悖論帶來的……????課程分享26
? ? ? ?這是通識選修課《社會科學與數學》第一講《哲學與數學》第四節(jié)和第五節(jié)的內容盗痒。討論了悖論及其所帶來的數學危機和數學流派。
第一講? 哲學與數學
四厘贼、悖論
1.羅素悖論
? ? ? ?集合可以分為兩類睦袖，第一類集合的特征是：集合本身又是集合中的元素习蓬，例如當時人們經常說的“所有集合所成的集合”；第二類集合的特征是：集合本身不是集合的元素降盹，例如直線上點的集合与柑。顯然，一個集合必須是并且只能是這兩類集合中的一類⌒罨担現在假定R是所有第二類集合所成的集合价捧。那么，R是哪一類的集合呢涡戳？
? ? ? ?羅素悖論一個通俗的說法是理發(fā)師悖論结蟋，是在1897年由另一位數學家福爾蒂提出來的。
? ? ? ?一個理發(fā)師的告示上寫著：城里所有不給自己理發(fā)的人都由我給他們理發(fā)渔彰，我也只給這些人理發(fā)嵌屎。
? ? ? ?誰給這位理發(fā)師理發(fā)呢？
? ? ? ?如果他自己理發(fā)恍涂，那他就屬于自己理發(fā)的那類人宝惰。但是，他的告示說明他不給這類人理發(fā)再沧，因此他不能自己來理尼夺。
? ? ? ?如果另外一個人來給他理發(fā)，那他就是不自己理發(fā)的人炒瘸。但是淤堵，他的告示說他要給所有這類人理發(fā)，因此其他任何人也不能給他理發(fā)什燕。
? ? ? ?在邏輯學歷史上最富戲劇性的危機之一就與這個悖論有關。德國的著名邏輯學家哥特洛伯·弗里茲寫完了他最重要的著作《算法基礎》第二卷竞端，他認為他在這本書中確立了一套嚴密的集合論屎即，可作為整個數學的基礎。1902年事富，當該書付印時技俐，他收到了羅索的信，他得知上面那條悖論统台。弗里茲的集合論容許由一切不是它自身的元素的集合構成的集合雕擂。正如羅素在信中澄清的，這個表面上結構完美的集合卻是自相矛盾的贱勃。弗里茲在收到羅素的信后井赌，只來得及插入一個簡短的附言：
? ? ? ?“一個科學家所遇到的最不合心意的事谤逼，莫過于是在他的工作即將結束時使其基礎崩潰了，我把羅素的來信發(fā)表如下……”
? ? ? ?據說仇穗，弗里茲使用的詞“不合心意”（undesirable）是數學史上最詞不達意的說法了流部。
? ? ? ?伯特納德·羅素（Bertrand Russell，1872-1970）是20世紀英國哲學家纹坐、數學家枝冀、邏輯學家、歷史學家耘子，無神論或者不可知論者果漾，也是上世紀西方最著名、影響最大的學者和和平主義社會活動家谷誓。羅素也被認為與弗雷格绒障、維特根斯坦和懷特海一同創(chuàng)建了分析哲學。他與懷特海合著的《數學原理》對邏輯學片林、數學端盆、集合論、語言學和分析哲學有著巨大影響费封。
? ? ? ?1950年焕妙，羅素獲得諾貝爾文學獎。這大概是歷史上不多的弓摘，不是因為寫小說焚鹊、詩歌等純文學作品而獲得諾貝爾文學獎的人，另一位應該大名鼎鼎的溫斯頓·丘吉爾韧献。
? ? ? ?羅素悖論使集合理論產生了危機末患，史稱第三次數學危機。集合論中為什么會產生矛盾锤窑？這個非常根本的問題璧针，涉及數學邏輯推理的可信性和數學命題的真理性問題，屬于數學哲學的范疇渊啰。
? ? ? ?從1900年到1930年的30年間探橱，許多數學家卷入了這場關于數學哲學基礎的討論，并逐漸形成不同的數學基礎學派的爭論绘证，主要有邏輯主義隧膏、形式主義和直覺主義三個學派。
2．芝諾悖論——阿基里斯與烏龜
? ? ? ?公元前5世紀嚷那，芝諾用他的無窮胞枕、連續(xù)以及部分和的知識，引發(fā)出以下著名的悖論：他提出讓飛毛腿阿基里斯與烏龜之間舉行一場賽跑魏宽，并讓烏龜在阿基里斯前頭1000米開始腐泻。假定阿基里斯能夠跑得比烏龜快10倍决乎。比賽開始，當阿基里斯跑了1000米時贫悄，烏龜仍前于他100米瑞驱；當阿基里斯跑了下一個100米時，烏龜依然前于他10米……所以窄坦，阿基里斯永遠追不上烏龜唤反。
? ? ? ?現在來看，這其實就是微積分中的無窮求和問題鸭津，也是哲學中的量變質變原理彤侍。
? ? ? ?芝諾(埃利亞) (Zeno of Elea)約公元前490年生于意大利半島南部的埃利亞；約公元前425年卒逆趋。數學家盏阶、哲學家。
3．說謊者悖論
? ? ? ?公元前6世紀闻书，古希臘克里特島的哲學家伊壁門尼德斯有如此斷言：“所有克里特人所說的每一句話都是謊話名斟。”如果這句話是真的魄眉，那么也就是說砰盐，克里特人伊壁門尼德斯說了一句真話，但是卻與他的真話——所有克里特人所說的每一句話都是謊話——相悖坑律；如果這句話不是真的岩梳，也就是說克里特人伊壁門尼德斯說了一句謊話，則真話應是：所有克里特人所說的每一句話都是真話晃择，兩者又相悖冀值。 所以怎樣也難以自圓其說，這就是著名的說謊者悖論宫屠。
? ? ? ?公元前4世紀列疗，希臘哲學家又提出了一個悖論：“我現在正在說的這句話是假的±缩澹”同上抵栈，這又是難以自圓其說。
五乌逐、歷史上的三次數學危機??
