以下方案基于將三維立方體堆疊數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為二維平面數(shù)據(jù)些侍，最終構(gòu)成的是尖朝上六邊形地圖。邊朝上六邊形地圖也可得出相似的推論政模。
一切的想法源自一張立體圖：
上圖中岗宣，每個(gè)正方體在屏幕上的投影，都是一個(gè)正六邊形览徒。所以逆向思考，可以認(rèn)為六邊形地圖中的每個(gè)六邊形颂龙，都是一個(gè)立方體习蓬。 基于此纽什，我們便可以開始進(jìn)行六邊形地圖方案的設(shè)計(jì)與推演。 設(shè)計(jì)與推演的目的躲叼，是能夠找到巨象數(shù)據(jù)與抽象理論之間的關(guān)系芦缰，以協(xié)助我們通過計(jì)算機(jī)的形式去進(jìn)行計(jì)算。
坐標(biāo)系的建立
坐標(biāo)系的引入思路
既然我們已經(jīng)將每一個(gè)六邊形地圖巨象成為了一個(gè)立方體枫慷，那么我們就令這些立方體是邊長為1的立方體让蕾。基于此或听，我們便可以給每個(gè)立方體定義坐標(biāo)探孝，并建立坐標(biāo)系。
如上圖誉裆，建立三維坐標(biāo)系顿颅，其中我們定義藍(lán)色為X軸，綠色為Y軸足丢，紅色為Z軸粱腻。
基于三維坐標(biāo)系，我們便可以求出每個(gè)方塊的坐標(biāo)斩跌。比如在上圖中绍些，左下方塊即可定位為(5,0,0)，則右側(cè)方塊坐標(biāo)依次為(4,0,1)耀鸦、(3,0,2)柬批、(2,0,3)、(1,0,4)揭糕、(0,0,5)萝快。
坐標(biāo)系的確立
那么，讓我們將焦點(diǎn)聚焦到最基本的六邊形地圖轉(zhuǎn)換的立體圖上著角。
如上圖揪漩，我們可以理解為這是一張二維平面圖，每個(gè)六邊形格子可以用(x,y)的形式去表述吏口；同時(shí)也可以理解它是一個(gè)三維世界的二維投影奄容，每個(gè)立方體都可以用(x,y,z)的形式去表述。
那么产徊，針對(duì)上圖中所選立方體昂勒，我們將其坐標(biāo)設(shè)為(0,0,0)，而其代表的六邊形格子的坐標(biāo)則設(shè)定為(0,0)舟铜。直觀地戈盈，該點(diǎn)右側(cè)的六邊形二維坐標(biāo)為(0,1)，該立方體右側(cè)立方體的坐標(biāo)為(1,0,-1)。
基于此塘娶，應(yīng)用于生產(chǎn)環(huán)境的坐標(biāo)系得以確立归斤，下一步，就是推導(dǎo)該坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)規(guī)律刁岸。
坐標(biāo)系下的運(yùn)算法則
設(shè)某立方體坐標(biāo)為(0,0,0)脏里，那么根據(jù)圖例，我們可以推導(dǎo)出它周邊六個(gè)立方體的坐標(biāo)虹曙。
以點(diǎn) (0,0,0) 為基礎(chǔ)迫横，
左上角點(diǎn)坐標(biāo)為 (-1,1,0)，
右上角點(diǎn)坐標(biāo)為 (0,1,-1)酝碳，
右點(diǎn)坐標(biāo)為 (1,0,-1)矾踱，
右下角點(diǎn)坐標(biāo)為 (1,-1,0)，
左下角點(diǎn)坐標(biāo)為 (0,-1,1)击敌，
左點(diǎn)坐標(biāo)為 (-1,0,1)
(-1,1,0) (0,1,-1)
(-1,0,1) (0,0,0) (1,0,-1)
(0,-1,1) (1,-1,0)
當(dāng)我們推算出三維坐標(biāo)系下介返，原點(diǎn)周圍六個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)之后，便可以將這六個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為六個(gè)向量沃斤，分別表示指定的某個(gè)方塊周圍六個(gè)點(diǎn)的偏移向量圣蝎。
