第二講三維空間的剛體運(yùn)動課后題

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第二講三維空間的剛體運(yùn)動

1价说、熟悉 Eigen 矩陣運(yùn)算

設(shè)線性?程 $Ax = b$ 棵磷，在 A 為?陣的前提下歹啼，請回答以下問題：

1.1 在什么條件下玄渗，x 有解且唯?？

答案：非齊次線性方程組有唯一解的充要條件是 rank(A)=n狸眼。

1.2 ?斯消元法的原理是什么藤树？

答案：最基本的那種求方程解的方法，就是對矩陣進(jìn)行行變換拓萌。

1.3 QR 分解的原理是什么岁钓？

答案：在了解 $QR$ 分解之前，先了解一下Gram-Schmidt正交化：

存在可逆矩陣 $A$ 的列向量組 $(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,...,\alpha_n)$ 經(jīng)過正交化之后可以得到：
$\varepsilon_1 =\frac{\beta_1} {\begin{Vmatrix} \beta_1 \end{Vmatrix}} = t_{11}\alpha_1 \\ \varepsilon_2 =\frac{\beta_2} {\begin{Vmatrix} \beta_2\end{Vmatrix}} = t_{11}\alpha_1 + t_{22}\alpha_2 \\ \vdots \\ \varepsilon_1 =\frac{\beta_{j}} {\begin{Vmatrix} \beta_j\end{Vmatrix}} = t_{1j}\alpha_1 + t_{2j}\alpha_2 + \dots + t_{jj}\alpha_j$
把上述式子使用矩陣表示就可以得到下面的定義

對于物理意義，有時(shí)候不是那么重要屡限，知道是這種數(shù)學(xué)表達(dá)就可以了品嚣。

定義：對于n階方陣A，若存在正交矩陣Q和上三角矩陣R钧大，使得 $A = QR$ 翰撑，則該式稱為矩陣A的完全QR分解或正交三角分解。(對于可逆矩陣A存在完全QR分解)拓型。
$(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3,...,\varepsilon_j) = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,...,\alpha_n) \begin{pmatrix} t_{11}&\dots&t_{1n}\\ &\ddots&\vdots\\ 0&&t_{nn}\\ \end{pmatrix}$
$QR$ 基于我們熟悉的Gram-Schmidt正交化额嘿，令:

$A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,...,\alpha_n)\\ T = (t_{ij})\\ Q = (\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3,...,\varepsilon_j)$

由此有 $Q=AT$ 若記 $R=T^{-1}$ ，則此時(shí) $A=QR$ 劣挫。其中 $Q$ 是由Gram-Schmidt正交化得到的標(biāo)準(zhǔn)的正交基册养。

1.4 Cholesky 分解的原理是什么？

可以閱讀Cholesky分解維基百科獲取更加詳細(xì)的解釋压固，下面只是為了便于理解而簡單的進(jìn)行說明球拦。

直接先說Cholesky 分解是用于求解 $Ax=b$ 這個(gè)方程，然后具有等式：

$A = LL^T$

從式子可以看到就和代數(shù)的平方一樣的效果帐我，常用在優(yōu)化里面作為誤差坎炼；另外這個(gè)分解方法的優(yōu)點(diǎn)是提高代數(shù)運(yùn)算效率（矩陣求逆）、蒙特卡羅方法等場合中十分有用拦键。

其中 $A$ 是一個(gè) $n$ 階厄米特正定矩陣(Hermitian positive-definite matrix)谣光， $L$ 是下三角矩陣。下面介紹推導(dǎo)過程：

所以我們的目的是為了求 $L$ 矩陣芬为，算法由 $i:=1$ 開始萄金，令：

$A^{(1)}:=A$

在步驟 $i$ 中，矩陣 $A^{(i)}$ 的形式如下：

$A^{(i)} = \begin{pmatrix} I_{i-1}&0&0\\ 0&\alpha_{i,j}&b_{i}^*\\ 0&b_i&B^{i}\\ \end{pmatrix}$

