上回我們說到解線性方程Ax=b南窗，需要先對系數(shù)矩陣A不斷乘初等變換矩陣直到出現(xiàn)上三角矩陣來達到消元的目的耙厚，我們以三階矩陣為例渠缕，在不交換行的情況下勾哩，消元過程可表示為
然后通過回代的方式就可以解出x的所有值抗蠢。來看一個具體的例子
先給系數(shù)陣消元
而如果我想將兩次變換變?yōu)橐淮危灰獙蓚€消元矩陣相乘即可
?計算時我們可以發(fā)現(xiàn)思劳，計算結(jié)果的[7 -5 1]是由
得到的迅矛，一般來說乘就乘了，反正只要能算出結(jié)果就行了潜叛，但是就是有那么一些聰明的腦子能想出一些更高級的做法秽褒，即
LU分解
這是我們之前做消元的過程
他們想出的方法是
這里你可能還看不出來這個方法有什么吊，不就是把逆矩陣挪到右邊了嗎威兜，我們根據(jù)上面那個例子來整理一下LU分解的運算過程销斟。
首先明確一點，求消元的初等變換陣的逆矩陣只要把對應(yīng)的數(shù)變號就可以了
而如果想將兩次變換變?yōu)橐淮谓范妫纯捎嬎?/p>
?計算結(jié)果就是兩個矩陣的簡單組合蚂踊，根本不需要乘運算
所以解Ax=b變?yōu)?b>LUx=b，所以先解Ly=b再解Ux=y
來看一個例子(設(shè)b為[1,2,3,4])
當(dāng)然笔宿，消元過程中還可能出現(xiàn)交換行的情況犁钟，所以在LU分解前我們需要給原矩陣做一些交換行的處理，讓我們的LU分解可以順暢的做下去(在消元過程中不再交換)matlab 中有一些算法能做到這一點措伐，在此我們不做討論(主要是我也不知道：）)特纤，我們只給出LU分解的完全體形式
最后還想說的一點是關(guān)于轉(zhuǎn)置，A_{ij}=A_{ji}^{T}T?這樣的概念不必多說侥加，我想聊幾個有很好特性的矩陣捧存，比如交換行的矩陣P，它們滿足
且階數(shù)固定時這類矩陣的個數(shù)滿足n!
比如三階矩陣有6個這樣的矩陣
還有一類矩陣滿足AT=A，即對稱陣昔穴，而任何矩陣乘自己的轉(zhuǎn)置一定得到對稱陣镰官，反之亦然，用公式描述為
