? ? ? ? 數(shù)學(xué)缎浇，這個(gè)我們從小就學(xué)的學(xué)科检号。在90后的小學(xué)印象中，語文和數(shù)學(xué)是并重的學(xué)科依痊。前者是生活必備的語言避除，后者是邏輯基礎(chǔ)的工具。
? ? ? ? 我們或許并不知道數(shù)的概念從什么時(shí)候開始的胸嘁。我們甚至不知道數(shù)學(xué)起源于文明的崛起還是人類意識中感性經(jīng)驗(yàn)自帶的邏輯基礎(chǔ)瓶摆。
? ? ? ? 結(jié)繩計(jì)數(shù)是考證最早人類有關(guān)數(shù)學(xué)工具的應(yīng)用。這是一種多么簡潔明了的數(shù)學(xué)表達(dá)形式性宏。
? ? ? ? 人類從一開始總是對自然世界抱有古樸的觀念群井。比如神造人，天圓地方毫胜，物質(zhì)可無限細(xì)分蝌借。這些古樸的思想體現(xiàn)在數(shù)學(xué)上就是樸素整數(shù)觀。
? ? ? ? 古人更愿意相信整數(shù)可以代表自然界所有的事物指蚁。直到畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)直角三角形的勾股定理后，人類對數(shù)字的認(rèn)識才第一次有顛覆性的變革自晰。
? ? ? ? 對于一個(gè)直邊長為1的等腰直角三角形凝化，它的斜邊長就是根2，可是人們在計(jì)算根2的具體數(shù)值時(shí)卻狂躁了酬荞，發(fā)現(xiàn)這個(gè)數(shù)居然可以很長很長搓劫，不管你計(jì)算多久瞧哟，它好像都沒完沒了了，這就是人類發(fā)現(xiàn)的第一個(gè)無理數(shù)枪向。
? ? ? ? 在畢達(dá)哥拉斯之前的古希臘哲學(xué)中勤揩，整數(shù)代表了自然的和諧整潔之美。根2的出現(xiàn)無疑讓自然的潔簡之美破碎了秘蛔。
? ? ? ? 古人開始研究起了無理數(shù)陨亡，不再局限于整數(shù)的桎梏。對無理數(shù)的研究也讓人類第一次思考無窮的概念深员。比如一條線段無限分负蠕，總有一段是無理數(shù)式的長度。
? ? ? ? 在此期間倦畅，芝諾還提出來四大悖論遮糖，簡稱芝諾悖論。
? ? ? 其中以芝諾的烏龜尤為著名叠赐。你不可能追上一只烏龜欲账，即便你是博爾特也不行。因?yàn)槟阍谧窞觚數(shù)臅r(shí)候總是要先追上烏龜行進(jìn)路程的一半芭概，當(dāng)你追上這一半時(shí)赛不，烏龜又前進(jìn)了一部分，你又得追上新路程的一半谈山，至此你將陷入到烏龜路程一半的漩渦中無法逃脫俄删。
? ? ? ? 可是這樣的結(jié)果卻與事實(shí)大相徑庭。正是由于這樣的悖論存在奏路，人類才不得不思考無窮的概念和意義畴椰。
? ? ? ? 現(xiàn)在我們一眼就看出芝諾悖論的弊端。對線段的無窮二分勢必需要無窮的時(shí)間鸽粉，而運(yùn)動(dòng)員的時(shí)間是有限的斜脂，我們不能在有限的時(shí)間內(nèi)做出無限多的事情，那么在追擊烏龜時(shí)触机，就不會(huì)陷入到烏龜路程的一半的邏輯漏洞中帚戳。
? ? ? ? 對無理數(shù)和無窮概念的研究和拓展成功的化解了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，人類開始探究新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域儡首。
? ? ? ? 就這樣整個(gè)數(shù)學(xué)基廈安穩(wěn)的度過了2000余年片任，直到牛頓。我們知道微積分是牛頓和萊布尼茨奠基起來的蔬胯。有了微積分后对供，那時(shí)的人們可以解決許多前所未有的問題，比如精確測量邊界曲折的土地面積，也可以出測量一條曲線的長度产场。
? ? ? ? 微積分的基礎(chǔ)思想就是無限細(xì)分再整合鹅髓。微積分中總是出現(xiàn)無限逼近的概念。比如無限小和0的區(qū)別京景，當(dāng)時(shí)的人們在某種情況下直接將無限小當(dāng)做0來使用窿冯，但卻不知其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)意義。
? ? ? ? 牛頓時(shí)代的人們還不能徹底搞清楚微分确徙、積分醒串、導(dǎo)數(shù)的內(nèi)在意義。
? ? ? ? 比如我們計(jì)算一條曲線的某點(diǎn)切線斜率米愿，我們可以在這點(diǎn)附近取個(gè)邊長都無限小的直角三角形等效替代厦凤，取而代之的是這個(gè)直角三角形的斜邊斜率。
