1 因?yàn)橐粋€(gè)項(xiàng)集有許多次序昭齐，我們必不可在被排列的項(xiàng)集的性質(zhì)中尋求序的定義钟沛，這是以上討論的一個(gè)重要結(jié)果。次序不在項(xiàng)集中,而是在項(xiàng)集的分子間的一種關(guān)系中,由于這種關(guān)系乃有一些項(xiàng)出現(xiàn)在前,一些項(xiàng)在后伏穆。一個(gè)類可以有許多種次序這個(gè)事實(shí)是由于一個(gè)類的分子間可能有許多種關(guān)系拘泞。然則為了產(chǎn)生一種序，一個(gè)關(guān)系須具有些什么性質(zhì)?
假設(shè)有一種關(guān)系能產(chǎn)生序,又有一個(gè)類為這關(guān)系排成次序,我們注意這類中的任何二項(xiàng)對(duì)于這關(guān)系而言蜈出，必定是一個(gè)在先一個(gè)在后,注意到這點(diǎn),可以發(fā)現(xiàn)能產(chǎn)生序的關(guān)系的木質(zhì)特征√锩郑現(xiàn)在為使這些字眼能適合于通常我們所了解的意義，序的關(guān)系應(yīng)該具有以下三種性質(zhì):

_基于關(guān)系的性質(zhì)來(lái)考慮序或定義序铡原。

1）非對(duì)稱
2）傳遞
3）連通

一個(gè)關(guān)系具有這三種性質(zhì)時(shí)偷厦，就在有這關(guān)系的諸項(xiàng)間產(chǎn)生一種序商叹。反之，無(wú)論何處有一種序存在只泼，總可能發(fā)現(xiàn)一種關(guān)系剖笙，具有以上三種性質(zhì),產(chǎn)生以上的序。

_羅素在通過(guò)基于邏輯給出來(lái)的一些性質(zhì)请唱，來(lái)刻畫數(shù)弥咪。用一些列的性質(zhì)試圖給出數(shù)的定義。
他在皮爾斯的5個(gè)命題的基礎(chǔ)上展開(kāi)思考十绑，做一種通過(guò)若干邏輯命題來(lái)代替前者那自身還是沒(méi)有說(shuō)清楚的句子聚至。說(shuō)清楚，指的是把命題完全建立在邏輯之上本橙。羅素的工作就是基于在皮爾斯的幾個(gè)歸納命題扳躬，把這幾個(gè)命題全部歸于邏輯的推進(jìn)。而邏輯負(fù)責(zé)照顧其自身甚亭，為算術(shù)奠基贷币。

2在解釋這個(gè)論題前,我們要引人幾個(gè)定義。
(1)一關(guān)系稱為是示異的(aliorelative)①亏狰，或者說(shuō)包含于役纹，或者說(shuō)蘊(yùn)含，相異性暇唾，如果沒(méi)有一項(xiàng)對(duì)其自身有這關(guān)系促脉。例如“大于”,“大小不等”,“兄弟”,“丈夫”,“父親”都是示異的: 但是“相等”,“為同一父母所生”,“好友”卻不是。
(2)當(dāng)x與z兩項(xiàng)之間有一中間項(xiàng)y信不，使得x與y之間及y與z之間有同一關(guān)系時(shí)嘲叔，則x與z之間的關(guān)系是此關(guān)系的平方(square)。例如“祖父”關(guān)系是“父親”關(guān)系的平方,“大二數(shù)”是“大一數(shù)”的平方抽活。等等。
(3)一關(guān)系的前域由所有那些項(xiàng)所組成锰什，這些項(xiàng)與其它東西有此關(guān)系下硕。一關(guān)系的后域由所有那些項(xiàng)所組成,這些項(xiàng)是它東西與它有此關(guān)系。這些概念曾經(jīng)定義過(guò)汁胆，在此不過(guò)是為了以下定義而回憶一過(guò):
(4)所謂一關(guān)系的域(field of a relation)就是此關(guān)系的前域與后域所合成梭姓。
(5)一關(guān)系稱為包含或者蘊(yùn)含于另一關(guān)系中，如果不論何時(shí)另一關(guān)系成立,則此關(guān)系也成立嫩码。

(1) A relation is said to be an aliorelative, or to be contained in or imply diversity,if no term has this relation to itself誉尖。 defnitions. Thus, for example, “ greater”,“different in size”, “brother”，“husband,” “ father ” are aliorelatives; but “ equal,’’ “ born of the same parents”,“dear friend” , are not.
(2) The square of a relation is that relation which holds betweentwo terms x and z when there is an intermediate term y suchthat the given relation holds between x and y and betweeny andz. Thus “ paternal grandfather , is the square of father,greater by 2 ” is the square of “ greater by I,’, and so on.
(3)The domain of a relation consists of all those terms thathave the relation to something or other, and the converse domainconsists of all those terms to which something or other has therelation, These words have been already defned, but arerecalled here for the sake of the following defnition :
(4) The feld of a relation consists of its domain and converse iomain together.

