詹森不等式（Jensen's Inquality）

設(shè)? $f(x)$ ?在區(qū)間? $(a,b)$ ?內(nèi)存在二階導數(shù)吕座，且? $f^{\prime\prime}(x)<0$ ?罢吃，則對于? $(a,b)$ ?內(nèi)的任意兩個不同的? $x_{1}$ ?與? $x_{2}$ ?, 以及滿足? $s + t = 1$ ?,? $0<s<1$ ?的兩個數(shù)? $s$ ?與? $t$ 颗管，均有

? ? ? ? ? ? ?????????????????????????????????????????????? $f(sx_{1} + tx_{2}) > sf(x_{1}) + tf(x_{2})$ .

【方法一】將? $f(x)$ ?在某點? $x = x_{0}$ ?處按拉格朗日余項的泰勒公式展開至? $n = 1$ ：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? $f(x) = f(x_{0}) + f^{\prime}(x_{0})(x - x_{0}) + \frac{1}{2!}f^{\prime\prime}(\xi )(x-x_{0})^2$ .

????????????????????分別以? $x = x_{1} 妄迁， x = x_{2}$ ?代入卵渴，得到兩個式子：

? ?????????????????????????????????????? $f(x_{1}) = f(x_{0}) + f^{\prime}(x_{0})(x_{1} - x_{0}) + \frac{1}{2!}f^{\prime\prime}(\xi )(x_{1} - x_{0})^2$ 瓣赂，

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? $f(x_{2}) = f(x_{0}) + f^{\prime}(x_{0})(x_{2} - x_{0}) + \frac{1}{2!}f^{\prime\prime}(\xi )(x_{2} - x_{0})^2$ .

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 將第一式兩邊乘? $s$ 榆骚，第二式兩邊乘? $t$ ，相加煌集，得

$sf(x_{1}) + tf(x_{2}) = f(x_{0}) + f^{\prime}(x_{0})(sx_{1} + tx_{2} - x_{0}) + \frac{s}{2}f^{\prime\prime}(\xi_{1} )(x_{1} - x_{2})^2 + \frac{t}{2}f^{\prime\prime}( \xi_{2})(x_{2} - x_{0})^2$

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 取? $x_{0} = sx_{1} + tx_{2}$ ?妓肢，由于? $s + t =1 , 0 < s < 1 ,$ ?從而? $0 < t < 1,$ $x_{0}$ ?介于? $x_{1}$ ?與? $x_{2}$ ?之間，于是? $x_{0} \in (a,b)$ , 有

$sf(x_{1}) + tf(x_{2}) = f(sx_{1}+tx_{2}) + 0 + \frac{s}{2}f^{\prime\prime}(\xi_{1})(t(x_{2}-x_{1})^2) +\frac{t}{2}f^{\prime\prime}(\xi_{2})(s(x_{1}-x_{2})^2 ) < f(sx_{1}+tx_{2})$

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 證畢苫纤。

【方法二】將欲證之式寫到一邊碉钠，

? ? ? ? ? ? ? $f(sx_{1}+tx_{2})-sf(x_{1})-tf(x_{2}) =(s+t)f(sx_{1}+tx_{2})-sf(x_{1})-tf(x_{2})$

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? $=s[f(sx_{1}+tx_{2})-f(x_{1})]-t[f(x_{2})-f(sx_{1}+tx_{2})]$ ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? $=sf^{\prime}(\xi _{1})[(s-1)x_{1}+tx_{2}]-tf^{\prime}(\xi _{2})[(1-t)x_{2}-sx_{1}]$

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? $=stf^{\prime}(\xi _{1})(x_{2}-x_{1})-stf^{\prime}(\xi _{2})(x_{2}-x_{1})$

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? $=stf^{\prime\prime}(\xi_{3})(\xi_{1} - \xi_{2})(x_{2}-x_{1})$

不妨設(shè)? $x_{1} < x_{2}$ ?纲缓，于是? $x_{1} <\xi_{1} < sx_{1}+tx_{2} < \xi_{2} < x_{2}$ ，所以? $x_{2} - x_{1} > 0, \xi_{2} - \xi_{1}>0$ , 再有 $f^{\prime\prime}(x)<0$ 放钦，從而推知

? ?????????????????????????????????????????????????????????????? $f(sx_{1}+tx_{2})-sf(x_{1})-tf(x_{2})>0$ 色徘，

即有? $f(sx_{1}+tx_{2})>sf(x_{1})+tf(x_{2})$ ，證畢操禀。

P66

【評注】

1. 注意? $\xi_{1},\xi_{2},\xi_{3}$ ?的區(qū)別.

2. 如果將條件中區(qū)間? $(a,b)$ ?改為? $[a,b]$ ?褂策，則結(jié)論中? $(a,b)$ ?亦可改為? $[a,b]$ .

3. 如果將條件 “ $f^{\prime\prime}(x)<0$ ” 與 “ $0<s<1$ ” 分別放寬到 “ $f^{\prime\prime}(x)\leq 0$ ” 與 “ $0\leq s\leq 1$ ”，則結(jié)論亦應(yīng)該為“ $f(sx_{1}+tx_{2})\geq sf(x_{1})+tf(x_{2})$ ”.

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