位置描述
建立坐標系后用一個 3×1 的位置矢量就可以確定坐標系當中的任何點位
用一個向量就可以表示，圖中的是
用位置矢量可以描述空間當中點的位置
姿態(tài)描述
不僅要表示空間中點的位置，還要表示出空間中物體的姿態(tài)
于是定義兩個坐標系，分別是{A}和{B}
在機器人學導論這本書當中，坐標系用中括號{}來表示择浊，例如這個例子當中的{A}以及后面在計算連桿坐標系時的{0}、{1}
從圖中可以看到，整個{B}坐標系是從{A}旋轉(zhuǎn)再平移得到的氛谜，先研究旋轉(zhuǎn)的這一部分
通過對坐標系旋轉(zhuǎn)就可以表達機械臂的姿態(tài)，定義一個旋轉(zhuǎn)矩陣為
表示為{B}的 X 方向單位矢量在{A}的表示沥邻，既然是在{A}的表示肯定是一個向量危虱，所以是個 1×3 的向量，而整個旋轉(zhuǎn)矩陣是 3×3 的矩陣
具體進行計算時整個矩陣可以表示為
通過這種方式可以計算出{B}當中所有的單位向量在{A}當中的表示唐全，現(xiàn)在對這個矩陣進行轉(zhuǎn)置操作
點乘有交換律的埃跷，
所以
所以對{B}對{A}的旋轉(zhuǎn)矩陣進行轉(zhuǎn)置就可以得到{A}對{B}的旋轉(zhuǎn)矩陣，即
這是旋轉(zhuǎn)矩陣的重要性質(zhì)
對于旋轉(zhuǎn)矩陣還有另外一個重要性質(zhì)邮利，即旋轉(zhuǎn)矩陣為正交矩陣
正交矩陣：一個矩陣 A 有
或者是
的性質(zhì)說明該矩陣為正交矩陣捌蚊，其中 E 為單位矩陣
為 3×3 的單位矩陣
因此
位姿描述
完整描述操作的位姿所需要的信息為兩個，一個是位置另一個是姿態(tài)近弟，在機器人學當中位置和姿態(tài)往往成對出現(xiàn)缅糟，于是將其組合為位姿，通過一個矢量例如 來表示位置祷愉，再用一個以三個矢量所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)矩陣
來表示姿態(tài)窗宦。
在后面的案例當中，表示位置常常用坐標系的原點位置二鳄，即
BORG 分兩部分赴涵，一部分是 B 代表坐標系，另一部分是 ORG 代表原點订讼。例如坐標系{0}的原點位置為 0 ORG
那么位姿{B}可以通過 和
確定髓窜，即：
下面對位姿的圖解表示法進行介紹，圖解表示法是通過圖示的方式說明位姿，如下圖
在圖中寄纵，世界坐標系當中存在三個位姿鳖敷，已知位姿{A}和位姿{B}相對于世界坐標系的關(guān)系以及位姿{C}相對于位姿{A}的關(guān)系。
在圖中使用圖示的方式對位姿進行說明程拭，每個位姿可以通過三個標有箭頭的單位矢量來描述定踱，定義位子的三根主軸。在圖中可以看到從一個原點指向另一個原點的箭頭恃鞋，即圖中藍色箭頭崖媚，這個矢量表示箭頭處原點相對于箭尾處原點的位置，箭頭方向表示相對的方向恤浪，例如在圖中是{C}相對于{A}而不是{A}相對于{C}
總結(jié)
為了避免與后面的概念混淆畅哑，進行簡單的總結(jié)，對于位姿的描述需要注意的幾個點
- 機器人操作臂的姿態(tài)各異水由，通過操作臂坐標系與其他坐標系相對比旋轉(zhuǎn)角度來描述操作臂的姿態(tài)
- 操作臂也有相對于其他坐標系的移動荠呐，也就是平移，其運動的量無非就是一個三維的矢量绷杜，參數(shù)也就是 xyz 這三個
- 把旋轉(zhuǎn)后的姿態(tài)和平移的方向與距離進行描述就可以描述出操作臂的在空間中的特性
- 后面會講到坐標的映射與算子，計算的方式和這一節(jié)的內(nèi)容差不多濒募，但是概念完全不同
- 位姿描述說的是如何描述操作臂在空間的狀態(tài)
- 下一節(jié)映射說的是一個坐標系上的點在另外一個坐標系上的表示鞭盟，是一個相同的量在不同坐標系下的表達
- 算子說的是在同一個坐標系下的旋轉(zhuǎn)平移操作，類似于 3D 軟件當中將一個方塊進行 Translate 和 Rotate 操作