其中 $b_i^{*}$ 表示 $b_i$ 的共軛轉(zhuǎn)置媚朦，若 $b$ 是實(shí)數(shù)矩陣氧敢， $b_i^{*}$ 就是轉(zhuǎn)置； $I_{i-1}$ 代表 $i-1$ 維的單位矩陣询张。此時(shí) $L_i$ 定義為：
$L_i := \begin{pmatrix} I_{i-1}&0&0\\ 0&\sqrt{\alpha_{i,j}}&0\\ 0&\frac{1}{\sqrt{a_{i,j}}}b_i&I_{n-1}\\ \end{pmatrix}$
只有可以將矩陣 $A^{(i)}$ 改寫為：

$A^{(i)} = L_{i}A^{(i+1)}L_i^{*}$

我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)和我們熟悉的的特征值分解結(jié)構(gòu)相似 $Q \Lambda Q$ ,接下來可以得到 $A^{(i+1)}$ 的形式：
$A^{(i+1)} = \begin{pmatrix} I_{i-1}&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&B^{(i)}-\frac{1}{a_{i,j}}b_ib_i^{*} \end{pmatrix}$

需要注意的是這里的 $b_{i}b_{i}^{*}$ 是一個(gè)外積孙乖。

重復(fù)此步驟，直到 $i$ 從1到 $n$ 份氧。 $n$ 步之后唯袄，我們可以得到 $A^{(n+1)} = I$ 。因此下三角矩陣 $L$ 為：

$L := L_1L_2\dots L_n$

1.5 編程實(shí)現(xiàn) A 為 100×100 隨機(jī)矩陣時(shí)蜗帜，? QR 和 Cholesky 分解求 x 的程序越妈。你可以參考本次課 ?到的 useEigen 例程。

#include <iostream>

using namespace std;

#include <ctime>

// Eigen 部分
#include <Eigen/Core>
// 稠密矩陣的代數(shù)運(yùn)算（逆钮糖，特征值等）
#include <Eigen/Dense>

#define MATRIX_SIZE 100


int main( int argc, char** argv )

{

    // 解方程
    // 我們求解 matrix_NN * x = v_Nd 這個(gè)方程
    // N的大小在前邊的宏里定義，它由隨機(jī)數(shù)生成
    // 直接求逆自然是最直接的，但是求逆運(yùn)算量大
    
    cout <<"---解方程---"<<endl;
    clock_t time_stt = clock(); // 計(jì)時(shí)
    Eigen::Matrix< double, Eigen::Dynamic, Eigen::Dynamic > matrix_Dy;
    Eigen::Matrix< double, Eigen::Dynamic,  1> v_Nd;
    Eigen::Matrix< double, Eigen::Dynamic,  1> x;
    matrix_Dy = Eigen::MatrixXd::Random( MATRIX_SIZE, MATRIX_SIZE );
    matrix_Dy=matrix_Dy.transpose()*matrix_Dy;       //喬利斯基分解需要正定矩陣
    
    // 求逆
    
    v_Nd = Eigen::MatrixXd::Random( MATRIX_SIZE, 1 );
    x = matrix_Dy.inverse()*v_Nd;
    cout<<x[0]<<endl;
    cout <<"time use in normal inverse is " << 1000* (clock() - time_stt)/(double)CLOCKS_PER_SEC << "ms"<< endl;


    // Cholesky 

    time_stt = clock();
    x = matrix_Dy.ldlt().solve(v_Nd);
    cout << x[0] << endl;
    cout <<"time use in Cholesky decomposition is " <<1000*  (clock() - time_stt)/(double)CLOCKS_PER_SEC <<"ms" << endl;

    // QR/Lu
    
    time_stt = clock();
    x = matrix_Dy.colPivHouseholderQr().solve(v_Nd);
    cout << x[0] << endl;
    x = matrix_Dy.fullPivLu().solve(v_Nd);
    cout << x[0] << endl;
    cout <<"time use in Qr decomposition is " <<1000*  (clock() - time_stt)/(double)CLOCKS_PER_SEC <<"ms" << endl;

    return 0;
}

2店归、幾何運(yùn)算練習(xí)