? ? ? ?數學是人類探索科學之路的重要理論和方法竭讳，通常站在數學研究前沿的國家创葡，其科學技術水平的比較高浙踢，這在歐洲崛起的道路上已經得到了證實。但是灿渴，作為一個科學理論和方法洛波，它一定是對的嗎胰舆？看一下歷史上著名的三次數學危機。
第一次數學危機——公元前470年無理數的出現
? ? ? ?在公元前5世紀的古希臘蹬挤，出現了一位偉大的數學家——畢達哥拉斯缚窿，畢達哥拉斯發(fā)現了著名的勾股定理定理，并證明了該定理焰扳，在那個時代倦零，畢達哥拉斯就是數學界的權威，他組建了畢達哥拉斯學派吨悍，匯集了當時古希臘一流的數學人才扫茅。
? ? ? ?畢達哥拉斯有一個觀點，就是所有的數字都可以表示成整數或者整數之比育瓜，比如0.3333……可以表示為1/3葫隙。有一天畢達哥拉斯學派的一個學生希帕索斯發(fā)現，等腰直角三角形的斜邊無法用整數來表示躏仇，于是告訴了畢達哥拉斯恋脚。
? ? ? ?畢達哥拉斯一開始沒覺得有什么問題，猜想一定是這位學生算錯了焰手，結果自己算了算也發(fā)現了不能用整數表達的數糟描，如果他不承認這個結果，就說明他發(fā)現的勾股定理是錯的册倒，畢達哥拉斯當然不能否定自己蚓挤，于是煽動學派成員把希帕索斯扔進愛琴海淹死了。
? ? ? ?但是科學是不以人的意志為轉移的驻子，處死希帕索斯并不能解決這個悖論灿意。直到1872年，德國數學家戴德金才以有理數分割的理論結束了第一次數學危機崇呵，無理數正式納入了數學體系當中缤剧，此時距離希帕索斯殉難已經過了2300多年了。
第二次數學危機——17-18世紀無窮小是什么
? ? ? ?第二次數學危機萌芽于古希臘域慷，最著名的描述是“芝諾的烏龜”荒辕，即“芝諾悖論”。中國古書《莊子·天下篇》也有直白的描述：一尺之棰犹褒，日取其半抵窒，萬世不竭。即把一根一尺長的木棍叠骑，每次截去一半李皇，接著截取一半的一半，如此反復宙枷，雖然木棍在變短掉房，但永遠截不完茧跋。
? ? ? ?無窮小是微積分理論的基石，如果不解決這個問題卓囚，那么微積分在理論上就是不完備的瘾杭，那么很多基于微積分的理論就不能說是完全對的，那么包括牛頓力學體系在內的重要數學推論也就不能成立了哪亿。
? ? ? ?自從第二次數學危機出現后粥烁，無數的數學家都在試圖修補這個漏洞，但是這種體系性的漏洞是很難補全的蝇棉，因此第二次數學危機一直持續(xù)到了19世紀70年代页徐，在前人研究的基礎上，數學家威爾斯特拉斯银萍、狄德金变勇、康托爾等人建立了實數理論，才將這個問題解決贴唇。
? ? ? ?不過搀绣，第二次數學危機也帶來了很多好處，在解決這個問題的道路上戳气，人類在數學链患、天文、物理等領域的發(fā)展突飛猛進瓶您，我們現在使用的很多技術都與這些相關麻捻，可以說，沒有第二次數學危機呀袱，就沒有現代社會贸毕。
第三次數學危機——羅素悖論
? ? ? ?這個悖論是滿足集合論原理的，而且集合論現在已經深入到了數學的各個方面夜赵，如果這個悖論不解決明棍，集合論就是有漏洞的。
? ? ? ?至今為止寇僧，第三次數學危機也沒有得到完美的解決摊腋。1931年，數學家哥德爾提出了不完備定律嘁傀，證明了數學本身在理論上就是不完備的兴蒸，所以數學的發(fā)展遠沒有結束。
六细办、三大數學流派
? ? ? ?19世紀下半葉橙凳，康托爾創(chuàng)立了著名的集合論，在集合論剛產生時，曾遭到許多人的猛烈攻擊痕惋。但不久這一開創(chuàng)性成果就為廣大數學家所接受了，并且獲得廣泛而高度的贊譽娃殖。數學家們發(fā)現值戳，從自然數與康托爾集合論出發(fā)可建立起整個數學大廈。因而集合論成為現代數學的基石炉爆。