aliorelative：示異和差異差不多铸题，但是和包含看作一個(gè)意思铡恕？它們之間在什么用法上相等琢感？
在這里，or翻譯為或者說(shuō)探熔，還是或者驹针？或者說(shuō)的翻譯，意味著其后的多個(gè)東西之間含義相等诀艰〖砩或者 的翻譯，可以意味其后的東西處于或然的情況之中：
沒(méi)有一個(gè)成員和它自身具有這種關(guān)系其垄，這種關(guān)系可以是示異苛蒲，可以是包含于，可以是差異绿满”弁猓——而示異、包含于棒口、差異 這三中關(guān)系是不同的寄月。
這里做哪種理解？這本書的譯者采取前一種无牵。
從后文看漾肮，引用的都是aliorelative，它作為定義的對(duì)象茎毁，這里的or后的多個(gè)概念大體是相同的含義克懊。

這里要弄清的是 包含于的關(guān)系 為什么和 差異的關(guān)系 看作相似甚至相同。
沒(méi)有一項(xiàng)對(duì)其自身有某個(gè)關(guān)系七蜘，把這個(gè)限定看作這個(gè)關(guān)系的定義谭溉，就可以了，在沒(méi)有確定 包含和示異 之間的關(guān)系之先橡卤。

這里扮念，示異似乎是更一般的定義，而包含則是較特殊的定義。前者可以看作后者的屬，從后者中分有食听。

示異著眼于一項(xiàng)對(duì)于自身的關(guān)系：對(duì)于關(guān)系a募逞，一項(xiàng)對(duì)于自身沒(méi)有這個(gè)關(guān)系。這是對(duì)于關(guān)系的性質(zhì)的刻畫，這個(gè)關(guān)系把一個(gè)東西引向另一個(gè)東西，或者說(shuō)這個(gè)關(guān)系是對(duì)于不同的東西之間的聯(lián)系。
對(duì)稱作為關(guān)系的性質(zhì)迁匠。對(duì)稱的關(guān)系中，處于關(guān)系中的不同東西，他們首先是示異的城丧。然后延曙，示異的不同東西之間，還存在某種共性芙贫。示異的關(guān)系作為對(duì)于這個(gè)共同的類的完全劃分搂鲫。比如二進(jìn)制數(shù)中的0和1、真值下的真假磺平。

2.1非對(duì)稱的關(guān)系即其平方是示異的關(guān)系魂仍。常常會(huì)有關(guān)系是示異的，但不是非對(duì)稱的拣挪。例如擦酌，“配偶”雖是示異的，然而也是對(duì)稱的,因?yàn)椴と埃绻鹸是力的配偶赊舶，"也是x的配偶「险铮可是在傳遞的關(guān)系中所有示異的關(guān)系都是非對(duì)稱的;反之所有非對(duì)稱的關(guān)系也都是示異的笼平。

_非對(duì)稱關(guān)系的定義：它具有一種性質(zhì)，其平方是示異的舔痪。
對(duì)稱關(guān)系寓调，是一個(gè)關(guān)系中，項(xiàng)之間調(diào)換位置（前域后域的位置）锄码，關(guān)系還是成立夺英。比如cupple，a和b是cupple滋捶，那么b和a也是cupple痛悯。這里，a和b是示異的重窟。這個(gè)例子里载萌，b可以就是a，那么這里就是一個(gè)非示異的對(duì)稱巡扇。a總是與a相等炒考。而a不能和a自身作為cupple。
指出非對(duì)稱關(guān)系的意義霎迫，在于為序列留下伏筆。羅素隨后就提到傳遞的關(guān)系帘靡。傳遞的關(guān)系是序列的前提知给。序列是數(shù)的性質(zhì)。
傳遞關(guān)系是非對(duì)稱的。但是非對(duì)稱關(guān)系并非都是傳遞的涩赢。無(wú)序的關(guān)系也是非對(duì)稱的戈次。
非對(duì)稱關(guān)系，其平方可以是非示異的筒扒。比如真值的否定這種關(guān)系怯邪，作為算子，真的否定是假花墩，假的否定是真悬秉。這個(gè)關(guān)系的平方是非示異的。
這里冰蘑，這句話是對(duì)于非對(duì)稱關(guān)系的定義或描述和泌。類比：
x的平方是b，b是確定給出的祠肥。
一個(gè)非示異的關(guān)系武氓，其平方還是非示異的。比如相等：
a=b仇箱，b=c县恕，推出a=c。
所以非對(duì)稱關(guān)系一定是示異的剂桥。
這里進(jìn)一步的規(guī)定是其平方也還是示異的忠烛。
一個(gè)關(guān)系，它是示異的渊额，但是其平方非示異况木，比如關(guān)系cupple，那么它是對(duì)稱的旬迹。
一個(gè)關(guān)系火惊，它是示異的，并且其平方非示異奔垦，可以作為非對(duì)稱關(guān)系的定義屹耐。由于平方為示異蘊(yùn)含了它本身是示異的這一點(diǎn)，因而在定義里可以把自身示異這點(diǎn)略去不提椿猎。