設(shè)有?蘿?1?號和?蘿??號位于世界坐標(biāo)系中阎抒。?蘿??號的位姿為： $q1 = [0.55,0.3,0.2,0.2]$ , $t1 = [0.7,1.1,0.2]^T$ （ $q$ 的第?項(xiàng)為實(shí)部）。這?的 $q$ 和 $t$ 表達(dá)的是 $T_{cw}$ 消痛，也就是世界到相機(jī)的變換關(guān)系且叁。?蘿? ?號的位姿為 $q_2 = [?0.1,0.3,?0.7,0.2]$ , $t_2 = [?0.1,0.4,0.8]^T$ 。現(xiàn)在秩伞，?蘿??號看到某個(gè)點(diǎn)在??的坐標(biāo)系下逞带，坐標(biāo)為 $p_1 = [0.5,?0.1,0.2]^T$ ，求該向量在?蘿??號坐標(biāo)系下的坐標(biāo)纱新。請編程實(shí)現(xiàn)此事展氓，并提交你的程序。

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>

int main ( int argc, char** argv )

{
    Eigen::Isometry3d Tcw1= Eigen::Isometry3d::Identity();                
    Eigen::Isometry3d Tcw2= Eigen::Isometry3d::Identity();              

    Eigen::Quaterniond q1(0.55,0.3,0.2,0.2);//定義四元數(shù)Q1
    Eigen::Quaterniond q2(-0.1,0.3,-0.7,0.2);

    cout<<"quaternion q1 = \n"<<q1.coeffs() <<endl;  // 請注意coeffs的順序是(x,y,z,w),w為實(shí)部脸爱，前三者為虛部

    cout<<"quaternion q2 = \n"<<q2.coeffs() <<endl;   

    Eigen::Matrix<double, 3, 1> t1(0.7, 1.1, 0.2 );
    Eigen::Matrix<double, 3, 1> t2(-0.1, 0.4, 0.8 );

    Eigen::Matrix< double, 3, 1 > p1c(0.5, -0.1, 0.2);
    Eigen::Matrix< double, 3, 1 > p1w;
    Eigen::Matrix< double, 3, 1 > p2c;


    q1 = q1.normalized();
    q2 = q2.normalized();

    Tcw1.rotate ( q1.toRotationMatrix() );       // 按照rotation_vector進(jìn)行旋轉(zhuǎn)
    Tcw1.pretranslate (t1);                     // 平移向量
    cout << " Tcw1 Transform matrix = \n" << Tcw1.matrix() <<endl;

    Tcw2.rotate ( q2.toRotationMatrix() );     // 按照rotation_vector進(jìn)行旋轉(zhuǎn)
    Tcw2.pretranslate (t2);                     // 平移向量
    cout << "Tcw2 Transform matrix = \n" << Tcw2.matrix() <<endl;

    p1w = Tcw1.inverse()*p1c;
    p2c = Tcw2*p1w;
    cout << "p2c = \n" << p2c.matrix() <<endl;

    return 0;
}

3遇汞、旋轉(zhuǎn)的表達(dá)

課程中提到了旋轉(zhuǎn)可以?旋轉(zhuǎn)矩陣、旋轉(zhuǎn)向量與四元數(shù)表達(dá)簿废，其中旋轉(zhuǎn)矩陣與四元數(shù)是?常應(yīng)?中常見的表達(dá)?式空入。請根據(jù)課件知識，完成下述內(nèi)容的證明族檬。

3.1 設(shè)有旋轉(zhuǎn)矩陣 $R$ 歪赢，證明 $R^TR = I$ 且 $det R = +1^2$

3.1.1 正交矩陣性質(zhì)：

正交矩陣的每一個(gè)列向量都是單位向量，且向量之間兩兩正交单料。
正交矩陣的行列式為1或者-1.
$A^-1 = A^T$ (充要條件)

