質(zhì)和最高準(zhǔn)則就是變化(變換)",辯證法中所講的運動變化，唯一不變的是變化闷旧。解題的每一步都是在進行變化忙灼，一步步變出結(jié)論和答案钝侠，逐步向結(jié)論和答案靠近帅韧。從最初不知道問題答案(結(jié)論或證明)到最后知道答案，這就是變化双妨，從未知變成已知斥难。在解題過程中帘饶，大腦在不停地運轉(zhuǎn)及刻，不僅大腦中的思維模式和思維內(nèi)容要變化(虛：無形的思想意識、精神上的暑劝、思維活動的運動變化)颗搂，例如進行由此及彼的聯(lián)想丢氢、從具體到抽象的切換疚察、轉(zhuǎn)化或化歸，變換問題的形式和目標(biāo)比驻。大腦思維從此跳到彼就是變化岛抄；而且在解題中還要善于對題目中的數(shù)學(xué)對象進行各種變化(實：實體的有形的數(shù)學(xué)對象的運動變化)夫椭，例如幾何圖形添加輔助線益楼，對幾何圖形進行旋轉(zhuǎn)平移等變換。對代數(shù)式進行各種變形(例如換元或等號左右兩邊移項)悯周、對多個數(shù)學(xué)對象進行組合變換禽翼，例如兩個方程式相減、相加锐墙、相乘长酗。數(shù)學(xué)思想方法夺脾、解題策略咧叭、辯證法以及我們總結(jié)的辯證思維詞匯表都是為了更好地指引我們探索合理的有章法的靈活的變化，它們是指導(dǎo)如何變化的道吉挣、法听想、術(shù)马胧，整個數(shù)學(xué)思想方法揭秘系列文章其實都是在講如何變化怎么變化佩脊。
解題探索離不開變化威彰。波利亞："如果不變化問題，我們幾乎不能有什么進展"舔痕。在《怎樣解題》中豹缀，波利亞也給出了變更問題的一些手段邢笙，如回到定義去(回到概念定義氮惯，聯(lián)想到概念定義的內(nèi)涵和外延想暗，例如題目中有垂直说莫，我們就想到垂直的定義和涵義)寞焙、引入輔助元( 加輔助線棺弊、輔助變量和未知數(shù)模她、輔助問題懂牧、證明輔助的引理)僧凤、分解與重新組合、特殊化旋膳、一般化(普通化)等“验懊。
窮則思變义图，沒有出路或碰壁時召烂，我們不能坐以待斃奏夫，要想辦法，要變化(改變)匙头，更要會變化蹂析。雖然知道要變电抚，但很多人沒有掌握變化的方法論和技巧，大腦中不知道有哪些幫助我們探索變化的方法俺祠，不知道有哪些變化的方向和對象蜘渣。對難題肺然，變化須臾不可離际起，不會變化街望，我們在解題過程中幾乎寸步難行。
解題過程中如何變化防症，如何探索解題方法蔫敲？
前面的系列文章也提到過變化燕偶，提到過辯證法础嫡、辯證法就是變化法榴鼎、提到過各種思維方法(辯證思維巫财、發(fā)散思維、批判思維等)赫舒、數(shù)學(xué)思想方法和解題策略略以及辯證思維詞匯表都是用來幫助我們在解題思維過程中思考問題：引導(dǎo)啟發(fā)我們的思維和思路接癌，調(diào)整我們的思維和思路缺猛，幫助我們找到變化的維度和方向，進一步找到進行變化的具體操作耻姥，從而探索出解題方法琐簇。
數(shù)學(xué)解題的本質(zhì)就是不斷地變化鸽嫂，不斷地變更問題的形式征讲，不斷地變更思維方式和思想方法诗箍，其變化既有變化的技術(shù)也有變化的藝術(shù)滤祖。本系列從更高的高度匠童，從辯證法辯證思維塑顺、數(shù)學(xué)思想方法和解題策略的高度給出了如何變化的方法論严拒。
探索法就是不斷探索解題方法之路的過程，主要特點就是不斷地變更問題挤牛，不斷地進行調(diào)整的過程：不斷地反思和否定和否定之否定墓赴，不斷地變化我們的思維方式和思想方法诫硕，變化我們看問題的維度痘括，變化問題的表象形式，不斷地變化我們的解題操作挠日，不斷地結(jié)合反思和解題策略進行思維上的變化和改變嚣潜。變化就是運動懂算，在運動中凸顯問題的破綻和突破口计技，在變更過程中尋找題目中的破綻和突破口山橄，尋找靈感,尋找解決問題的手段航棱、機會饮醇。