然后惶岭，是非對(duì)稱和傳遞之間的關(guān)系。傳遞是非對(duì)稱的犯眠。但是對(duì)于非對(duì)稱要加上什么限定作為傳遞的定義按灶？
非對(duì)稱把關(guān)系從對(duì)稱的自身環(huán)回里扯出來(lái)。但是帶來(lái)的還不是不同項(xiàng)之間關(guān)系的某種序列筐咧，傳遞鸯旁。
接著看傳遞的定義噪矛，或者之前已經(jīng)有所定義？

前面一頁(yè)就在談序的性質(zhì)铺罢。里面1）提到非對(duì)稱：
(1)如果x在y之先艇挨，或說(shuō)x先于上則"必不先于x。一個(gè)關(guān)系具有這第一種性質(zhì)韭赘，稱為非對(duì)稱關(guān)系缩滨。這是產(chǎn)生序列的關(guān)系的一個(gè)顯著特性。
(2)如果x先于y,并且y先于z,x必先于z泉瞻。一個(gè)關(guān)系具有這第二種性質(zhì)稱為傳遞的(transitive)
(3)給定為一關(guān)系所排列的一類中的任何二項(xiàng)脉漏，必是一個(gè)在先,另一個(gè)在后。一個(gè)關(guān)系如果具這第三種性質(zhì),就稱為連通的(connected)

這3個(gè)性質(zhì)瓦灶，性質(zhì)1指出特定兩個(gè)項(xiàng)之間的關(guān)系的情況鸠删。性質(zhì)2指出關(guān)系之間的聯(lián)系或關(guān)系。性質(zhì)3規(guī)定處于關(guān)系中的任意兩項(xiàng)之間的先后關(guān)系的存在贼陶。從1到3是一種從兩項(xiàng)的關(guān)系之非對(duì)稱的規(guī)定刃泡，到有聯(lián)系的兩個(gè)關(guān)系之間統(tǒng)一于一個(gè)關(guān)系里處于兩兩關(guān)系中的三項(xiàng)，前項(xiàng)和后項(xiàng)之間基于它們和中項(xiàng)的關(guān)系而給出同一個(gè)關(guān)系碉怔，最后到任意兩項(xiàng)之間某種關(guān)系存在的規(guī)定烘贴。這些規(guī)定遞進(jìn)地規(guī)定出序的概念。

2.2從這些定義中可知一傳遞關(guān)系是為它的平方所蘊(yùn)涵的關(guān)系撮胧，或者我們也可以說(shuō),包含它的平方的關(guān)系桨踪。因而“祖先”是傳遞的，因?yàn)橐粋€(gè)祖先的祖先仍是祖先;但是“父親”不是傳遞的,因?yàn)橐粋€(gè)父親的父親不再是父親而是祖父芹啥。一個(gè)傳遞的示異關(guān)系既包含它的平方又是示異的;或者說(shuō)它的平方既蘊(yùn)含它锻离，又是非對(duì)稱的，兩種說(shuō)法意義相同,因?yàn)槟够常?dāng)一關(guān)系是傳遞的汽纠，非對(duì)稱的等價(jià)于是示異的。

_第一句話傀履，蘊(yùn)含的理解虱朵。一傳遞關(guān)系是為它的平方所蘊(yùn)涵的關(guān)系。b（>c）钓账、a>b碴犬，則a和c之間存在關(guān)系a（>c）。
包含它的平方的關(guān)系:a>b則a>c梆暮。
這蘊(yùn)含的概念模糊服协。包含說(shuō)的清晰了。

一個(gè)關(guān)系其平方蘊(yùn)含它啦粹，這個(gè)關(guān)系是傳遞關(guān)系蚯涮。關(guān)系的平方蘊(yùn)含這關(guān)系：a的祖先是b治专，b的祖先是c，a和c之間是祖先的平方的關(guān)系遭顶，它們之間還是存在祖先關(guān)系。
對(duì)稱關(guān)系的平方不蘊(yùn)含對(duì)稱關(guān)系泪蔫，而是產(chǎn)生相等的關(guān)系棒旗。真對(duì)稱的是假，假對(duì)稱的是真撩荣，真和自身不是對(duì)稱關(guān)系而是相等關(guān)系铣揉。對(duì)稱關(guān)系具有示異的性質(zhì)，和示異相區(qū)別的是相等或非示異關(guān)系餐曹。

