這周的討論班有點(diǎn)過(guò)癮拷肌，很多內(nèi)容被聯(lián)系了起來(lái)，有思維上的突破的感覺(jué)旨巷。是follow了Stefano Negro 16年的講義“Lectures on Integrable Structures in QFT and Massive ODE/IM correspondence”
這篇講義是對(duì)BLZ系列工作的凝練巨缘。今天講的內(nèi)容對(duì)應(yīng)了BLZ系列的第一篇。
受上周的啟發(fā)：“能不能用“可積性的代數(shù)語(yǔ)言”來(lái)理解這些可積的deformation” 采呐。講義的一個(gè)核心也是若锁，能不能用從可積spin chain那邊發(fā)展來(lái)的代數(shù)語(yǔ)言來(lái)統(tǒng)一的看可積場(chǎng)論。用Stefano的原話就是“The expression integrable structures encompasses the whole algebraic skeleton which allows for the building of integrability to stand.”

2D CFT具有無(wú)窮多的對(duì)稱性斧吐，這也為討論可積結(jié)構(gòu)提供了可能性拴清。
通常我們研究CFT或者QFT的途徑都是從表示論的觀點(diǎn)出發(fā)，得到理論的譜的刻畫(huà)会通，完全不需要提及可積結(jié)構(gòu)。

CFT basic concepts : the quantum theory

在2D 歐式空間娄周，我們可以引入復(fù)坐標(biāo)涕侈，然后把空間解析延拓到C^2 上面，這樣我們就有了作用在C^2上面的兩個(gè)copies的Virasoro代數(shù) Vir煤辨，研究Vir的表示裳涛，就可以得到理論的譜。要得到一個(gè)無(wú)窮維的abelian的子代數(shù)(無(wú)窮多対易的守恒量)众辨，我們要擴(kuò)展Vir到它的enveloping algebra上面u(Vir)端三。或者說(shuō)鹃彻，如果Vir看成是由energy momentum tensor T 得到的代數(shù)郊闯，那么u(Vir)就是由T還有求導(dǎo)算符一起構(gòu)成的所有polynomial 得到的代數(shù)。在這個(gè)u(Vir)就存在了一個(gè)無(wú)窮維的abelian的子代數(shù)蛛株。這里我們用spin chain的思想团赁，如果不考慮CFT的其他primary，只考慮identity module谨履，那么u(Vir)就構(gòu)成了一組local operator 的基欢摄，那么守恒量就可以由其展開(kāi)，我們似乎也可以定義類似boost operator在operator在上面笋粟，這樣我們就可以有一個(gè)守恒量怀挠，boost出其他的析蝴。值得注意的是，這些local operator的closed form 還沒(méi)有得到绿淋，需要通過(guò)対易性還有其他的自洽性來(lái)得到或者說(shuō)利用可能存在的boost operator闷畸。我們知道在spin chain里守恒量都是由一個(gè)生成函數(shù)也就是所謂的T-function得到的，這個(gè)T-function 不唯一躬它，有他自己更高一級(jí)代數(shù)結(jié)構(gòu)腾啥。所以我們的目的找到其CFT的對(duì)應(yīng)。為了得到這個(gè)冯吓，我們先考慮CFT 的“經(jīng)典”極限 kdV可積系統(tǒng).