我們要學(xué)習(xí)孫悟空朴艰，會靈活地辯證地千變?nèi)f化，思維要會變通蜘腌，手段要會變通撮珠。
做(do)什么芯急，怎么做就包括了所有具體的行動娶耍，例如想什么、怎么想胚膊、變什么紊婉、怎么變喻犁。本系列文章就是為了闡釋如何用數(shù)學(xué)思想方法論來指導(dǎo)數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)解題過程中做什么肢础、怎么做的問題碌廓。例如在幾何題中運用關(guān)系思想氓皱，那就要根據(jù)關(guān)系思想的指導(dǎo)波材，去找?guī)缀晤}中的關(guān)系廷区，就是關(guān)系思想教導(dǎo)的找關(guān)系發(fā)現(xiàn)關(guān)系識別隙轻，所以我們想到什么垢揩？想到要找關(guān)系叁巨！接下來锋勺，找哪些關(guān)系？怎么找關(guān)系贪惹？審題和觀察奏瞬，根據(jù)題目已知條件和圖形特征丝格，聯(lián)想類比學(xué)過的數(shù)學(xué)知識棵譬、數(shù)學(xué)定理、做過的題目題型和先前的經(jīng)驗订咸，大腦中可能會閃現(xiàn)找全等關(guān)系曼尊、相似關(guān)系、比例關(guān)系脏嚷、各種相等關(guān)系(角相等骆撇、線段相等)、數(shù)形關(guān)系父叙、或其他關(guān)系中的一種或幾種。如果覺得沒有找到好用的關(guān)系趾唱，那就按照關(guān)系思想教導(dǎo)的涌乳，主動想辦法去構(gòu)造關(guān)系，去改造關(guān)系甜癞，去改善關(guān)系夕晓，所以就想法加輔助線或進行幾何變換，如平移變換悠咱，旋轉(zhuǎn)變換蒸辆。這些都是在數(shù)學(xué)思想方法論中的關(guān)系思想的指導(dǎo)下解決想什么和怎么想的問題，運用其他數(shù)學(xué)思想也是如此這般析既，比如解題碰壁躬贡，想到本系列文章中提到的”反思”，調(diào)整思路眼坏，想到打破思維定勢拂玻，接下來才是思考如何反思，再比如觀察，在本系列文章中提到要觀察纺讲，那你在解題時就要想到”觀察”擂仍，接下來才是觀察什么，怎么觀察熬甚。
再用幾道例題來講述下如何變化(變更問題)逢渔。
18.4題
此題有兩種方法，多看看第一種方法乡括，體會如何運用數(shù)學(xué)解題思維的終極原則肃廓。
第一種方法如下圖。
? ?在此題中诲泌，換元就是一種變化盲赊，一種變更問題的方法，它改變了題目的表象形式敷扫。剛開始換元之后哀蘑，沒找到突破口，問題沒有實質(zhì)的改善葵第，還是覺得前路茫茫绘迁，不知道下一步如何走，此時就要繼續(xù)變化和反思：是否不應(yīng)該用換元法卒密、是否繼續(xù)變化缀台，如何繼續(xù)變化。對這道題哮奇，我們選擇繼續(xù)變化膛腐，觀察換元后的式子，發(fā)現(xiàn)它們具有冪指數(shù)的形式鼎俘，共性哲身。所以就聯(lián)想到指數(shù)的逆運算對數(shù)，故我們下一步的變化就是取對數(shù)而芥，這個取對數(shù)就是解題操作解題行動律罢。
