歐拉公式

Euler’s Formula

個人覺得歐拉公式應該是數學上最美妙的公式了，沒有之一定嗓。它將自然對數蜕琴，虛數，三角函數宵溅，雙曲函數凌简，圓周率 $\pi$ 聯系在了一起，歐拉公式一般形式如下：

$e^{ix} =cosx+isinx$

敬仰歐拉大神恃逻！

歐拉公式的證明步驟

令 $F(x)=(cosx-isinx)e^{ix}$
對F(x)進行求導
$\frac 4cge88y{dx} F(x)=(cosx-isinx)e^{ix}i+(?sinx?icosx)e^{ix}=0$
由于 $F'(x)=0$ 雏搂，所以 $F(x)$ 恒等于一個常數,即 $F(x)=C$
所以 $F(x)=F(0)=(cos0?isin0)e^{i0} =1$
即 $1 = (cos x ? i sin x)e^{ix}$
兩邊同時乘以 $(cos x + i sin x)$
$cosx+isinx =(cosx+isinx)(cosx?isinx)e^{ix}$
$cosx+isinx =(cos2 x+sin2 x)e^{ix}$
$cos x + i sin x =e^{ix}$

歐拉公式相關推論

$e^{ix} =cosx + isinx$
$e^{?ix} =cosx ? isinx$ （帶入-x）

通過上述兩個等式，解出sinx和cosx

$sinx=\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$
$cosx=\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}$

將 $\pi$ 帶入歐拉公式寇损，有

$e^{i\pi}+1=0$

最后編輯于：2019.11.24 18:53:05

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