kdV basic concepts : the classical theory

kdV是2維的偏微分方程倘待，也是可積性的數(shù)學(xué)出發(fā)點(diǎn)之一。在kdV上也可以定義守恒量组贺，并且這個(gè)偏微分方程可以有Inverse scattering method求解凸舵。在CFT 的central charge c趨于負(fù)無(wú)窮就可以得到一個(gè)kdV 理論。如果把c理解為量子力學(xué)里面的-1/hbar失尖，那么就可以把得到kdV看成CFT的經(jīng)典極限啊奄。(又是一個(gè)CFT在central charge 很大的時(shí)候會(huì)有一個(gè)經(jīng)典描述的例子。)CFT里面的対易子也對(duì)應(yīng)了kdV的泊松括號(hào)掀潮。之前CFT里面構(gòu)造出來(lái)的守恒量也就都對(duì)應(yīng)到了kdV這邊菇夸。任取一個(gè)守恒量作為Hamiltonian就可以得到一個(gè)kdV偏微分方程，這就是所謂的KdV hierarchy 仪吧。kdV是可積的庄新，也存在一個(gè)含參數(shù)Lax equation描述，對(duì)應(yīng)kdV 的 hierarchy自然有一個(gè)Lax equation 的flow hierarchy薯鼠。每一個(gè)Lax equation都對(duì)應(yīng)一個(gè)wave equation择诈。因?yàn)檫@里L(fēng)ax operator 是一個(gè)2階導(dǎo)數(shù)的算符，那么wave equation就有兩個(gè)解出皇，考慮周期性邊界條件羞芍，兩個(gè)解可能存在non-trvial 的monodromy。Monodromy取trace 就得到了t-function郊艘，其在參數(shù)的無(wú)窮遠(yuǎn)的漸進(jìn)展開(kāi)記得到所有的守恒量荷科，并且用Monodromy対易的Lax matrix 滿足involution condition。這里我們只得到了一個(gè)t-function暇仲。是因?yàn)槲覀冞x取了一個(gè)特殊的Lax operator步做，既假定他是一個(gè)2階微分算符。一個(gè)2階算符等價(jià)于兩個(gè)一階算符奈附，所以這個(gè)二階Lax equation等價(jià)于2個(gè)一階的equations全度，這樣我們認(rèn)為我們這里選取的Lax operator對(duì)應(yīng)了一個(gè)2維表示。要拓展到高價(jià)斥滤，只需要找到Lax operator 滿足的代數(shù)結(jié)構(gòu)将鸵，然后選取高價(jià)的表示就可以了勉盅。而代數(shù)結(jié)構(gòu)完全可以由基本1階算符來(lái)看出來(lái)，是一個(gè)sl（2）這樣一個(gè)代數(shù)顶掉。這樣我們就可以直接用之前同樣的方法草娜，得到任何一個(gè)sl（2）表示下的t-function。

kdV to CFT： the quantization

首先我們要得到CFT對(duì)應(yīng)的“Lax equation”痒筒，也就是在基本表示下 energy momentum T滿足的類似于Lax equation的equation宰闰。這個(gè)基本表示稱為Feigin-Fuchs free field representation，在central charge =1 的時(shí)候是描述另一個(gè)free boson簿透，當(dāng)c趨于負(fù)無(wú)窮的時(shí)候回到kdv的情況移袍。然后找到Lax equation的代數(shù)結(jié)構(gòu)，正好是u(sl(2))_q老充，sl（2）的 quantum enveloping algebra葡盗。(量子群的概念自然進(jìn)來(lái)了。)接下里的推導(dǎo)和之前完全一致啡浊，最后得到了對(duì)應(yīng)的T-function觅够，并且Lax matrix自然滿足Yang-Baxter equation。剛才我們提到巷嚣，每一個(gè)不可約表示都對(duì)應(yīng)了一個(gè)T-function喘先，他們不是獨(dú)立的，因?yàn)椴豢杉s表示直接會(huì)有一些branch rules廷粒。反應(yīng)到T-function就是苹祟，不同表示對(duì)應(yīng)的T-function滿足一些等式，正好定義了Hirota system或者直接說(shuō)是T-system评雌！由T-system 出發(fā)我們當(dāng)然可以定義Y-system，從而我們有TBA來(lái)求解Y-function的本征函數(shù)直焙。

A Algebraic Skeleton

最后是一個(gè)general的邏輯景东，是不是可以稱為“可積性”的邏輯？從表示論的角度我們定義一個(gè)理論為
Theory：{interactions of all kinds of particles} = {interwining of all the irrediciable representations}
下面我們看這個(gè)等號(hào)是怎么在可積系統(tǒng)里實(shí)現(xiàn)的奔誓。
考慮一個(gè)理論他的對(duì)稱性是有的代數(shù)A來(lái)描述斤吐。那么他的譜或是粒子由A的不可約表示描述。但是只譜還不夠厨喂，我們還要研究相互作用和措，所以我們把拓展A到A的quantum affine algebra 上，其上面的表示關(guān)系由T-function或者Y-function來(lái)描述蜕煌。最后從local的性質(zhì)回到global的派阱，我們通過(guò)一個(gè)evaluation 映射從quantum affine algebra 回到物理的 quantum algebra 上，這里的evaluation不是唯一的自然引入了一個(gè)而外的連續(xù)的parameter斜纪。所以最后一個(gè)可積量子系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)就是依賴一個(gè)離散的parameter對(duì)應(yīng)了quantum affine algebra的表示還有一個(gè)連續(xù)的parameter對(duì)應(yīng)了evaluation map的一個(gè)表示贫母。