? 在數(shù)學(xué)思想方法揭秘-13講述數(shù)學(xué)解題思維的最高宗旨就是變化(變換)時提到："講述在解題懵圈卡殼時，一個重要的技能就是在反思的基礎(chǔ)上發(fā)散思維棍丐，自己和自己對話，多問問自己下一步還能變怎么沧踏，還能變哪里歌逢，還能怎么變。這也適用于一題多解或問題推廣翘狱∶匕福”。關(guān)注來龍去脈，從哪里來到哪里去阱高，是怎么來的赚导，怎么去的，在數(shù)學(xué)思想方法揭秘-17后記2(原創(chuàng))中講溯源思維的最后也提到過赤惊。
? ?還能變哪里吼旧？還能怎么變？可得到第二種方法未舟，如下圖圈暗，和第一種相反，第一種是取對數(shù)裕膀，第二種是用指數(shù)冪员串。
? ?觀察比較方程等號左右兩邊的結(jié)構(gòu)形式，差異較大昼扛，左邊是多級指數(shù)冪寸齐，而右邊是普通數(shù)值。合理設(shè)想：改變它們的形式抄谐，縮小差異或?qū)R兩者的結(jié)構(gòu)形式访忿，也就是我們的行動方向是縮小這種差異，最好能一致(對齊)斯稳。
這題中也運用了前面系列文章中講過的基于特征的思維（觀察發(fā)現(xiàn)特征【包括題目條件中的特征和解題過程中發(fā)現(xiàn)的特征】海铆、識別特征、基于特征來展開思維活動挣惰，例如辯證思維卧斟、聯(lián)想類比、數(shù)形結(jié)合憎茂、抽象珍语、轉(zhuǎn)化等來利用特征，利用好特征）竖幔，324是平方數(shù)板乙，冪指數(shù)形式等就是我們發(fā)現(xiàn)的特征，在這道題中都利用上了拳氢。取對數(shù)進行變形是基于冪指數(shù)特征進行思維活動得出的一種變更問題的手段募逞。
這道題首先要有變化的意識，要想到變化馋评。
18.5題
已知a放接、b、c均為正數(shù)留特，證明：玛瘸。
觀察要證明的結(jié)論，發(fā)現(xiàn)左邊是三個分式相加苟蹈，且三個分母都是兩個變量相加的形式糊渊，分母的這種形式增加了問題復(fù)雜性伐脖，另一種理解是基于我們小學(xué)學(xué)習(xí)分式時總結(jié)出的常識經(jīng)驗：寧可分子復(fù)雜蛮放，不可分母復(fù)雜。這樣推理判斷闻鉴，就能做出選擇磷瘤、抉擇芒篷、決策、擇優(yōu)：要改變分母的形式采缚，要把它變簡單簡潔针炉。解決了做什么(目標(biāo)對象和行動目標(biāo))的問題，接下來考慮怎么做扳抽，也就是在具體的操作層面如何對分母的形式進行簡化篡帕，有哪些數(shù)學(xué)方法和手段。換元法是一種對代數(shù)問題進行簡化進行變換的常用方法,所以我們首先聯(lián)想到整體換元法贸呢。
證明方法之一镰烧，如下：
對分母進行換元，令b+c=m1楞陷、a+c=m2怔鳖、a+b=m3。
這題中運用的整體換元固蛾、整理结执、分組都是對代數(shù)式進行變換變形的手段。這題可以推廣到多元艾凯，例如4元或n元献幔，推廣也是一種變化，變出新的題趾诗。
18.6題
已知x蜡感、y為正數(shù)，且滿足3x+4y-xy=0恃泪，求x+2y的最小值郑兴。
提供兩種方法。
第一種方法是消元降維悟泵，再用整體換元(換為t)杈笔，結(jié)合使用一元二次方程判別式法。
第二種方法糕非。
“數(shù)學(xué)解題的本質(zhì)就是不斷地變化蒙具，不斷地變更問題的形式，不斷變化我們的思維”朽肥。這句話是數(shù)學(xué)解題思維的終極原則和總的指導(dǎo)思想禁筏，是數(shù)學(xué)思維活動在哲學(xué)辯證法意義上的本質(zhì)概括，也是辯證法運動發(fā)展觀在數(shù)學(xué)解題中的具體化的變現(xiàn)衡招，變化問題形式和變化人的思維都是辯證法中的運動形式篱昔，辯證法就是變化法，我們要學(xué)習(xí)孫悟空靈活自由的變化始腾。