回到前面蘊(yùn)含和包含關(guān)系逛拱。蘊(yùn)含和包含是同義的。蘊(yùn)含和蘊(yùn)含于相反台猴。祖先關(guān)系的平方蘊(yùn)含祖先關(guān)系朽合。但是不說(shuō)祖先關(guān)系蘊(yùn)含祖先的平方關(guān)系。就像屬種差序列里饱狂，就其內(nèi)涵而言曹步，不說(shuō)屬概念的內(nèi)涵蘊(yùn)含種差概念的內(nèi)涵。祖先關(guān)系作為類休讳，祖先的平方還是作為祖先是其一個(gè)項(xiàng)讲婚，但是這個(gè)類之下還具有別的項(xiàng)。比如父親作為祖先的項(xiàng)俊柔，就不是祖先的祖先筹麸。
傳遞關(guān)系在于指出關(guān)系的平方還是蘊(yùn)含這個(gè)關(guān)系本身的情況。以此構(gòu)成一個(gè)同類的東西的序列雏婶。這也作為對(duì)于一個(gè)關(guān)系其作為傳遞關(guān)系的性質(zhì)的一個(gè)規(guī)定物赶。

這點(diǎn)倒是和類的類、二階概念有著某種類似尚骄。二階概念在于指出一個(gè)概念其本質(zhì)或本體或它之為它的定義的東西块差。是一種對(duì)于自身或本體的回溯【笳桑基于共性的分析憨闰。
一個(gè)關(guān)系其平方蘊(yùn)含它， 把關(guān)系置于某種運(yùn)用或更進(jìn)一步的關(guān)系（關(guān)系的平方）下來(lái)談?wù)撨@個(gè)關(guān)系的性質(zhì)需五。這里存在語(yǔ)境原則的運(yùn)用鹉动。代數(shù)式的命題，作為所要談?wù)摰拇鷶?shù)的東西的定義宏邮。x+7=12泽示，可以用作對(duì)于x的定義缸血。這個(gè)句子變換一下形式，就是x=12-7.這個(gè)變換可以類比指稱詞組和其語(yǔ)詞表達(dá)式的關(guān)系械筛。

前面二階概念的類比捎泻，還是沒(méi)想透。兩者之間相同的點(diǎn)還么有抓到埋哟。

一個(gè)傳遞關(guān)系是它的平方所蘊(yùn)含的關(guān)系：
A和B存在關(guān)系f（a笆豁，b），a和b表示邏輯空位赤赊，它們可以是任何東西闯狱。B和C也存在這個(gè)關(guān)系。那么A和C也存在這個(gè)關(guān)系抛计。
這是關(guān)于傳遞關(guān)系的定義哄孤。一個(gè)關(guān)系的平方，指的是A和C之間的關(guān)系吹截。傳遞關(guān)系的特征或本質(zhì)或其定義所在在于：
A和C之間的關(guān)系也總是處于這個(gè)關(guān)系作為類之下瘦陈。由此把這樣的關(guān)系定義為傳遞的。
并非任何關(guān)系都使這個(gè)命題為真饭弓，只有傳遞關(guān)系為條件這個(gè)命題才是真的双饥。
這里，當(dāng)A和C是關(guān)于任何東西的談?wù)摱鵁o(wú)特指時(shí)弟断，前面這個(gè)句子（A和C之間的關(guān)系也總是處于這個(gè)關(guān)系作為類之下）咏花，其中的總是就可以省去不說(shuō)了。它已經(jīng)被蘊(yùn)含在內(nèi)了阀趴，一個(gè)邏輯句子之為真昏翰，是必然的而非經(jīng)驗(yàn)的。說(shuō)一個(gè)邏輯句子總是真的刘急，除了揭示任何邏輯本身普遍的性質(zhì)之外棚菊，對(duì)于某個(gè)邏輯而言再去指出它，是同義反復(fù)叔汁⊥城螅或者說(shuō)沒(méi)有意義。

一傳遞關(guān)系是為它的平方所蘊(yùn)涵的關(guān)系据块，或者我們也可以說(shuō),包含它的平方的關(guān)系码邻。
前半句，一個(gè)傳遞關(guān)系的平方蘊(yùn)含這個(gè)傳遞關(guān)系另假。這里指出來(lái)的是一種基于概念分析產(chǎn)生出來(lái)的邏輯命題像屋。總是···边篮，而非基于這個(gè)傳遞關(guān)系的內(nèi)容的經(jīng)驗(yàn)性而定己莺。
后半句奏甫，傳遞關(guān)系包含它的平方的關(guān)系。這里的包含凌受，指的是在類的意義上阵子，一個(gè)類對(duì)于處于其下的項(xiàng)的包含。
蘊(yùn)含基于內(nèi)涵對(duì)于類的分析胁艰、概念分析款筑。包含則是基于外延對(duì)于類的情況作出的談?wù)摗烧咧g談?wù)摰氖峭粋€(gè)東西腾么。

這段里后面這句話：
一個(gè)傳遞的示異關(guān)系既包含它的平方又是示異的;或者說(shuō)它的平方既蘊(yùn)含它，又是非對(duì)稱的杈湾，兩種說(shuō)法意義相同,因?yàn)榻馐?dāng)一關(guān)系是傳遞的，非對(duì)稱的等價(jià)于是示異的漆撞。