3.1.2 證明旋轉(zhuǎn)矩陣是正交矩陣且行列式為1

首先我們令空間的一個(gè)位置 $x_i$ 經(jīng)過旋轉(zhuǎn) $R$ 和一次平移 $t$ 之后得到新的位置 $x_i^\prime$ :
$x_i\prime = Rx_i+t$
對于每一個(gè) $i=1,\dots,n$ 有：
$x_i = \begin{pmatrix} x_i\\ y_i\\ z_i \end{pmatrix}$
需要注意的是旋轉(zhuǎn)之后平移與平移之后旋轉(zhuǎn)是不同的例如：
$x\prime = R(x+s) = Rx+Rs = Rx + t\\ t = Rs$
由于旋轉(zhuǎn)矩陣可以對任意形式的（列）向量組和進(jìn)行變換埋凯，這里我們考慮沿著 $x，y和z$ 軸變換的情況看尼，也就是笛卡爾坐標(biāo)系上進(jìn)行變換：
$R\begin{pmatrix} x&y&z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} R_{11}&R_{12}&R_{13}\\ R_{21}&R_{22}&R_{23}\\ R_{31}&R_{32}&R_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r_1&r_2&r_3 \end{pmatrix}$
因?yàn)橐婚_始的（列）向量組 $\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}$ 是正交的递鹉，并且是單位向量；所以最后的結(jié)果 $\begin{pmatrix}r_1&r_2&r_3\end{pmatrix}$ 一定也是正交的單位向量組藏斩，然后一起組成了旋轉(zhuǎn)向量 $R$ 躏结。

之后考慮 $R$ 的轉(zhuǎn)置 $R^T$ :
$R^TR = \begin{pmatrix} r_1^T\\ r_2^T\\ r_3^T \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r_1 r_2 r_3 \end{pmatrix}$
因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=r_1%2Cr_2%E5%92%8Cr_3" alt="r_1,r_2和r_3" mathimg="1">都是單位向量并且相互正交，也就是 $r_1\cdot r_1 = 1, r_1 \cdot r_2 = 0$ ,因此：
$R^TR = \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}$
由此可以得到 $R^T = R^{-1}$ 狰域，即證旋轉(zhuǎn)矩陣是正交的媳拴。

對于行列式，我們知道矩陣的行列式是向量的混合積: $r_1 \cdot (r_2 \times r_3)$ 兆览。這也表示以這些向量為邊構(gòu)成的平行六面體的體積屈溉。

由前面的結(jié)果可以得到 $R$ 是正交矩陣，因此行列式為 +1或者-1抬探；

emmm 看了很多解釋子巾，我覺得都不是很清除[Rotations and rotation matrices][ 2 ]帆赢，所以還是來算一下吧，具體看下面三種形式的旋轉(zhuǎn)矩陣：

image-20200403185756164

簡單的計(jì)算一下线梗，例如 $R_x(a)$ 按照第一行展開：
$det(R_x(a)) = 1 * \big((cos \alpha) ^2 + (sin \alpha)^2 \big) == 1$

3.2 設(shè)有四元數(shù) $q$ 椰于，我們把虛部記為 $\varepsilon$ ，實(shí)部記為 $\eta$ 仪搔，那么 $q = (\varepsilon,\eta)$ 瘾婿。請說明 $\varepsilon$ 和 $\eta$ 的維度[gaoxiang-cnblogs][3]

$q = [\varepsilon, \eta], \ \ \varepsilon = q_o \in R, \ \ \eta=\begin{pmatrix} q_1,q_2,q_3\end{pmatrix} \in R^3$

3.3 四元數(shù)運(yùn)算總結(jié)：

這里可以簡單的擴(kuò)展一下四元數(shù)相關(guān)的知識:

一個(gè)四元數(shù)可以寫成如下形式：
$q = \begin{pmatrix} a+id&-b-ic\\ b-ic&a-id \end{pmatrix} = aI +\ bi + \ cj + \ dk$
其中：
$I = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}, \ i = \begin{pmatrix} 0&-1\\ 1&0 \end{pmatrix}, \ j = \begin{pmatrix} 0&-i\\ -i&0 \end{pmatrix}, \ k = \begin{pmatrix} i&0\\ 0&i \end{pmatrix}$

