Hill在線性周期方程周期解方面的工作
當(dāng)自守函數(shù)理論正處于創(chuàng)立階段時(shí)皮胡，n體問題引起了大家對(duì)一個(gè)二階常微分方程的興趣，它比Mathieu方程更普遍写穴。因?yàn)閚體問題不能明顯解出琼富，只能用復(fù)雜的級(jí)數(shù)解，于是數(shù)學(xué)家轉(zhuǎn)而挑選周期解蜓萄。
周期解的重要性來自行星或衛(wèi)星軌道的穩(wěn)定性問題隅茎，假如一個(gè)行星略微離開了軌道，并給它一個(gè)小的速度嫉沽，那么行星過了一段時(shí)間是會(huì)回到軌道呢還是會(huì)離開軌道辟犀？如果回到軌道說明軌道是穩(wěn)定的，如果脫離軌道則軌道是不穩(wěn)定的绸硕，這樣行星的原始運(yùn)行或運(yùn)行的不規(guī)則性是否周期就成了重要問題堂竟。
前面說到拉格朗日在三體問題中已找到特殊周期解，后來美國(guó)首位大數(shù)學(xué)家George William Hill(1838-1914)研究月球理論時(shí)發(fā)現(xiàn)了三體問題新的周期解玻佩，1877年Hill自掏腰包出版了一篇關(guān)于月球在近地點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的重要論文出嘹，后來又在期刊上發(fā)表了一篇關(guān)于月球運(yùn)動(dòng)的重要論文。他的工作創(chuàng)立了周期系數(shù)的齊次線性微分方程的數(shù)學(xué)理論咬崔。
Hill在1877年論文中的第一個(gè)基本思想是税稼，對(duì)月球運(yùn)動(dòng)的諸微分方程確定一個(gè)近似于實(shí)際觀察到的運(yùn)動(dòng)的周期解烦秩，于是他對(duì)這個(gè)周期解變差寫出方程，得到一個(gè)帶周期系數(shù)的四階線性微分方程組郎仆，知道了某些積分后只祠，他把這個(gè)四階方程組化簡(jiǎn)為一個(gè)二階線性微分方程
θ(t)是以π為周期的偶函數(shù)，把θ(t)展開為傅里葉級(jí)數(shù)丸升，Hill方程可改寫為：
Hill令铆农，再把上式寫為
牺氨，令
狡耻，其中μ和bj待定，再代入上式猴凹，并令ζ的每個(gè)冪的系數(shù)為0夷狰，得到二重?zé)o窮線性方程組
其中
Hill令未知量bj的系數(shù)行列式等于0，他首先確定μ的無窮多個(gè)解的性質(zhì)并給出確定μ的明顯公式郊霎，然后利用μ值對(duì)無窮多個(gè)bj的無窮線性齊次方程組解出bj與b0的比值沼头。他證明二階微分方程有周期解，從而證明月球近地點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是周期性的书劝。
不過他的工作遭到了嘲笑进倍，之后龐加萊注意到了Hill的工作，證明了該方法的收斂性购对，使無窮行列式和無窮線性方程組的理論有了根據(jù)猾昆，完善了Hill的工作，并使Hill和他的課題有了名氣骡苞。