變更問題就是變化客體州刽，題目和問題是客體，題目解不出來就變題目浪箭，變換一下題目的形式或先換個有聯(lián)系的簡單些的題目來練手得到經(jīng)驗啟發(fā)或做鋪墊穗椅；不斷地變化我們的思維是變化主體，人以及人的思維活動是主體奶栖，解數(shù)學(xué)題特別是數(shù)學(xué)考試顯然不能找人幫忙替考匹表，只能是改變調(diào)整人的思維，一計不成再生一計宣鄙。數(shù)學(xué)解題中袍镀，變化客體(題目)顯然首先要改變主體(人) ,也就是思考者要主動改變自己的思想觀念和思維方式，否則不可能改變客體冻晤，這也是”我思故我在”的一種場景苇羡。
具體如何變化，就是多維度地發(fā)散思維鼻弧，系統(tǒng)化地尋找各種變化的途徑和方法设江，多反問自己還能如何變化，還有哪些變化的維度温数。
在這個終極原則的啟發(fā)下绣硝，思考除了消元還能有哪些變化？
顯然此時不會對x+2y進行變化撑刺，只能考慮對已知條件3x+4y-xy=0進行變化鹉胖，我們選取變化的對象時拋棄x+2y而選擇3x+4y-xy=0，這個揚棄本身也是運動變化够傍。那對3x+4y-xy=0具體怎么變甫菠？加減乘除運算最容易想到(大腦思維從選擇變化的對象，變到思考怎么變冕屯，這個也是變化)寂诱，逐一判斷排除，選擇用除法進行變形安聘。怎么除痰洒？除以xy瓢棒。可見整個解題過程丘喻，不僅看似無形的思維在運動變化脯宿，寫在紙上的有形的解題操作也是一步步在運動變化，從開頭第一步第一行逐漸變化出后續(xù)的多步解題過程泉粉，紙上的每一步自身也是運動變化连霉，例如移項、相除嗡靡，聯(lián)想到柯西不等式后相乘跺撼、展開。
? 不限于數(shù)學(xué)解題讨彼，對任何類型的問題歉井，如果先前熟知的思想、方法点骑、策略酣难、知識、經(jīng)驗黑滴、技巧等都失效憨募，類似馬斯克的第一性原理，一種慣用策略就是回到解題的本質(zhì)袁辈，回到本源菜谣，回到定義，因為解題的本質(zhì)就是變化晚缩，所以思想上就要回歸本質(zhì)：思考如何對問題進行變化尾膊，問問自己有哪些對象哪些維度哪些因素可以變化，還能怎么變荞彼，有哪些變化的手段冈敛，變化的方案和步驟是怎樣的。結(jié)合反思鸣皂，問問自己還有哪些思想抓谴、方法、策略寞缝、知識癌压、經(jīng)驗、技巧沒有使用荆陆，使用過的有什么特點滩届，有什么不足，如何改進或跳出舊框框被啼。反思也屬于思維的運動變化形式之一帜消。
18.7題
棠枉。
顯然這題直接將兩個4次方展開是不可取的，簡單粗暴的直接展開對此題是下下策券犁。那不直接展開的情況下如何變化變形术健？
觀察方程汹碱，發(fā)現(xiàn)這個方程具有一些特征：
1) 冪為4次粘衬，偶數(shù)次方，且最高次的系數(shù)均為1咳促。
2) 兩個4次方中的底數(shù)為代數(shù)式稚新，且均為一次且一次系數(shù)相同(均為1)。
基于這些特征進行聯(lián)想與合情合理的設(shè)想跪腹，有時還要想象力褂删。小目標(biāo)要有，美好的猜想和理想是要有的冲茸，萬一實現(xiàn)了呢：如果能變化為的形式屯阀，展開后就能消除一些多項式同類項(奇數(shù)次)，簡化方程轴术，復(fù)雜變?yōu)楹唵巍?/p>
理想回到現(xiàn)實現(xiàn)狀难衰，怎樣才能變?yōu)樵O(shè)想的形式或接近設(shè)想？對現(xiàn)實(原方程的結(jié)構(gòu)形式)和設(shè)想進行比較對比逗栽，進一步聯(lián)想到均值換元法盖袭，這兩個底數(shù)
令
原方程可變形為：
展開整理可得：
?