傳遞的關(guān)系可以是非示異的殴泰。比如相等：
1，1浮驳，1悍汛，1···
也可以是示異的，這就要求給出不相等的某種策略或方法上的規(guī)定至会。示異又分為對(duì)稱與否离咐。對(duì)稱關(guān)系的傳遞是一種成對(duì)的相等：
二進(jìn)制中0，1奉件，0宵蛀，1，0县貌，1术陶，···，
或真假的交替序列煤痕。
但是梧宫，這不是傳遞的：平方關(guān)系里是相等的關(guān)系而非示異的關(guān)系，它和這個(gè)一次關(guān)系本身不同摆碉。
因此塘匣，傳遞的關(guān)系之示異的情況下，排除對(duì)稱的性質(zhì)兆解。留下的是非對(duì)稱的情況馆铁。

傳遞的關(guān)系，示異的規(guī)定或約束锅睛，使得它走上一個(gè)處于關(guān)系之下的項(xiàng)之間各各不同的情況埠巨。它構(gòu)成自然數(shù)序列的一個(gè)條件历谍。一個(gè)發(fā)散的，而非類下的項(xiàng)的封閉循環(huán)或重復(fù)的情況辣垒。二進(jìn)制中0望侈，1，0勋桶，1脱衙，0，1例驹，···就是這種情況捐韩。

2.3
在一關(guān)系域中,給定任意的不同的兩項(xiàng),關(guān)系或者在第一項(xiàng)與第二項(xiàng)之間成立或者在第二項(xiàng)與第一項(xiàng)之間成立,如此,關(guān)系是連通的。(不排除兩種悄形都發(fā)生這“種可能性,如果關(guān)系足非對(duì)稱的,以上二種情形不可能全發(fā)生鹃锈。)

_這句話是對(duì)于連通的解釋荤胁。突出關(guān)系域中的任意兩項(xiàng)基于處于前后域位置的兩種可能中的一種總是具有這個(gè)關(guān)系。這一點(diǎn)建立在關(guān)系的傳遞性質(zhì)之上屎债。
它也是自然數(shù)作為序列其關(guān)系下的東西的性質(zhì)仅政。

我們可以看出，譬如“祖先”關(guān)系是示異的盆驹，傳遞的,但不是連通的圆丹。因?yàn)樗蛔阋詫⑷祟惻懦梢粋€(gè)序列。
在數(shù)中“小于或等于”的關(guān)系是傳遞的,連通的,但不是非對(duì)稱的,也不是示異的躯喇。
在數(shù)中“大于或小于”的關(guān)系是示異的辫封，連通的，但不是傳遞的玖瘸，因?yàn)槿绻鹸大于或小于y秸讹，y大于或小于z，可能x與z是同一數(shù)雅倒。
是以這三種性質(zhì):(1)示異的璃诀，(2)傳遞的以及(3)連通的是相互獨(dú)立的,因?yàn)橐粋€(gè)關(guān)系可能有任何兩種性質(zhì)而無(wú)第三種性質(zhì),如我們?cè)谝陨系睦又兴?jiàn)。

_我前面考慮的蔑匣，連通以傳遞為條件劣欢，可見(jiàn)是不對(duì)的。
連通突出的是基于任意兩項(xiàng)之間這關(guān)系的建立裁良。比如在祖先這個(gè)關(guān)系里凿将，前域后域合起來(lái)只是把所有直系血緣關(guān)系的人納入其中，而并不能基于這個(gè)關(guān)系為秩序把所有人納入統(tǒng)一的類价脾。因此牧抵，祖先這個(gè)關(guān)系不連通。
示異和非對(duì)稱，突出類的開(kāi)放性犀变，作為項(xiàng)的對(duì)無(wú)限性作出承接妹孙，這是一個(gè)關(guān)系所構(gòu)成的類能夠統(tǒng)一任何東西的條件。
傳遞也是關(guān)系要處理無(wú)限的對(duì)象納入統(tǒng)一的條件获枝。例子中的大于或小于蠢正，就是不等于。不等于這個(gè)關(guān)系僅僅指出差異省店，卻沒(méi)有對(duì)于差異的不同東西之間的額外的秩序作出限定嚣崭。帶來(lái)的是一種無(wú)序。這樣的統(tǒng)一類似康德的union懦傍，其一還是無(wú)知中的聚合雹舀，聚合到這個(gè)統(tǒng)一之下來(lái)的根據(jù)的東西，還是沒(méi)有給出來(lái)的粗俱。顯然這不適合于數(shù)的情況葱跋。

