MIT-18.06-線性代數(shù)（第十講）

第十講 —— 四個基本子空間

本講將講解矩陣的四個基本子空間（subspace）雾家。研究四個子空間及其關系是線性代數(shù)的核心內容棘伴。

四個基本子空間

$A$ 是 $m×n$ 矩陣，有

列空間 Column space $C(A)$ 忌傻，是 $\Bbb R^m$ 的子空間
零空間 Null space $N(A)$ ，是 $\Bbb R^n$ 的子空間
行空間 Row space $C(A^T)$ 搞监，是 $\Bbb R^n$ 的子空間
左零空間 Left null space $N(A^T)$ 芯勘，是 $\Bbb R^m$ 的子空間

基和維度

列空間，它的一組基就是主列腺逛，維數(shù)是秩 $r$ 荷愕。
零空間，它的一組基就是其特解棍矛，維數(shù)是 $n-r$ 安疗。
行空間，行空間與列空間有相同的維數(shù)够委，也是 $r$ 荐类。
舉例矩陣 $A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix}$ ——> $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$ ——> $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$ ——> $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}=R$ ，化簡后茁帽， $C(A) \neq C(R)$ 玉罐，列空間發(fā)生變化，而行變換不會對行空間產(chǎn)生影響潘拨。行空間的一組基吊输，無論對 $A$ 還是對 $R$ 來說，都是行最簡形式 $R$ 的前 $r$ 行铁追。進一步思考季蚂，為什么 $A$ 的各行都是這個基的線性組合，通過各行消元的逆操作琅束，可以從 $R$ 倒推回 $A$ 扭屁，因此 $A$ 各行是 $R$ 各行的線性組合，反之亦然涩禀。它們的行空間相同料滥，它們的基也相同。行空間在行最簡形式 $R$ 中以最佳形式表現(xiàn)出來艾船。
左零空間葵腹，維數(shù)是 $m-r$ 。
如果有 $A^Ty=0$ 丽声，那么向量 $y$ 就在 $A^T$ 的零空間中礁蔗。進行轉置，有 $y^TA^{TT}=y^TA=0$ 雁社，即以 $y^T$ 對 $A$ 進行左乘，這也是把其稱作左零空間的原因晒骇。采用高斯-若爾當（Gauss-Jordan）方法霉撵， $rref \left[\begin{array}{c|c} A_{m×n} & I_{m×m} \\ \end{array}\right]$ ——> $\left[\begin{array}{c|c} R_{m×n} & E_{m×m} \\ \end{array}\right]$ 磺浙，設消元矩陣為 $E$ ，則有 $EA=R$ 徒坡。而對于矩陣 $A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix}$ 這個例子撕氧，基于上面的變換，可得 $E=\begin{bmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$ 喇完，即 $\begin{bmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$ 伦泥。通過 $E$ ，可求左零空間的維數(shù)和基锦溪。根據(jù)左零空間的維數(shù) $m-r$ 不脯，即 $3-2=1$ ，得到左零空間是一維的刻诊。存在一個線性組合使這三行的結果為零行防楷，這個線性組合可以確定左零空間的基。左零空間的基只有一個向量则涯，它就在 $E$ 的最后一行复局，即 $\begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$ 。

新向量空間

新向量空間 (new vector space) $M$ 粟判，叫作所有的 $3×3$ 矩陣亿昏，把矩陣看作向量，每個 $3×3$ 矩陣都是一個“向量”档礁。 $M$ 的子空間包括：所有的上三角矩陣龙优，所有的對稱矩陣，所有的對角矩陣事秀。
對角矩陣子空間是前兩者的交集彤断，其維數(shù)為3，一組基為 $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \\ \end{bmatrix}$ 易迹。

最后編輯于：2022.05.05 01:00:50

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