二次換元令或直接求出
,其余過程省略。
這幾道題用到了整體換元法和均值換元法凭峡，其實換元的形式還有多種拙已，這里順帶提一下常用的其他幾種類型的換元法：三角換元法（高中用的很多）、對稱換元法摧冀、和差換元法倍踪、比例換元、萬能換元法按价，鑒于換元法的重要性惭适，后續(xù)會寫一篇文章簡單介紹下。
18.8題
這題雖然不難楼镐，但用來舉例講解如何變更問題形式癞志，如何以退為進簡化問題還是不錯的，達到啟迪學(xué)習(xí)者思維的效果框产。
思維過程：這題中有三個變量a凄杯、b错洁、c，且存在輪換對稱性戒突。如果看不透問題迷霧屯碴，找不到解題突破口，使用諸多思想方法之后仍沒有思路膊存，此時就要改變我們的思維导而，也就是想到數(shù)學(xué)解題思維的終極原則，不斷地變更問題形式和思維隔崎。
變化的方向一般是在辯證思維指導(dǎo)下的變化今艺，例如復(fù)雜變簡單(簡化)和熟悉，抽象變具體爵卒，具體變抽象虚缎，閉合封閉變開放等等，參照先前講過的辯證思維詞匯表和解題策略去找變化方向和變化的維度钓株。專門的變化維度分析可以在草稿紙上畫個類似腦圖的結(jié)構(gòu)化的分析模型实牡，系統(tǒng)化地梳理下問題的結(jié)構(gòu)，按圖索驥可視化直觀地尋找變化的維度轴合，不過解數(shù)學(xué)題應(yīng)該還沒必要用腦圖创坞，太重型隆重了。即便是梳理初高中數(shù)學(xué)知識體系值桩，一些人也不使用腦圖摆霉，因為就那點內(nèi)容，在學(xué)習(xí)新知識時奔坟，已經(jīng)關(guān)注新知識和舊知識的區(qū)別與聯(lián)系携栋，在學(xué)習(xí)過程中就及時把它們納入到腦中的知識體系中了，需要時能很快地從腦中無遺漏地完整提取再現(xiàn)咳秉。
這道題婉支，可以從變量個數(shù)這個維度來變更問題，變更的方向：降維減少變量個數(shù)澜建，簡化問題向挖，這個就是以退為進，從解決簡單問題中得到經(jīng)驗和啟發(fā)炕舵，這些經(jīng)驗啟發(fā)也是原問題和變更后的問題之間的聯(lián)系形式之一何之。
顯然只能從3個變量降為兩個變量，如果減為一個變量的問題咽筋，量變產(chǎn)生質(zhì)變溶推，它和原問題存在本質(zhì)的不同，該問題的解決方法對解決原問題無借鑒和啟發(fā)的價值。這個也是解題思維活動中的分析蒜危、判斷虱痕、推理、權(quán)衡決策辐赞，取舍選擇的過程部翘，否定一個變量的情況，而選擇兩個變量的形式响委。
兩個變量的問題形式是什么新思？
敏銳的人可以瞬間得出，即便不能瞬間得出也可較快經(jīng)過一番調(diào)整晃酒，經(jīng)過幾次實驗探索出問題形式表牢，如下圖。
顯然這個兩變量問題很容易證明贝次，用基本不等式、柯西不等式或權(quán)方和不等式都可以證明彰导，如下蛔翅。
這道題從3變量變到兩變量形式，我們證明(解決)了兩變量問題后位谋，發(fā)現(xiàn)可以直接利用兩變量問題的結(jié)論(成果)來證明3變量問題山析，也就是兩變量的問題結(jié)論是3變量問題的引理或者說鋪墊√透福回味一下笋轨，也有些化整為零，分解(拆分)大問題為小問題的策略在內(nèi)赊淑。
這題可推廣到n個變量的形式爵政，證明n個變量的解題思維過程與3個變量類似。
通性通法