3種性質(zhì)里，從對(duì)于序的構(gòu)造作為整體的統(tǒng)一的要求而言源梭，首先要求的是示異性。它保證關(guān)系對(duì)于不同東西的敞開(kāi)稍味，避免落入相等關(guān)系的局限废麻。
然后是連通性。連通性對(duì)于整體統(tǒng)一于關(guān)系下來(lái)作為域負(fù)責(zé)模庐。
示異性和連通性合起來(lái)烛愧，前者規(guī)定關(guān)系對(duì)于不同的東西的承接，后者規(guī)定這些不同的東西之間關(guān)系的普遍性而納入一個(gè)整體的類的統(tǒng)一之中掂碱。兩個(gè)方面猶如亞里士多德對(duì)于質(zhì)料和形式的劃分它們的銜接構(gòu)成一個(gè)實(shí)體怜姿。
傳遞性為給出的某個(gè)關(guān)系其下項(xiàng)之間的序。但是它并不為這個(gè)關(guān)系的普遍性負(fù)責(zé)疼燥。那是連通性的責(zé)任沧卢。

羅素對(duì)于這些性質(zhì)的列舉怎么保證作為必要條件的窮舉呢？

我們現(xiàn)在建立以下的定義:
一關(guān)系如果是傳遞的醉者，示異的和連通的;或者說(shuō)但狭，如果是非對(duì)稱的,傳遞的和連通的,則此關(guān)系稱作是序列的。
一個(gè)序列即是一個(gè)序列的關(guān)系,或者簡(jiǎn)稱序列關(guān)系撬即。

_回到前面這3點(diǎn)作為給出序列的規(guī)定的充分條件的質(zhì)疑立磁。示異指示項(xiàng)之間的不同。傳遞指示關(guān)系之間的遞歸剥槐，或者說(shuō)處于傳遞的關(guān)系之中不同步或多次方的項(xiàng)之間始終還是處于這個(gè)關(guān)系之下唱歧，這可以看作關(guān)系的域中的不同項(xiàng)之間構(gòu)成連通的關(guān)系。而最后無(wú)條件設(shè)定的連通性指示的是這個(gè)關(guān)系對(duì)于項(xiàng)作為類本身的普遍接納粒竖，或者說(shuō)對(duì)于關(guān)系提出以這個(gè)基于項(xiàng)本身的性質(zhì)而來(lái)的類作為自身的域的要求颅崩。

等一下几于，這里定義的是序列而非自然數(shù)這個(gè)序列。因此挨摸，前面這段話有問(wèn)題孩革。這里并不涉及離開(kāi)關(guān)系單單就項(xiàng)自身基于某種性質(zhì)的給出的情況。這里談?wù)摰氖翘幱谀硞€(gè)關(guān)系之下的項(xiàng)之間的關(guān)系的性質(zhì)得运。
基于一個(gè)關(guān)系的給出膝蜈，可以給出基于這個(gè)關(guān)系之下二次方的項(xiàng)，三次方項(xiàng)熔掺，···饱搏。這些項(xiàng)之間關(guān)系的性質(zhì)進(jìn)一步提出要求，產(chǎn)生出來(lái)序列的定義置逻。因此推沸，這里序列是定義的產(chǎn)物眨猎，而非作為綜合判斷傻粘。需要考慮的是這樣定義的序列能夠帶來(lái)什么意義上的東西。它對(duì)于理解自然數(shù)有什么作用先口。

給定任何序列關(guān)系,譬如P恨锚，如果x對(duì)有P關(guān)系宇驾，這個(gè)我們簡(jiǎn)寫成“xPy”,我們就說(shuō)，對(duì)于關(guān)系P而言x“先于”y猴伶。P要成為一個(gè)序列關(guān)系,必須具有以下三種特性:
(1)我們決不能有xPx,亦即,決沒(méi)有一項(xiàng)先于它自己课舍。
(2)P2必須蘊(yùn)涵P,亦即,如果x先于y,y先于z,x必先于z。
(3)如果x和y是P的關(guān)系域中不同的二項(xiàng)他挎，我們將有xPy
或yPx筝尾，亦即二項(xiàng)中之一必須先于另一項(xiàng)。

這里序列的項(xiàng)可以寫成f（a）办桨，a是自然數(shù)筹淫，它指示相應(yīng)f的項(xiàng)數(shù)。而作為這一切的基礎(chǔ)的崔挖，則是自然數(shù)序列本身贸街。

雖然無(wú)論何處有一序列，也常有一傳遞的狸相，非對(duì)稱的薛匪，連通的關(guān)系,不過(guò)這個(gè)關(guān)系不總是能很自然地看成是產(chǎn)生序列的關(guān)系。自然數(shù)的序列可以作為一個(gè)例證脓鹃。在考慮自然數(shù)時(shí)我們所假定的關(guān)系是直接后繼的關(guān)系逸尖，也就是在兩個(gè)相連的整數(shù)間的關(guān)系。這個(gè)關(guān)系是非對(duì)稱的，但不是傳遞的或連通的娇跟。然而用數(shù)學(xué)歸納法我們能夠從這關(guān)系得出“祖先的”關(guān)系岩齿，這在前--章中我們已經(jīng)討論