? ? ? ? 而當(dāng)時(shí)的人們總是心里有道杠育苟，人們認(rèn)為即便直角的邊長再怎么小较鼓，它們的比值也不過是這個(gè)直角三角形斜邊的斜率。怎么能把這條斜邊的斜率直接等同于曲線這點(diǎn)的切線斜率呢违柏？理論上曲線某點(diǎn)的切線不是這個(gè)直角三角形的斜邊博烂，所以不能劃等號！
? ? ? ? 其實(shí)牛頓時(shí)代的人們搞混了導(dǎo)數(shù)和微分的區(qū)別漱竖。曲線a點(diǎn)周圍的直角三角型(直角邊無限小)斜邊的斜率只是無限逼近a點(diǎn)切線的斜率禽篱。就相當(dāng)無窮小無限逼近0，我們要的不是不窮小馍惹，我們要的是0躺率。同樣地，我們要的不是這個(gè)直角三角形斜邊無限逼近某數(shù)值的斜率万矾，我們要的是a點(diǎn)切線的斜率悼吱。而我們明知道直角三角形的斜邊上限或下限無限逼近數(shù)值b，而直角三角形的斜邊也同樣上限或下限無限逼近曲線a點(diǎn)切線的斜率良狈。那么我們就可以認(rèn)定：曲線a點(diǎn)的切線斜率就是直角三角形斜邊無限逼近的那個(gè)數(shù)值后添，也就是b。
? ? ? ? 舉個(gè)很簡單的例子薪丁，現(xiàn)在有兩個(gè)土豪分別是土豪甲和土豪乙遇西。
? ? ? ? 我們能知道土豪乙的資產(chǎn)數(shù)量，但是卻不知道土豪甲的資產(chǎn)严嗜。而土豪甲說：土豪乙的資產(chǎn)總是無限逼近我粱檀，而不能達(dá)到我的資產(chǎn)。
? ? ? ? 而土豪乙說漫玄，我的資產(chǎn)很難計(jì)算茄蚯，大概是9999萬99999999......元，反正就是無限逼近一億。那么我們可以直接得出：土豪甲的資產(chǎn)就是一億第队。
? ? ? ? 而第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，就在于對微積分理解的偏差上刨秆。
? ? ? ? 第二次數(shù)學(xué)到第三次數(shù)學(xué)危機(jī)相隔也就200余年凳谦。
? ? ? ? 第三次數(shù)學(xué)危機(jī)是人們對集合論的懷疑，起始于1897福爾蒂發(fā)現(xiàn)的集合論悖論衡未，再到康托發(fā)現(xiàn)第二個(gè)悖論尸执，直到羅素提出了“羅素悖論”，才將對集合論的質(zhì)疑發(fā)展到了極致缓醋。
? ? ? ? 也以羅素悖論最為出名如失。在羅素悖論中，一個(gè)牛逼哄哄的理發(fā)師在門店前寫了一句廣告詞：“自己技術(shù)精湛送粱，會(huì)給所有不能給自己理發(fā)的人理發(fā)褪贵，滿足各種挑剔的需求，大家都來我這理發(fā)吧抗俄！”脆丁。
? ? ? ? 那么問題來了，這個(gè)理發(fā)師會(huì)給自己理發(fā)嗎动雹？如果理了槽卫，那么就不是宣傳的那樣：只給不能給自己理發(fā)的人理發(fā)了。如果理發(fā)師不給自己理發(fā)胰蝠，那么他又違背了廣告詞：只給不能自己理發(fā)的人理發(fā)歼培。
羅素
? ? ? ? 很多人說羅素悖論只是對集合定義的一種詭辯而已∪兹可是到現(xiàn)在都沒有人能完美解決這一所謂的詭辯躲庄。
? ? ? ? 羅素悖論更像是哲學(xué)的本體論，從而劃分出來了唯心和唯物主義翔横。我們從本體論的角度側(cè)面解讀一下羅素悖論读跷。
? ? ? ? 如果我是主觀唯心主義，我說世界只是我的表象禾唁，大千世界只是我意識幻想出來供我享樂的“虛假場所”效览。
? ? ? ? 那么問題來了，“我”的概念也是意識幻想出來的假象嗎荡短？如果是丐枉，那么“我對“我”的概念質(zhì)疑的思想”也是意識幻想出來的嗎？如果還是掘托，那么“我對“我疑我的思想”的質(zhì)疑”也是意識幻想的了......如果還是瘦锹，那么我的意識主動(dòng)性還存在嗎？意識本體在哪里？難不成我的前一秒意識幻想出我的后一秒意識嗎弯院？好像我一思考自己的意識辱士，意識本體就在自動(dòng)后退，從而完美規(guī)避了我的意識被自己意識听绳。那么你的意識到底是什么颂碘，它還存在嗎？如果你的意識存在椅挣，請你解釋剛才的矛盾头岔。如果你的意識不存在，那么世界就不是你宣稱的唯心主義了鼠证，這不和你起初自稱唯心的口號矛盾了峡竣。
? ? ? 羅素悖論，就很像這個(gè)問題量九，總是首先把自己置身事外适掰，而換個(gè)角度看自己又處于事物之中。那么自己到底在事物之中還是事物之外呢娩鹉？
