課前導(dǎo)讀
概率論是研究大量試驗(yàn)后呈現(xiàn)出的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門理論强霎。
數(shù)學(xué)中研究大量的工具是極限。
因此這一章學(xué)習(xí)概率論中的極限定理蓉冈。
第一節(jié) 大數(shù)定律
隨著試驗(yàn)次數(shù)的增大城舞，事件的頻率逐步穩(wěn)定到事件的概率。意味著隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多寞酿，在某種收斂意義下家夺，頻率的極限是概率。大數(shù)定律解釋了這一結(jié)論伐弹。
首先介紹切比雪夫不等式拉馋。
一、切比雪夫(Chebyshev)不等式
隨機(jī)變量的取值總是圍繞著其期望變動(dòng)惨好，若
的分布已知時(shí)煌茴，可以計(jì)算事件
的概率。
切比雪夫不等式：
對(duì)切比雪夫不等式的直觀理解：方差越小日川，
當(dāng)隨機(jī)變量的分布未知時(shí)绰精，可由
的觀測(cè)數(shù)據(jù)估計(jì)得到
的期望和方差，然后使用切比雪夫不等式估計(jì)
關(guān)于
的偏離程度透葛。
二笨使、依概率收斂
隨機(jī)變量序列即由隨機(jī)變量構(gòu)成的一個(gè)序列。不能用類似定義數(shù)列極限的方式定義隨機(jī)變量序列的極限僚害，因?yàn)樾蛄兄械拿恳粋€(gè)元素是隨機(jī)變量硫椰，取值不確定，不可能和一個(gè)常數(shù)c的距離任意小萨蚕。
只能說(shuō)某個(gè)事件發(fā)生的頻率
收斂到
的概率
靶草。
依概率收斂的定義：
定理2：
三、大數(shù)定律
三個(gè)大數(shù)定律：切比雪夫大數(shù)定律岳遥、辛欽大數(shù)定律和伯努利大數(shù)定律奕翔。注意這三個(gè)大數(shù)定律的條件有何異同。
定理3 切比雪夫大數(shù)定律：
若隨機(jī)變量序列相互不相關(guān)浩蓉，方差存在且一致有上界派继，當(dāng)n充分大時(shí)，隨機(jī)序列的前n項(xiàng)的算術(shù)平均值和自身的期望充分接近幾乎總是發(fā)生的捻艳。
定理4 相互獨(dú)立同分布的大數(shù)定律（辛欽大數(shù)定律）：
辛欽大數(shù)定律為算術(shù)平均值法則提供了理論依據(jù)驾窟。
伯努利大數(shù)定律：
伯努利大數(shù)定律是相互獨(dú)立同分布大數(shù)定律的特例，限定分布為兩點(diǎn)分布认轨。
伯努利大數(shù)定律體現(xiàn)了：隨著試驗(yàn)次數(shù)的增大绅络，事件的頻率逐步穩(wěn)定到時(shí)間的概率，這里的穩(wěn)定即為依概率收斂嘁字。
伯努利大數(shù)定律的直觀意義：
試驗(yàn)次數(shù)足夠多恩急，可用頻率作為概率的估計(jì)。
三個(gè)大數(shù)定律的條件是不同的纪蜒，它們的條件關(guān)系如圖所示假栓。
大數(shù)定律在實(shí)際中有許多重要應(yīng)用，除了算術(shù)平均值法則霍掺、用頻率估計(jì)概率，還有數(shù)理統(tǒng)計(jì)中參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)思想等拌蜘。
第二節(jié) 中心極限定理
自然界中有許多隨機(jī)現(xiàn)象可以用正態(tài)分布或近似正態(tài)分布來(lái)描述杆烁，這是為何？中心極限定理揭示了其中的奧秘简卧。
中心極限定理是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和用正態(tài)分布近似的一類定理兔魂。首先介紹最為著名的相互獨(dú)立同分布情形下的中心極限定理，又稱為列維-林德伯格中心定理举娩。
**定理1 列維-林德伯格中心極限定理（相互獨(dú)立同分布）
定理的條件要求隨機(jī)變量相互獨(dú)立并且服從同一分布析校。
還有更為一般的結(jié)論：只要隨機(jī)變量相互獨(dú)立构罗，每個(gè)隨機(jī)變量對(duì)和的影響都是微笑的，哪怕它們的分布類型不同智玻，其和標(biāo)準(zhǔn)化后都有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)的極限分不遂唧。
中心極限定理的直觀意義：
中心極限定理在實(shí)際應(yīng)用中有如下三種形式：
定理2 （棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理）：二項(xiàng)分布的正態(tài)近似。
中心極限定理的結(jié)論更為細(xì)致：
中心極限定理是隨機(jī)變量和的分布收斂到正態(tài)分布的一類定理吊奢。不同的中心極限定理的差異就在于對(duì)隨機(jī)變量序列做出了不同的假設(shè)盖彭。
拓展閱讀
大數(shù)定律是保險(xiǎn)業(yè)保險(xiǎn)費(fèi)計(jì)算的科學(xué)理論基礎(chǔ)。當(dāng)承保標(biāo)的數(shù)量足夠大時(shí)页滚，由切比雪夫大數(shù)定律知召边，被保險(xiǎn)人繳納的純保費(fèi)與其能獲得賠款的期望值是相等的。