_自然數(shù)的相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系，加1苞俘，和大于這種關(guān)系的區(qū)別盹沈，前者是一個(gè)運(yùn)算或算子，其自身是一個(gè)行動(dòng)吃谣，而后者作為結(jié)果的判斷乞封。這使得類1 2 3 基于小于關(guān)系，是傳遞的岗憋。但是作為加1的關(guān)系肃晚，它不是傳遞的：1 2之間有加一的關(guān)系，但是1 3之間沒(méi)有這個(gè)關(guān)系仔戈。
看看羅素接下來(lái)怎么處理這區(qū)別关串。

3 m對(duì)于n的關(guān)系:m是n的祖先而不等于n，或者(同樣地)m的后繼是n的一個(gè)祖先监徘。換言之,我們可以建立以下的定義:
所謂一個(gè)歸納數(shù)m小于另一數(shù)n晋修，即是n具有m的后繼所具有的一切遺傳的性質(zhì)。
(An inductive number m is said to be less than another number n when n possesses every hereditary property possessed by the successor of m.
)

_這里凰盔，一個(gè)數(shù)的后繼是加1得到的數(shù)飞蚓。祖先，序列關(guān)系里在先的數(shù)廊蜒。遺傳性質(zhì)：比如2>1，大于2的數(shù)具有2的后繼3的所有性質(zhì)溅漾。指大于1也大于2這樣的性質(zhì)山叮。這個(gè)性質(zhì)是可以遺傳的。
但是添履，這么解釋的問(wèn)題在于屁倔，一個(gè)數(shù)的后繼是加1得到的數(shù)，這樣得到的序列和一個(gè)小于關(guān)系所構(gòu)成的類或序列不同暮胧。一個(gè)數(shù)的后繼是加1得到的數(shù)锐借，這樣的后續(xù)和小于關(guān)系的聯(lián)系，在于前者看作一個(gè)數(shù)和大于這個(gè)數(shù)中最小的那個(gè)之間的關(guān)系往衷。并且這里的最小的一步是加一钞翔。
小于這個(gè)關(guān)系蘊(yùn)含自然數(shù)序列，但是并不限于它席舍。前者并非定義后者的充分條件布轿，或者說(shuō)并非充分定義。
羅素隨后的一段，并沒(méi)有討論這個(gè)區(qū)別汰扭，在小于和加一之間稠肘。而是不加說(shuō)明就銜接過(guò)去了。

所謂一個(gè)歸納數(shù)m小于另一數(shù)n萝毛，即是n具有m的后繼所具有的一切遺傳的性質(zhì)项阴。
對(duì)于這個(gè)定義的理解落到這個(gè)概念：m的后繼所具有的每一個(gè)遺傳的性質(zhì)。它就是m和比它小的數(shù)的關(guān)系笆包。比如环揽，3的后繼所具有的一切遺傳的性質(zhì)，指的是比3大的數(shù)它們的共性色查，這個(gè)共性就是大于3薯演。而大于3規(guī)定了它們具有3在基于按大小編排的序列中的性質(zhì)，它大于1和2秧了。
這個(gè)概念在于指出m的諸后繼所具有的遺傳性質(zhì)跨扮，它們之間的析取。得到的就是m在序列中的位置验毡，它大于其諸祖先衡创。這個(gè)性質(zhì)可以看作m的后繼的性質(zhì)，如果n>m晶通，那么n就具有這個(gè)性質(zhì)璃氢。反過(guò)來(lái)也成立，如果n具有這性質(zhì)狮辽，那么n>m一也。

前面兩段對(duì)m的后繼，前一段理解為m+1喉脖，后一段理解為大于m的任何數(shù)椰苟。似乎前一段是對(duì)的。

3.1
An inductive number m is said to be less than another number n when n possesses every hereditary property possessed by the successor of m.

百度ai：
這個(gè)定義是在嘗試闡述一種關(guān)于“小于”關(guān)系的概念树叽，但它使用了比較專業(yè)的術(shù)語(yǔ)舆蝴，如“inductive number”（歸納數(shù)）和“hereditary property”（遺傳性質(zhì)）。我們可以逐步解析這個(gè)定義：

歸納數(shù)（Inductive number）：在數(shù)學(xué)邏輯或數(shù)論中题诵，歸納數(shù)通常指的是通過(guò)某種歸納過(guò)程定義或構(gòu)造的數(shù)洁仗。例如，在自然數(shù)的定義中性锭，一個(gè)數(shù)是歸納的赠潦，如果它是某個(gè)歸納集合的成員，這個(gè)集合包括一個(gè)基礎(chǔ)元素（如0或1）草冈，并且包含所有其成員的后繼（successor）祭椰。

后繼（Successor）：后繼是一個(gè)函數(shù)或操作臭家，它將一個(gè)數(shù)映射到它的下一個(gè)數(shù)。在自然數(shù)的情況下方淤，后繼通常指的是加1的操作钉赁。