這樣子我們就可以得到四元數(shù)的一些性質(zhì)：
$\begin{cases} \begin{equation} \begin{aligned} &j^2 = k^2 = -1 \\ \\&ij = k, jk = i, ki = j\\ \\&ji = -k, kj = -i, ik = -j \end{aligned} \end{equation} \end{cases}$
對于四元數(shù)的運(yùn)算（加法、乘法烤咧、共軛偏陪、模）有：
$\begin{cases} \begin{equation} \begin{aligned} & q = [\varepsilon, \eta], \ \ \varepsilon = q_o \in R, \ \ \eta=\begin{pmatrix} q_1,q_2,q_3\end{pmatrix} \in R^3 \\ \\& p + q = [\varepsilon_p + \varepsilon_q, \eta_p + \eta_q] \\ \\& pq = [\varepsilon_p, \eta_p][\varepsilon_q, \eta_q] = [\varepsilon_p\varepsilon_q - \eta_p \cdot \eta_q , \ \varepsilon_p \eta_q + \varepsilon_q \eta_p + \eta_p \times \eta_q] \\ \\&p \cdot q = p_0q_0 + p_1q_1i + p_2q_2j + p_3q_3k \\ \\& \overline p =[\varepsilon_p, -\eta_p] \\ \\ & \mid q \mid = \mid [s, v] \ \mid = \sqrt{s^2 + \mid v \ \mid ^2} \end{aligned} \end{equation} \end{cases}$

所以對于 $p q$ 是指四元數(shù)每個(gè)位置上的數(shù)值分別相乘經(jīng)過一頓操作可以寫成上面的式子的簡潔形式注意與點(diǎn)乘區(qū)分。

其中：
$\eta_p \times \eta_q = \begin{vmatrix} i&j&k\\ p_1&p_2&p_3\\ q_1&q_2&q_3 \end{vmatrix}$
$\eta_p \cdot \eta_q = p_1q_1 + p_2q_2 + p_3q_3$

4煮嫌、羅德里格斯公式的證明

參考： https://en.wikipedia.org/wiki/Rodrigues%27_rotation_formula

羅德里格斯公式提供了一種算法笛谦，可以計(jì)算從 $so(3)$ （ $SO(3)$ 的李代數(shù)）到 $SO(3)$ 的指數(shù)映射，而無需實(shí)際計(jì)算完整矩陣指數(shù)立膛。令 $v\in R^3$ 然后 $k$ 是一個(gè)單位向量揪罕，描述了根據(jù)右手定則圍繞其旋轉(zhuǎn)角度θ的旋轉(zhuǎn)軸，例如 $\begin{bmatrix}1 \ 0 \ 0\end{bmatrix}^T \ \begin{bmatrix}0 \ 1 \ 0\end{bmatrix}^T \ \begin{bmatrix}0\ 0\ 1 \end{bmatrix}^T$ 宝泵，那么旋轉(zhuǎn)向量 $v_{rot}$ 的羅德里格斯公式的形式如下：
$v_{rot} = v cos\theta + (k \times v)sin\theta + k(k\cdot v)(1-cos\theta)$
首先好啰，使用點(diǎn)積和叉積，向量 $v$ 可以分為與軸 $k$ 平行和垂直的分量：

$v = v_{\parallel } + v_{\perp}$

其中與 $k$ 平行的分量為： $v_{\parallel} = (v \cdot k)k$

垂直于 $k$ 的分量是 $v$ 在 $k$ 上的向量投影： $v_{\perp} = v - v_{\parallel} = v - (k \cdot v)k = -k \times (k \times v)$

向量 $k \times v$ 可以看作是 $v_{\perp}$ 的副本儿奶，逆時(shí)針繞 $k$ 旋轉(zhuǎn)了 $90°$ 框往，因此它們的大小相等，但方向垂直闯捎。

同理可得椰弊，向量 $k \times（k \times v）$ 是將 $v$ 的副本繞 $k$ 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到180°，因此 $k \times（k \times v）$ 和 $v_⊥$ 的大小相等瓤鼻，但方向相反秉版，所以是負(fù)號。

展開向量三乘積（ vector triple product ）可建立平行分量和垂直分量之間的連接茬祷，給定任何三個(gè)向量 $a清焕，b，c$ 公式的公式為 $a\times(b \times c)=(a \cdot c)b ?(a \cdot b)c$ 祭犯。

