下文中, 繞坐標軸 
旋轉(zhuǎn)角度 
的旋轉(zhuǎn)矩陣表示為 )
, 其中 
.
Unity 中, 歐拉角 )
表示的旋轉(zhuǎn)順序是 
的外旋(extrinsic rotation).
設(shè)初始坐標系為 
. 設(shè)點 
在 中坐標為 
, 順序為 的外旋的意義是：
-
繞 的
軸旋轉(zhuǎn) 
，得到點 
的坐標 %20%5Cmathbf%7Bp%7D)
.
-
繞 的
軸旋轉(zhuǎn) 
, 得到點 
的坐標 %20%5Cmathbf%7Bp%7D_1)
.
-
繞 的
軸旋轉(zhuǎn) 
得到目標點 
的坐標 %20%5Cmathbf%7Bp%7D_2)
.
于是
%20%5Cmathbf%7BR%7D_x(%5Ctheta_x)%20%5Cmathbf%7BR%7D_z(%5Ctheta_z)%20%5Cmathbf%7Bp%7D.)
順序反過來(
)的內(nèi)旋(intrinsic rotation)和上述外旋的結(jié)果是一樣的. 內(nèi)旋的意義是
-
繞 的 軸旋轉(zhuǎn) 蘸吓，得到點
的坐標 %20%5Cmathbf%7Bp%7D)
. 坐標系經(jīng)過同樣的旋轉(zhuǎn)形成新的坐標系 
.
-
繞 的 軸旋轉(zhuǎn) , 得到點
. 這個操作愿卒，等價于先把 轉(zhuǎn)回 (應(yīng)用變換 %5E%7B-1%7D)
)，然后繞 的 軸旋轉(zhuǎn) (應(yīng)用變換 )
), 再將 轉(zhuǎn)到 (應(yīng)用變換 )
)歧蒋，所以 在 中的坐標為
%20%5Cmathbf%7BR%7D_x(%5Ctheta_x)%20%5Cmathbf%7BR%7D_y(%5Ctheta_y)%5E%7B-1%7D%20%5Cmathbf%7Bq%7D_1%20%3D%20%5Cmathbf%7BR%7D_y(%5Ctheta_y)%20%5Cmathbf%7BR%7D_x(%5Ctheta_x)%20%5Cmathbf%7Bp%7D)
坐標系 也在上述變換作用下變成 
, 相對 而言是應(yīng)用了變換 %20%5Cmathbf%7BR%7D_x(%5Ctheta_x))
.
-
繞 的 軸旋轉(zhuǎn) , 得到
. 類似地，這等價于將 轉(zhuǎn)回 , 繞 的 軸旋轉(zhuǎn) , 再將 轉(zhuǎn)回 , 即
%20%5Cmathbf%7BR%7D_x(%5Ctheta_x))%20%5Cmathbf%7BR%7D_z(%5Ctheta_z)%20(%5Cmathbf%7BR%7D_y(%5Ctheta_y)%20%5Cmathbf%7BR%7D_x(%5Ctheta_x))%5E%7B-1%7D%20%5Cmathbf%7Bq%7D_2%5C%5C%20%26%3D%20%5Cmathbf%7BR%7D_y(%5Ctheta_y)%20%5Cmathbf%7BR%7D_x(%5Ctheta_x)%5Cmathbf%7BR%7D_z(%5Ctheta_z)%5Cmathbf%7Bp%7D%5C%5C%20%26%3D%20%5Cmathbf%7Bp%7D%5E%5Cprime.%20%5Cend%7Baligned%7D)
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