遺傳性質(zhì)（Hereditary property）：這是一個(gè)比較抽象的概念，指的是一個(gè)數(shù)或?qū)ο笏鶕碛械哪撤N屬性携茂，這種屬性在某種操作或變換下會(huì)被“遺傳”給通過(guò)該操作或變換得到的新數(shù)或?qū)ο竽悴取Ｔ谶@個(gè)定義中，遺傳性質(zhì)指的是那些被后繼操作保持的性質(zhì)讳苦。

現(xiàn)在带膜，根據(jù)給定的定義：“一個(gè)歸納數(shù)m被認(rèn)為小于另一個(gè)數(shù)n，當(dāng)且僅當(dāng)n擁有m的后繼所擁有的每一個(gè)遺傳性質(zhì)鸳谜∠ヅ海” 這意味著，如果我們考慮m的后繼（我們可以稱之為m+1）咐扭，并且m+1擁有某些特定的性質(zhì)（這些性質(zhì)是遺傳的芭挽，即它們也會(huì)適用于m+1的后繼，以及后續(xù)的所有數(shù)）蝗肪，那么袜爪，如果n也擁有這些性質(zhì)，我們就可以說(shuō)m小于n薛闪。

這個(gè)定義實(shí)際上是在用性質(zhì)的比較來(lái)定義數(shù)的大小關(guān)系辛馆。它基于這樣一個(gè)假設(shè)：數(shù)的某些性質(zhì)是隨著數(shù)的增加而“遺傳”或保持的，因此豁延，如果一個(gè)數(shù)擁有另一個(gè)數(shù)的后繼的所有這些性質(zhì)昙篙，那么它就可以被認(rèn)為是更大的數(shù)。

簡(jiǎn)而言之诱咏，這個(gè)定義通過(guò)比較兩個(gè)數(shù)所擁有的遺傳性質(zhì)來(lái)定義它們之間的大小關(guān)系瓢对。

這里提到歸納數(shù)，并沒(méi)有限定包含0胰苏。但是羅素提到：
“假使無(wú)論何時(shí)一數(shù)"有一性質(zhì)，它的后繼n十1也有醇疼，則稱這性質(zhì)在自然數(shù)串中是“遺傳的”(hereditary)硕并。同樣,如n是一類中的一份子，n+1也是,則稱這類是“遺傳的”秧荆。
如果0有一個(gè)性質(zhì)倔毙，并且這性質(zhì)是遺傳的，則稱此性質(zhì)為“歸納的”乙濒。同樣,一個(gè)類如果是遺傳的,并且0是它的一分子,則稱這類是“歸納的”陕赃÷羊龋”
最后這句把包含0看作歸納性質(zhì)的定義。

遺傳性質(zhì)么库，和對(duì)于直接前趨這個(gè)關(guān)系而言某個(gè)數(shù)的后代指的是大于這個(gè)數(shù)的數(shù)傻丝。
對(duì)于一個(gè)數(shù)其直接前趨的關(guān)系，作為后繼關(guān)系的逆關(guān)系诉儒，指的是包含這個(gè)數(shù)的所有遺傳類所共有的項(xiàng)葡缰。是一種基于所有類做共有項(xiàng)的析取。這里是對(duì)于為外延所定義的類的處理（共有項(xiàng)的析取忱反，得到的項(xiàng)重新構(gòu)成一個(gè)新的基于外延所定義的類）泛释。
而遺傳性質(zhì)，是對(duì)基于內(nèi)涵所定義的諸類温算，對(duì)于它們?cè)谥T內(nèi)涵之間做共有的內(nèi)涵的析取怜校，得到一個(gè)新的基于內(nèi)涵所定義的類。
“n擁有m的后繼所擁有的每一個(gè)遺傳性質(zhì)注竿∏炎拢” 這里的性質(zhì)指什么樣的東西呢？比如蔓搞，m的后繼所擁有的遺傳性質(zhì)包括m>m-1胰丁、m>m-2。由于后者蘊(yùn)含于前者中（只要前者成立喂分，后者總是成立）锦庸，只要指出前者就夠了。m的后繼所擁有的所有遺傳性質(zhì)蒲祈，就是大于m甘萧。這恰好用作對(duì)于作為比m大的n的定義。

回到這句話：所謂一個(gè)歸納數(shù)m小于另一數(shù)n梆掸，即是n具有m的后繼所具有的一切遺傳的性質(zhì)扬卷。
n具有m的后繼所具有的一切遺傳的性質(zhì)，m的后繼是m+1酸钦，n具有m+1的所有遺傳性質(zhì)怪得，即它大于m。n可以是m+1或是m的后繼卑硫。這里指出的是n大于等于m+1這個(gè)規(guī)定或定義徒恋，它就是n大于m。兩個(gè)句子談的是相同的東西欢伏。