4迂求、基本圖像變換

1、傅里葉變換

百科：傅里葉變換晃跺，表示能將滿足一定條件的某個(gè)函數(shù)表示成三角函數(shù)（正弦和/或余弦函數(shù)）或者它們的積分的線性組合揩局。
傅里葉變換可分為連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。最初傅里葉分析是作為熱過(guò)程的解析分析的工具被提出的掀虎。
$f(x, y)\, 和 F(u, v)構(gòu)成一對(duì)變換凌盯，如下：$
$f(x, y)\, \Leftrightarrow\, F(x,y)$
則有以下一些定理成立

1.1、平移定理

$f(x - a, y-b)\, \Leftrightarrow\, exp[-j2\pi\,(au + bv)]F(u,v)$
表明將f(x, y)在空間平移相當(dāng)于把其變換在頻域與一個(gè)指數(shù)項(xiàng)相乘烹玉。
$F(u - c, v-d)\, \Leftrightarrow\, exp[j2\pi\,(cx + dy)]f(x,y)$
表明將 $f(x, y)$ 在空間與一個(gè)指數(shù)項(xiàng)相乘相當(dāng)于把其變換在頻域平移

1.2驰怎、旋轉(zhuǎn)定理

旋轉(zhuǎn)定理反應(yīng)了傅里葉變換的旋轉(zhuǎn)性質(zhì)。首先借助于極坐標(biāo)變化 x=rcos $\theta$ 二打，y=rsin $\theta$ 县忌，u=wcos $\phi$ ，v=wsin $\phi$ 继效，將 $f(x,y)$ 和 $F(u, v)$ 轉(zhuǎn)換為 $f(r, \phi)$ 和 $F(w,\phi)$ 症杏。直接將他們代入傅里葉變換對(duì)，得到( $\theta_0$ 為旋轉(zhuǎn)角度):
$f(r, \theta + \theta_0)\Leftrightarrow\, F(w, \phi+\theta_0)$
上式表明瑞信，對(duì) $f(x, y)$ 旋轉(zhuǎn) $\theta_0$ 厉颤，對(duì)應(yīng)于將其傅里葉變換 $F(u, v)$ 也旋轉(zhuǎn) $\theta_0$ ，類(lèi)似地對(duì) $F(u, v)$ 旋轉(zhuǎn) $\theta_0$ 對(duì)應(yīng)于將其傅里葉反變換 $f(x, y)$ 旋轉(zhuǎn) $\theta_0$

1.3凡简、尺度定理

尺度定理也稱(chēng)為相似定理逼友，它給出傅里葉變換在尺度（縮放）變化時(shí)的性質(zhì)精肃，可用下面兩式表示（其中a,b均為標(biāo)量）：
$af(x,y)\, \Leftrightarrow\,aF(u,v)$
$f(ax,by)\, \Leftrightarrow\,\frac{1}{|ab|}F(\frac{u}{a},\frac{v})$
上式表明帜乞，對(duì) $f(x,y)$ 在幅度方面的尺度變化導(dǎo)致對(duì)其傅里葉變換 $F(u,v)$ 在幅度方面對(duì)應(yīng)的尺度變化司抱，而對(duì) $f(x,y)$ 在空間尺度方面的放縮則導(dǎo)致對(duì)其傅里葉變換 $F(u,v)$ 在頻域尺度方面的相反放縮，第二式表明對(duì) $f(x,y)$ 的收縮 $(a>1,b>1)$ 不僅導(dǎo)致 $F(u,v)$ 的膨脹挖函，而且會(huì)使 $F(u,v)$ 的幅度減小状植。

1.4浊竟、卷積定理

兩個(gè)函數(shù)在空間的卷積與他們的傅里葉變換在頻域的乘積構(gòu)成一對(duì)變換怨喘，而兩個(gè)函數(shù)在空間的乘積與它們的傅里葉變換在頻域的卷積構(gòu)成一對(duì)變換：
$f(x,y)\,\bigotimes\,g(x,y)\,\Leftrightarrow\,F(u,v)G(u,v)$
$f(x,y)\,g(x,y)\,\Leftrightarrow\,F(u,v)\,\bigotimes\,G(u,v)$

