定義
泛函是一種特殊的函數(shù)，輸入一個函數(shù)戏自，返還一個數(shù)值邦投。泛函的作用確實很大，可以用來定義各種對象的特征量擅笔。
數(shù)學(xué)是定量的描述志衣，所以這個量的定義就非常基本猛们，量的運算可以視為代數(shù)的內(nèi)容念脯。而量的定義要更加奇妙，從具體的事物中提取出數(shù)學(xué)對象弯淘，從數(shù)學(xué)對象中提取出量绿店。
一個例子：面積
比方說圖形的面積，就是數(shù)學(xué)對象的量耳胎，對象是圖形惯吕，在二維情形下惕它，可以是各種規(guī)則幾何形怕午，長方形，正方形淹魄，圓形郁惜，三角形，這些幾何形可以視為包含可變參數(shù)的函數(shù)，比如長方形就可以視為包含長和寬兩個參數(shù)的函數(shù)兆蕉，圓形就是包含半徑一個參數(shù)的函數(shù)羽戒。
它們的面積是一個數(shù)，所以求他們面積的方法虎韵，就可以看作一個泛函易稠，輸入一個幾何形的函數(shù)，得到一個數(shù)包蓝，就是面積驶社。
通常，面積本身就被當(dāng)做一個函數(shù)测萎，關(guān)于幾何形參數(shù)的函數(shù)亡电，定義幾何形的函數(shù)反而被省略了，泛函也被省略了硅瞧，所以對幾何形面積的計算就變得很瑣碎份乒，對應(yīng)一種形狀就有一個公式，對于各種形狀的幾何形腕唧，需要記憶的公式非常多或辖。
不過，學(xué)過微積分的人都應(yīng)該知道如何計算任意形狀圖形的面積枣接，只要對他們所占區(qū)域進行積分就可以了孝凌，區(qū)域本質(zhì)上就可以視為幾何形的定義函數(shù)，而積分正好是一個泛函月腋，這就是一個很好的泛函模型蟀架。統(tǒng)一了各種幾何形的面積計算，或者說面積定義榆骚。
推廣
從上面的例子片拍，我們可以看出這個模型是非常有效的，對于任意的由參數(shù)定義的數(shù)學(xué)對象妓肢，我們都可以使用泛函模型來定義出特征量捌省。
比如方陣的行列式，就是對方陣各元素乘積組合的加權(quán)求和碉钠，這就是方陣這個數(shù)學(xué)對象的特征量纲缓，輸入一個方陣，獲得一個數(shù)喊废。
比如流形上的幾何形的面積祝高，就是對幾何形定義區(qū)域的度規(guī)張量加權(quán)積分的結(jié)果。與平面相比較污筷，也就多了一個度規(guī)張量反映了流形的幾何性質(zhì)工闺，扭轉(zhuǎn)，拉伸，就比如一張弄皺的紙陆蟆，它的面積還是不變的雷厂，但是形狀卻變得非常復(fù)雜，度規(guī)張量就體現(xiàn)了這種形狀的復(fù)雜性叠殷。
還有很多很多的例子改鲫，只要涉及到了對離散量的加權(quán)求和，對連續(xù)量的加權(quán)積分林束，就可以使用泛函模型來解釋钩杰。
更進一步
泛函模型還是有所限制的，是對特定函數(shù)指定一個數(shù)诊县，我們都知道向量是數(shù)的推廣讲弄，函數(shù)是向量的推廣，所以我們當(dāng)然可以對一個函數(shù)指定一個向量依痊，甚至一個函數(shù)避除。
同樣讓我們從泛函模型來理解這些新的運算，泛函模型是對一個函數(shù)指定一個數(shù)胸嘁，向量是很多數(shù)放在一起瓶摆，所以對一個函數(shù)指定一個向量就可以視為很多個泛函組合在一起，構(gòu)成了一個泛函向量(這個名稱是我臨時想的性宏，不是通用的)群井。
比如，對于一個多元函數(shù)毫胜，求它在一點處的微分书斜，獲得的就是一個微分矩陣，矩陣就是高維的向量酵使，每一個分量都是一個維度荐吉，所以，對多元函數(shù)求一點處微分的運算就是一個泛函向量口渔，輸入一個函數(shù)样屠，輸出一個向量。
還可以再次推廣
函數(shù)可以視為無窮維的向量缺脉，所以痪欲，我們可以進一步推廣，對一個函數(shù)指定一個函數(shù)攻礼，可以視為無窮多個泛函組合在一起业踢，構(gòu)成一個泛函函數(shù)(這個一般稱為算子)。
比如秘蛔，對函數(shù)的卷積運算陨亡，就是將一個函數(shù)轉(zhuǎn)化為了另一個函數(shù)傍衡，類似的還有各種積分變換運算深员，如傅里葉變換负蠕，拉普拉斯變換，新的函數(shù)在每一點處都可以視為對原函數(shù)的一個泛函作用倦畅。
總結(jié)
泛函模型是一種非常好的概念理解模型遮糖，可以將形形色色的運算納入統(tǒng)一的框架下，數(shù)學(xué)對象定義為一個函數(shù)叠赐，而經(jīng)各式各樣的泛函的作用欲账，變成了數(shù)，隨著泛函數(shù)目的增加芭概，還可以變成向量赛不，變成函數(shù)。分析中的幾乎所有運算的含義都可以因此而變得清晰起來罢洲，不再是捉摸不透的黑箱子踢故。
這個想法來源于范疇論對數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的清晰描述，對卷積本質(zhì)的思考惹苗，還有一本值得推薦的書《燒掉數(shù)學(xué)書殿较，重新定義數(shù)學(xué)》，作者注意到了數(shù)學(xué)概念下的泛函模型桩蓉，并且嘗試通過泛函模型淋纲，重建微積分。