平行于軸的分量在旋轉(zhuǎn)下不會改變大小或方向: $v_{\parallel rot} = v_{\parallel}$

只有垂直分量會改變方向秸妥，但保持其大小:
$\begin{cases} \mid v_{\perp rot} \mid = \mid v_{\perp} \mid, \\ \\ v_{\perp rot} = cos \theta v_{\perp} + sin \theta k \ \times \ v_{\perp} \end{cases}$
由于 $k \ \text{and} \ v_{\parallel}$ 是平行的，因此他們的叉積為0：
$\begin{cases} k \ \times \ v_{\perp} = k \ \times \ (v - v_{\parallel}) = k \ \times \ v - k \ \times v_{\parallel} = k \times v \\ \\ v_{\perp rot} = cos \theta v_{\perp} + sin \theta k \times v \end{cases}$
旋轉(zhuǎn)分量的形式類似于笛卡爾基礎(chǔ)上二維平面極坐標(biāo) $（r沃粗，θ）$ 中的徑向矢量:
$r = rcos\theta e_x + rsin\theta e_y$
其中 $ex粥惧，ey$ 是其指示方向上的單位向量。

現(xiàn)在完整的旋轉(zhuǎn)向量為：
$v_{rot} = v_{\parallel rot} + v_{\perp rot}$
通過將 $v_{∥rot}$ 和 $v_{⊥rot}$ 的定義代入等式最盅，得出:
$\begin{equation} \begin{aligned} v_rot &= v_{\parallel} + cos \theta v_{\perp} + sin\theta \ (k \times v) \\ &= v_{\parallel} + cos\theta ({v - v_{\parallel}}) + sin\theta \ (k \times v ) \\ &= cos \theta v + (1-cos \theta)v_{\parallel} + sin \theta \ (k \times v) \\ &= cos \theta v + (1-cos \theta)(k \cdot v)k + sin \theta \ (k \times v) \end{aligned} \end{equation}$

參考鏈接：

https://www.cnblogs.com/indulge-code/p/10492209.html "東電逸仙-cnblog"
https://onlinelibrary.wiley.com/doi/pdf/10.1107/S0907444901012410 "Rotations and rotation matrices"
https://www.cnblogs.com/gaoxiang12/p/5120175.html " gaoxiang-cnblogs"

?著作權(quán)歸作者所有,轉(zhuǎn)載或內(nèi)容合作請聯(lián)系作者

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?日本核電站爆炸內(nèi)幕
正文年R本政府宣布蝉娜，位于F島的核電站，受9級特大地震影響扎唾，放射性物質(zhì)發(fā)生泄漏召川。R本人自食惡果不足惜，卻給世界環(huán)境...
茶點(diǎn)故事閱讀 39,351評論 3贊 307
男人毒藥：我在死后第九天來索命
文/蒙蒙一稽屏、第九天我趴在偏房一處隱蔽的房頂上張望扮宠。院中可真熱鬧，春花似錦狐榔、人聲如沸坛增。這莊子的主人今日做“春日...
開封第一講書人閱讀 30,352評論 0贊 19
一樁弒父案薄腻，背后竟有這般陰謀
文/蒼蘭香墨我抬頭看了看天上的太陽收捣。三九已至，卻和暖如春庵楷，著一層夾襖步出監(jiān)牢的瞬間罢艾，已是汗流浹背。一陣腳步聲響...
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情欲美人皮
我被黑心中介騙來泰國打工尽纽，沒想到剛下飛機(jī)就差點(diǎn)兒被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留咐蚯，地道東北人。一個(gè)月前我還...
沈念sama閱讀 45,618評論 2贊 355
代替公主和親
正文我出身青樓弄贿，卻偏偏與公主長得像春锋，于是被迫代替她去往敵國和親。傳聞我的和親對象是個(gè)殘疾皇子差凹，可洞房花燭夜當(dāng)晚...
茶點(diǎn)故事閱讀 42,916評論 2贊 344

第二講 三維空間的剛體運(yùn)動課后題