通性通法: 從若干相似問題的解決過程中陶缺，總結(jié)歸納出這類問題的共性思路及規(guī)律性和普遍性的解決方法钾挟，并將其遷移到其他類似問題中。
通性：共性和共同的特征饱岸，指的是通過觀察發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題共有的基本特征掺出、基本性質(zhì)。
通法：解決上述問題過程中所涉及的常規(guī)數(shù)學(xué)思想方法苫费。
先識別出通性汤锨，再運用通法來解決。
上題中的換元法和基于特征的思維就是一種通法百框，基于特征的思維在多個題目中都運用過闲礼。對通法，要系統(tǒng)地全面地掌握和理解，例如對換元法位仁，通常又可細(xì)分為多種：整體換元柑贞、三角換元、對稱換元聂抢、均值換元钧嘶、和差換元、比例換元琳疏、萬能換元等有决。顯然除了理解換元法的思想本質(zhì)和作用和使用方法之外，對這些換元法空盼，還要了解每種換元法各自的適用場景书幕。
總結(jié)一下如何探索數(shù)學(xué)解題方法的通性通法和套路。
1.運用數(shù)學(xué)思想方法來引導(dǎo)和調(diào)整我們的思維：例如觀察題目的特征揽趾，運用聯(lián)想台汇、類比、歸納篱瞎、轉(zhuǎn)化苟呐、抽象、比較俐筋、數(shù)形結(jié)合牵素、分類、構(gòu)造思想澄者、關(guān)系思想笆呆、運動思想、整體思想粱挡、逆向思維和反思赠幕、窮舉等思想方法。
2.運用解題策略來引導(dǎo)和調(diào)整我們的解題方向和思考問題的方向：例如各種辯證策略：抽象化與具體化策略(具體不行就抽象抱怔、抽象不行就具體)劣坊、簡化策略(就是轉(zhuǎn)化，復(fù)雜到簡單屈留、簡單到更簡單局冰、未知到已知、陌生到熟悉)灌危、一般化策略與特殊化策略(一般不行就特殊康二，特殊不行就具體)、整體化與局部化策略勇蝙、主要與次要策略沫勿。基于特征的解題策略、基于關(guān)系的解題策略产雹、基于合理設(shè)想的解題策略诫惭、基于直覺和感覺的解題策略，基于數(shù)學(xué)美感的解題策略等蔓挖。
3.在解題操作解題行動層面夕土，可以采用的各種變更問題形式的操作，例如換元法瘟判、配方法怨绣、消元法、加輔助元法拷获、待定系數(shù)法篮撑、構(gòu)造法、(一元二次方程)判別式法匆瓜、韋達定理法赢笨、數(shù)形結(jié)合法、坐標(biāo)法陕壹、鉛錘法质欲、旋轉(zhuǎn)變換、對稱變換糠馆、平移變換、位似變換怎憋、反演變換又碌、反證法等。
4.有備無患绊袋，事先掌握每種題型的一些通性通法毕匀，例如數(shù)列求和的通法：錯位相減法、裂項法等癌别、圓錐曲線中常用的通法：坐標(biāo)法皂岔、消元法、判別式法展姐、韋達定理法等躁垛。要知道通法，還要理解通法的妙處和由來圾笨。
通性通法是普遍性規(guī)律性的解法教馆，一旦找到通性通法，就意味著它是常規(guī)方法擂达，是普遍適用的方法土铺，在學(xué)習(xí)中還需要注意與常規(guī)相對立的特殊性的技巧性的創(chuàng)新性方法，有時特殊方法更簡便，更有欣賞的價值悲敷。
在學(xué)習(xí)和解題實踐中應(yīng)注意概括總結(jié)和反思究恤，提煉和領(lǐng)悟各種通性通法：數(shù)學(xué)思想、解題策略和數(shù)學(xué)方法后德。
