核心考點：

（1）定義 4′

（2）計算 4′

（3）應用｛中值定理、幾何應用｝10′

一米同、定義（牛頓）

瞬間變化率

［注］

①左右有別

在X0點導數存在的充要條件（必考）

②三角x廣義化為狗? ? 學會湊出“狗”

③下圖為典型錯誤

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④換元法? 求導的增量形式的等價寫法差值形式

［例1］見到在一點處的導數?先用定義法寫出來再說（綜合性）

［注1］1-cosh趨于0+（h趨于0）

［注2］|狗|/狗在狗趨于0時有界但極限不存在

［注3］見下圖

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［注4］2A-A≠A（只有A存在時陷嘴，才作數量運算）

［例2］（注意隱含條件）

［注1］F'=f映砖，

若 F'（-x）=-F'（x）,則f（-x）=-f（x）.

［注2］X0特指點；X泛指點

自證：若f（x）為可導的奇函數灾挨，證明f'（x）為偶函數.

二邑退、計算（基礎之基礎）

1.基本求導公式（牢記）

冪（1）? 指（2）? 對（1）

三角（6）? 反三角（4）? 兩個對數復合

2.基本求導法

①復合函數求導（一層一層剝開他的心）

冪指函數一定要寫成e為底的冪指函數

［例］e的狗次冪的導=e的狗次冪×狗的導

②隱函數求導（二階導不簡單）

方法：在等式兩邊同時對x求導，注意y=y（x）即可（復合求導）

［例］求一階導后注意化簡

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③對數求導法

對于多項相乘劳澄、相除地技、開方、乘方的式子浴骂，先取對數再求導

［例］兩邊同時取對數+兩邊對x求導

［注］u=u（x）（ln|u|）'視絕對值而不見

④反函數求導

［例］求三階導

［注］轉化為對x求導乓土，如下圖

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⑤參數方程求導

［例題］計算方法見下圖

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⑥高階導數（強化班講）

三宪潮、中值定理? 10′

1.定理總結

①涉及f(x)的定理

設f(x)在［a,b］上連續(xù)（前提）溯警，則

（1）有界性定理

（2）最值定理

（3）介值定理（考研第一大考點，寫法）

（4）零點定理（柯西）

［注］以上四條只用不證

②涉及f'(x)的定理

（5）費馬定理

［作業(yè)：證明之］導數定義狡相、極限保號性梯轻、極限定義

（6）羅爾定理（給分點?f(a)=f(b)）

［作業(yè)：證明之］

（7）拉格朗日中值定理

［注1］若f(a)=f(b),則f'(c)=0，成為羅爾

［注2］2009年考過此證明.

（8）柯西中值定理

［注］

①若g（x）=x, ?拉格朗日

②柯西?朗格朗日（若f(a)=f(b)）?羅爾

（9）泰勒定理（泰勒公式）［不證］

任何可導函數f(x)?冪函數和的形式（統一美）

①帶拉格朗日余項的泰勒公式

若X0=0尽棕，變成麥克勞林公式

②帶佩亞諾余項的泰勒公式

若X0=0喳挑，變成麥克勞林公式

［注］任何可導函數都有麥克勞林展開式

2.五大方面的應用

1°涉及f(x)的應用（①-④）

［例］證積分中值定理（找題眼f(x)）

［注］積分保號性+介值三部曲（見下圖）

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2°羅爾定理的應用（⑥）［考研核心］

題眼f'(x)=0，工作 f(a)=f(b)?f'(c)=0

［例1］［例2］

羅爾定理兩大關鍵：

①稱F(X)為輔助函數滔悉，找F(X)有兩個途徑

1°求導公式逆用法

共三種：見到XXX想到XXX（見下圖）

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2°積分還原法（見下圖）

［例1］［例2］［例3］

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②證F(a)=F(b).

3°拉氏中值的應用（⑦）兩種形式

①將f復雜化（一般證等式）

［例］構造輔助函數伊诵，羅爾解決等于0的問題

②給出相對高階條件?證低階不等式

［例］看出4個點了嗎？?沒有?復習到8點

多點最好畫圖回官，不妨設x1＜x2

③給出相對低階?高階不等式

［例］積分中值定理曹宴，見到后先寫出來（必考）如下圖

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④具體化f，a＜x＜b?不等式（4′? 經常出現）

具體化函數的差 f(b)-f(a)（沒有函數差去創(chuàng)造歉提，ln(b/a)=ln(b)-ln(a)）

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4°柯西中值定理應用（一個抽象f笛坦，一個具體g）

［例］雙中值

①兩中值無≠要求：在同一區(qū)間［a,b］上用兩次中值定理

②兩中值有≠要求：將［a,b］分成［a,c］與［c,b］

物以類聚区转，人以群分

和差化積，積化和差公式?考前記一記

5°泰勒公式的應用——信號高階導數（n≥2）

一階用羅爾版扩、拉格朗日废离、柯西

［注］

①f(a)=f(b),f(c)=f(d)?多次使用羅爾/拉格朗日

②泰勒展開成f''，f'''礁芦，…（見下圖例題）

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復習到位：

1.最值定理蜻韭、介值定理、零點定理

2.羅爾定理

3.拉格朗日

4.柯西定理

5.泰勒定理

四柿扣、導數的幾何應用（三點兩性一線）

1.極值與單調性

①極值定義

1°廣義極值

2°真正極值

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［注］若無說明湘捎，按1°辦事，同理對最值

②單調性與極值的判別

1°f'(x)＞0窄刘，對任意x屬于區(qū)間I?f(x)單調遞增窥妇；單調遞減同理

2°若f(x)在x0連續(xù)，去心鄰域可導：

左鄰域f'(x)＜0娩践，右鄰域f'(x)＞0?極谢铘妗；

左鄰域f'(x)＞0翻伺，右鄰域f'(x)＜0?極大.

3°二階法求極值

［注］泰勒展開至二階?f(x)＞f(x0)

［例1］一階法＋拉氏中值＋放縮

［例2］華羅庚：數形結合百般好

2.凹凸性與拐點

①凹凸性

②拐點（與可導性無關材泄，連續(xù)就行）

③判別法

1°二階導正負

2°某點左右領域二階導變號

［例1］參數方程討論凹凸性

［例2］三階可導，證明某一點是拐點

導數概念和判別法結合