數(shù)分之重要洛勉，對于我的科研來說，是難以想象的如迟。所以收毫，今天起我重新學(xué)習(xí)數(shù)分，一點一點地殷勘，建立我的認(rèn)識此再。
翻開數(shù)分的第一章，介紹實數(shù)的概念玲销。我看了第一段输拇，就被這樣一個問題所糾纏。有理數(shù)可以利用分?jǐn)?shù)形式表示贤斜，或者有限十進(jìn)制or無限十進(jìn)制循環(huán)小數(shù)表示策吠，實數(shù)里除掉有理數(shù)的數(shù)，是無理數(shù)瘩绒。
那么無理數(shù)是什么猴抹？這樣的說法太令人不滿了。就像通常情況下我們對數(shù)學(xué)家的不滿锁荔，即蟀给，說的話都是對的，但是感覺沒有意義堕战。那么也就是說坤溃，無理數(shù)的性質(zhì)，或者結(jié)構(gòu)嘱丢，或者分類薪介，目前根本不清楚。我們能夠清楚的部分越驻，就是這么令人不滿汁政。
對于這樣的問題道偷，我需要回顧一下數(shù)的發(fā)展史。在數(shù)萬年的演化中记劈，人類需要計量勺鸦，所以人們開始定義了1。然后在1的基礎(chǔ)上加目木，有了自然數(shù)换途；減，擴(kuò)展到整數(shù)刽射。乘法因為衡量面積產(chǎn)生军拟，到了除法，有了問題誓禁，會有非整數(shù)出現(xiàn)懈息。那么有理數(shù)的概念就需要了。有理數(shù)摹恰，或是比例數(shù)辫继，可公度數(shù)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派給它度量長度的說法俗慈。整數(shù)是離散的姑宽，在有理數(shù)出現(xiàn)之前，人們無法度量長度闺阱。長度的度量是比例數(shù)or有理數(shù)的直接體現(xiàn)低千。畢達(dá)哥拉斯對有理數(shù)有很深的感情，指出了度量這一本質(zhì)馏颂，但是隨著進(jìn)一步認(rèn)識，發(fā)現(xiàn)有理數(shù)的某種結(jié)構(gòu)組合棋傍，會出現(xiàn)無理數(shù)救拉，就是勾股定理or畢達(dá)哥拉斯定理√奔穑回憶到這里亿絮，古代數(shù)學(xué)似乎告一段落，因為在極限產(chǎn)生之前麸拄，無理數(shù)沒有明確的定義派昧。
大學(xué)的時候，我們都學(xué)過數(shù)分or高等數(shù)學(xué)拢切，對極限有了了解蒂萎。無理數(shù)的定義可以建立在這個之上，即淮椰，無理數(shù)是一個柯西列五慈，是有理數(shù)的極限纳寂。所以，所有整數(shù)泻拦，都是柯西列毙芜。整數(shù)的加減乘除，還是整數(shù)争拐。無理數(shù)一個柯西列腋粥，這樣的定義仍然是讓人不滿的，數(shù)學(xué)家們給出了嚴(yán)格的定義架曹，但是這也是一個輪廓的圈定隘冲，其有何種性質(zhì)，結(jié)構(gòu)如何音瓷，仍然非常不清楚对嚼。
不過，我們現(xiàn)在已經(jīng)知道兩個非常簡單的性質(zhì)绳慎。
無理數(shù)的數(shù)量的刻畫纵竖。我們都知道，無論是自然數(shù)杏愤、整數(shù)靡砌、有理數(shù)以及整數(shù)，都是無窮多個珊楼。那么到底哪個更多呢通殃？無窮多個，數(shù)不清厕宗，數(shù)學(xué)家們利用“勢”來表示画舌，哪一個更多。數(shù)數(shù)哪一種更多已慢，我們需要感謝康托他老人家曲聂。他引入集合的概念，我們就可以對以上我們提到的數(shù)們佑惠，進(jìn)行多少的劃分了朋腋。具體怎么操作？比較兩種數(shù)（即兩個集合）膜楷，其中一個數(shù)（集合）中的元素如果都可以映射到另一個數(shù)（集合）中旭咽，反過來另一個也可以都映射回去，即一一映射赌厅，那么這兩種數(shù)的勢穷绵，是一樣的。這樣看來察蹲，自然數(shù)请垛、整數(shù)催训、有理數(shù)，勢是一樣的宗收，數(shù)學(xué)上給這種勢命名為阿列夫0漫拭；而實數(shù)，則明顯比上述幾種要多混稽，它的勢命名為阿列夫1采驻。值得注意的是，阿列夫0的有限次方還是阿列夫0匈勋，而阿列夫0的阿列夫0次方礼旅，則是阿列夫1。那么阿列夫0和阿列夫1之間洽洁，到底有沒有其他的勢呢痘系？據(jù)說有兩種說法，一種說有饿自，一種說無汰翠，兩種是建立在不同數(shù)學(xué)體系上的，二者互不矛盾昭雌。而這個問題复唤，據(jù)說是希爾伯特23個問題之一，我沒有考證過烛卧，也思考不了佛纫。
說完了數(shù)的多少，很自然的想法总放，就是長度的刻畫呈宇。比個例子，在0到1區(qū)間局雄，其長度是1攒盈，點的長度是0，每一個有理數(shù)哎榴，都是一個離散的點，那么有理數(shù)的長度是0僵蛛，而無理數(shù)的長度是1。
除掉這些，我相信對于無理數(shù)的種類蓖乘，也是值得學(xué)習(xí)和思考的只盹，在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，我會進(jìn)行討論驼侠。
寫完上面的內(nèi)容姿鸿，忽然發(fā)現(xiàn)谆吴，我的數(shù)分書，一個下午苛预，只看了一行句狼。