基于我們是由原點(diǎn)開始構(gòu)建坐標(biāo)系，且已獲取到六個(gè)方向的偏移向量衡瓶，可以得出以下結(jié)論：
結(jié)論1： 坐標(biāo)系中所有點(diǎn)的坐標(biāo)的x徘公、y、z三值之和為0哮针。
結(jié)論1推導(dǎo)：因坐標(biāo)系以(0,0,0)點(diǎn)開始关面，且各偏移向量的x、y十厢、z值之和為0等太，所以可推導(dǎo)出坐標(biāo)系中所有點(diǎn)的坐標(biāo)的x、y蛮放、z三值之和為0缩抡。
結(jié)論2： 設(shè)坐標(biāo)系中任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)差為(x,y,z)，則x+y+z=0成立包颁。
結(jié)論2推導(dǎo)：兩坐標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo)差可以理解為由A點(diǎn)到B點(diǎn)所經(jīng)過的變換瞻想。因該變換由六個(gè)方向的偏移向量組成，且六個(gè)偏移向量滿足x+y+z=0，所以該結(jié)論成立。
根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法楔壤，我們可以依據(jù)所有點(diǎn)（二維坐標(biāo)下的六邊形，三維坐標(biāo)下的方塊）的二維與三維坐標(biāo)格遭，求出他們相互之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系:
結(jié)論3： 設(shè)某點(diǎn)二維坐標(biāo)為(a,b)，三維坐標(biāo)為(x,y,z)椭盏，則對(duì)任意一點(diǎn)蚌斩，
存在三維轉(zhuǎn)二維運(yùn)算：a=x+(y>>1), b=y呵俏；
存在二維轉(zhuǎn)三維運(yùn)算：x=a-(b>>1), y=b, z=-x-y拴驮。
地圖常用的功能之一便是求取每個(gè)點(diǎn)之間的距離。因?yàn)槎S坐標(biāo)不便于我們求取距離柴信，所以我們優(yōu)先推算每個(gè)點(diǎn)在三維坐標(biāo)下距離的求取方式，之后再利用二維坐標(biāo)與三維坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系宽气，即可完成二維左標(biāo)下求取兩點(diǎn)距離的計(jì)算流程随常。
我們先拋出結(jié)論：
結(jié)論4： 設(shè)A點(diǎn)與B點(diǎn)三維坐標(biāo)差為(x,y,z)，則該坐標(biāo)差的本質(zhì)為6個(gè)偏移向量中的1-2個(gè)各放大不同倍數(shù)后疊加而成萄涯。
結(jié)論5： 設(shè)A點(diǎn)與B點(diǎn)三維坐標(biāo)差為(x,y,z)绪氛，則A點(diǎn)與B點(diǎn)的距離為x、y涝影、z中絕對(duì)值的最大值枣察。
我們先選擇一個(gè)點(diǎn)作為起始點(diǎn)。
之后我們?cè)龠x擇一個(gè)點(diǎn)作為目標(biāo)點(diǎn)燃逻。
從起始點(diǎn)到目標(biāo)點(diǎn)序目，可以有兩種路徑方案，如下圖實(shí)例：
兩種方案雖然行走路徑不同伯襟，但是距離相同猿涨。其本質(zhì)就是n個(gè)偏移向量的疊加。而由于六邊形地圖自身的性質(zhì)姆怪，構(gòu)成兩點(diǎn)之間路徑的偏移向量叛赚，只可能是單獨(dú)1個(gè)向量或相鄰的2個(gè)向量組合而成。
目光回到偏移向量稽揭，我們可以發(fā)現(xiàn)任意相鄰的2個(gè)向量存在一個(gè)坐標(biāo)具有相同的值俺附，所以結(jié)合兩點(diǎn)之間路徑的偏移向量的本質(zhì)，就可以得出結(jié)論5溪掀。