1.5、相關(guān)定理

兩個(gè)函數(shù)在空間的相關(guān)與它們的傅里葉變換（其中一為其復(fù)共軛）在頻域的乘積構(gòu)成一對(duì)變換振定，而兩個(gè)函數(shù)（其中一為其復(fù)共軛）在空間的乘積與它們的傅里葉變換在頻域的相關(guān)構(gòu)成一對(duì)變換：
$f(x,y)\,必怜。g(x,y)\,\Leftrightarrow\,F^*(u,v)G(u,v)$
$f^*(x,y)\,g(x,y)\,\Leftrightarrow\,F(u,v)\,。G(u,v)$

2后频、快速傅里葉變換（FFT：Fast Fourier Transformation）

傅里葉變換所需的計(jì)算量是很大梳庆。一般時(shí)間復(fù)雜度為 $O(n^2)$ ，而FFT能 $O(n\log_2n)$ 的時(shí)間復(fù)雜度計(jì)算完成卑惜。

3膏执、沃爾什-哈達(dá)瑪變換

沃爾什-哈達(dá)瑪變換（Walsh-Hadmard Transform,WHT），是一種典型的非正弦函數(shù)變換露久，采用正交直角函數(shù)作為基函數(shù)更米，具有與傅里葉函數(shù)類(lèi)似的性質(zhì)，圖像數(shù)據(jù)越是均勻分布毫痕，經(jīng)過(guò)沃爾什-哈達(dá)瑪變換后的數(shù)據(jù)越是集中于矩陣的邊角上征峦，因此沃爾什變換具有能量集中的性質(zhì)，把一個(gè)矩陣的非零元素壓縮到只剩在邊角上消请，可以用于壓縮圖像信息編碼栏笆。哈達(dá)變換實(shí)際是將坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)45°的正交變換。

哈達(dá)瑪變換通常用于計(jì)算殘差的SATD（Sum of Absolute Transformed Difference）臊泰，即對(duì)殘差信號(hào)進(jìn)行哈達(dá)瑪變換蛉加，然后計(jì)算變換后系數(shù)的絕對(duì)值的和。SATD相較于SAD更能反映殘差在頻域的大小缸逃。SATD通常用于率失真優(yōu)化中七婴，因?yàn)樵诼适д鎯?yōu)化時(shí)如果對(duì)每個(gè)候選項(xiàng)都編碼一遍然后計(jì)算失真則計(jì)算復(fù)雜度會(huì)非常高，所以一般使用殘差的SATD估計(jì)其失真察滑。
一階二階哈達(dá)瑪矩陣定義為
$H_1= \begin{vmatrix} 1\\ \end{vmatrix}$
$H_2= \begin{vmatrix} 1&1\\ 1&-1\\ \end{vmatrix}$
高階哈達(dá)瑪矩陣可由低階的遞推得到
$H_4= \begin{vmatrix} H_2&H_2\\ H_2&-H_2\\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ 1&-1&1&-1\\ 1&1&-1&-1\\ 1&-1&-1&1\\ \end{vmatrix}$
$H_N=H_{2^n}=H_2\bigotimes\,H_{2^{n-1}}= \begin{vmatrix} H_{2^{n-1}}&H_{2^{n-1}}\\ H_{2^{n-1}}&-H_{2^{n-1}}\\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} H_{\frac{N}{2}}&H_{\frac{N}{2}}\\ H_{\frac{N}{2}}&-H_{\frac{N}{2}}\\ \end{vmatrix}$
哈達(dá)瑪變換WHT就是使用哈達(dá)瑪矩陣去乘原信號(hào)矩陣打厘。
二維的WHT是要對(duì)原矩陣左乘一個(gè)對(duì)應(yīng)階的哈達(dá)瑪矩陣，右邊也乘一個(gè)贺辰，然后除以階數(shù)平方即
$W_1=\frac{1}{4^2} \begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ 1&-1&1&-1\\ 1&1&-1&-1\\ 1&-1&-1&1\\ \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1&3&3&1\\ 1&3&3&1\\ 1&3&3&1\\ 1&3&3&1\\ \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ 1&-1&1&-1\\ 1&1&-1&-1\\ 1&-1&-1&1\\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2&0&0&-1\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ \end{vmatrix}$
哈達(dá)瑪變換結(jié)果可視化例如下