? ? ? ?可是堕虹，很快就有人發(fā)現，集合論是有漏洞的芬首，這就是羅素悖論赴捞。可以說郁稍，這一悖論就象在平靜的數學水面上投下了一塊巨石赦政，而它所引起的巨大反響導致了第三次數學危機。
? ? ? ?羅素悖論使得數學基礎問題第一次以最迫切的需要姿態(tài)擺在數學家面前耀怜，導致了許多數學家對數學基礎的研究恢着。而這方面的進一步發(fā)展又極其深刻地影響了整個數學。如圍繞著數學基礎之爭财破，形成了現代數學史上著名的三大數學流派掰派。
? ? ? ?從1900年到1930年這30年間，許多數學家就數學的哲學基礎這一問題展開了討論左痢，并形成了不同的數學基礎學派靡羡，主要有邏輯主義、形式主義和直覺主義三大學派俊性。
1.邏輯主義?
? ? ? ?“數學即邏輯”略步。邏輯主義的主要代表人物是羅素，在《數學的原理》及《數學原理》中定页，羅素的目標在于證明“數學和邏輯是全等的”這個邏輯主義論題纳像，它可以分析為三部分內容：
1）每條數學真理都能夠表示為完全用邏輯表達或表示的語言。簡單來講拯勉，即每條數學真理都能夠表示為真正的邏輯命題竟趾。
2）每一條真的邏輯命題如果是一條數學真理的翻譯，則它就是邏輯真理宫峦。
3）每條數學真理一旦表示為一個邏輯命題岔帽，就可由少數邏輯公理及邏輯規(guī)則推導出來。
2.形式主義
? ? ? 一般認為形式主義的奠基人是希爾伯特导绷。希爾伯特建議兩條最基本的原則：
1）形式主義原則：所有符號完全看做沒有意義的內容犀勒，即使將符號、公式或證明的任何有意的意義或可能的解釋也不管，而只是把它們看作純粹的形式對象贾费，研究它們的結構性質钦购；
2）有限主義原則，即總能在有限機械步驟之內驗證形式理論之內一串公式是否一個證明褂萧。應用數學方法于這樣一個形式理論押桃，避免涉及無窮的推斷，這就排除了康托爾集合論的方法导犹。這個思想是只應用靠得住的方法唱凯，因為要證明數學或其一部分無矛盾的方法是大家公認可靠的，整個數學才有牢固的基礎谎痢。
3.直覺主義
? ? ? ?直覺主義的奠基者和代表人物是荷蘭數學家克勞威爾磕昼。
? ? ? ?在數學哲學中，直覺主義,或者新直覺主義 (對應于前直覺主義),是用人類的構造性思維活動進行數學研究的方法节猿。
? ? ? ?任何數學對象被視為思維構造的產物票从，所以一個對象的存在性等價于它的構造的可能性。這和經典的方法不同滨嘱，因為經典方法說一個實體的存在性可以通過否定它的不存在性來證明纫骑。對于直覺主義者，這是不正確的九孩；不存在性的否定不表示可能找到存在性的構造證明先馆。正因為如此，直覺主義是數學結構主義的一種躺彬；但它不是唯一的一類煤墙。
? ? ? ?直覺主義把數學命題的正確性和它可以被證明等同起來；如果數學對象純粹是精神上的構造還有什么其它法則可以用作真實性的檢驗呢(如同直覺主義者會爭論的一樣)宪拥？這意味著直覺主義者可能和經典的數學家對一個數學命題的含義有不同理解仿野。例如，說A或B,對于一個直覺主義者她君，是宣稱A或B可以證明脚作。特別的有，排中律, A或非A,是不被允許的缔刹，因為不能假設人們總是能夠證明命題A或它的否命題球涛。
? ? ? ?直覺主義也拒絕實際無窮的抽象，也就是說校镐，它不考慮象所有自然數的集合或任意有理數的序列無窮這樣的無窮實體作為給定對象亿扁。這要求將集合論和微積分的基礎分別重新構造為構造主義集合論和構造主義分析。
? ? ? ?歷史證明鸟廓，三大流派都有各自的優(yōu)點和缺陷从祝，但是他們彌補了數學基礎的很多不足襟己，為數學的嚴密性提供了更加精確的符號和語言。
