Noether和Halphen繼續(xù)代數(shù)幾何方面的工作悠汽，他們詳細(xì)研究了空間代數(shù)曲線。任一空間曲線C能夠雙有理地射影變換為一個(gè)平面曲線C1芥驳。由C所得的所有這種C1都有相同的虧格柿冲，所以C的虧格定義為任一這種C1的虧格，且C的虧格在空間的雙有理變換下保持不變兆旬。
平面代數(shù)曲線的奇點(diǎn)研究受到了極大注意假抄。代數(shù)函數(shù)理論在1871年以前限于研究有不同的或相離開的二重點(diǎn)（最壞的只是尖點(diǎn)）的那種曲線，對有更復(fù)雜奇點(diǎn)的曲線，人們認(rèn)為可以作為具有二重點(diǎn)的曲線的極限情況處理宿饱。但實(shí)際的極限步驟是模糊的熏瞄，且缺乏嚴(yán)密性和統(tǒng)一性。
奇點(diǎn)研究的頂峰是兩個(gè)著名的變換定理谬以。第一個(gè)定理說强饮，每條不可約的平面代數(shù)曲線可用一個(gè)克雷莫納變換到一條曲線，它除了有不同切線的重點(diǎn)外別無奇點(diǎn)为黎。第二個(gè)定理斷言：每條平面不可約代數(shù)曲線用只在曲線上雙有理的變換邮丰，能變換成另一曲線，它只有具不同切線的二重點(diǎn)碍舍。曲線化簡到這些簡單的形式柠座，使代數(shù)幾何的一套方法容易得到應(yīng)用邑雅。
然而這些定理的許多證明片橡，特別是第二個(gè)定理的證明，是不完整的淮野，遭到了數(shù)學(xué)家的指責(zé)捧书。第二個(gè)定理實(shí)際上有兩種情況：射影平面中的實(shí)曲線以及復(fù)函數(shù)論意義下的曲線，x,y各在一個(gè)復(fù)平面上取值骤星。1871年諾特用一系列在全平面上一對一的二次變換證明了第一定理经瓷。一般把證明歸功于他，但實(shí)際上他只是指出一個(gè)證法洞难，許多人加以完善和修改舆吮。克羅內(nèi)克應(yīng)用分析與代數(shù)队贱，建立了一個(gè)方法去證明第二定理色冀。 1858年他把方法口頭告訴了黎曼和魏爾斯特拉斯，1870年起用在授課中柱嫌，并在1881年發(fā)表锋恬。這個(gè)方法使用有理變換，借助于所給平面曲線的方程编丘，變換一一對應(yīng)与学，把奇異情況變到“正則情況”，即奇點(diǎn)變成有相異切線的二重點(diǎn)嘉抓，然而克羅內(nèi)克未敘述該結(jié)果索守，只是隱含在其工作中。
第二定理的大意是：所有多重點(diǎn)用曲線的雙有理變換能夠化為二重點(diǎn)抑片。1884年Halphen首次明顯敘述該定理卵佛，并給予證明。曾出現(xiàn)了許多證明，但都沒有得到普遍接受级遭。
代數(shù)幾何（六+）
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