沃爾什-哈達(dá)瑪變換

4户盯、離散余弦變換

離散余弦變換（Discrete Cosine Transform嵌施，DCT）是可分離的變換，其變換核為余弦函數(shù)莽鸭。DCT除了具有一般的正交變換性質(zhì)外吗伤，它的變換陣的基向量能很好地描述人類(lèi)語(yǔ)音信號(hào)和圖像信號(hào)的相關(guān)特征。因此硫眨，在對(duì)語(yǔ)音信號(hào)足淆、圖像信號(hào)的變換中，DCT變換被認(rèn)為是一種準(zhǔn)最佳變換礁阁。

4.1巧号、定義

1、一維離散余弦變換和其反變換定義如下
$C(u)=a(u)\sum_{x=0}^{N-1} f(x)cos[{\frac{(2x+1)u\pi}{2N}}] \qquad u = 0,1...,N-1$
$f(x)=\sum_{u=0}^{N-1} a(u)C(u)cos[{\frac{(2x+1)u\pi}{2N}}] \qquad x = 0,1...,N-1$
其中 $a(u)$ 的值如下
$a(u)= \begin{cases} \sqrt {1/N} \qquad 當(dāng) u= 0\\ \sqrt {2/N} \qquad 當(dāng) u= 1,2...,N-1\\ \end{cases}$
1姥闭、二維離散余弦變換和其反變換定義如下
$C(u,v)=a(u)a(v)\sum_{x=0}^{N-1}\sum_{y=0}^{N-1} f(x,y)cos[{\frac{(2x+1)u\pi}{2N}}]cos[{\frac{(2y+1)v\pi}{2N}}] \qquad u,v = 0,1...,N-1$
$f(x,y)=\sum_{u=0}^{N-1} \sum_{v=0}^{N-1} a(u)a(v)C(u,v)cos[{\frac{(2x+1)u\pi}{2N}}] cos[{\frac{(2y+1)v\pi}{2N}}] \qquad x,y = 0,1...,N-1$

4.2丹鸿、DCT在JPEG壓縮編碼中的應(yīng)用

JPEG(Joint Photographic Experts Group) 專(zhuān)家組開(kāi)發(fā)了兩種基本的壓縮算法，一種是采用以離散余弦變換(DCT)為基礎(chǔ)的有損壓縮算法棚品，另一種是采用以預(yù)測(cè)技術(shù)為基礎(chǔ)的無(wú)損壓縮算法靠欢。使用有損壓縮算法時(shí)，在壓縮比為25:1的情況下铜跑，壓縮后還原得到的圖像與原始圖像相比較门怪，非圖像專(zhuān)家難于找出它們之間的區(qū)別，因此得到了廣泛的應(yīng)用锅纺。

JPEG壓縮編碼

4.3掷空、DCT在數(shù)字水印（digital watermarking）技術(shù)中的應(yīng)用

數(shù)字水印技術(shù)是將特定的信息嵌入到數(shù)字信息的內(nèi)容中,要求嵌入的信息不能被輕易的去除,在一定的條件下可以被提取出來(lái),以確認(rèn)作者的版權(quán)伞广。
水印嵌入框圖：

水印嵌入

水印檢測(cè)框圖：

水印檢測(cè)

5拣帽、Radon變換

拉東變換是一個(gè)積分變換，它將定義在二維平面上的一個(gè)函數(shù) f(x,y) 沿著平面上的任意一條直線做線積分嚼锄，相當(dāng)于對(duì)函數(shù) f(x,y) 做 CT掃描减拭。其基本應(yīng)用是根據(jù) CT 的透射光強(qiáng)重建出投影前的函數(shù) f(x,y)，即拉東變換的反演問(wèn)題区丑。

最后編輯于：2023.07.15 10:57:08

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4、基本圖像變換