大數(shù)學(xué)家可以批判《幾何原本》的公理體系不夠嚴(yán)密，業(yè)余愛好者則不能這樣做。應(yīng)該精讀。
第一卷最重要的命題序號(hào)為1,2,4,8,16,32幅垮。以及壓軸的47。
第一命題是作一個(gè)正三角形。古希臘人重視美感咆耿，不會(huì)放過當(dāng)時(shí)能作出的任何正多邊形椭盏。正三角形是所有正多變形中最簡(jiǎn)單的一個(gè)。因此捎稚，作正三角形今野，理所當(dāng)然成為第一個(gè)命題蛆楞。
第二個(gè)命題是講線段的遷移夹厌，同時(shí)演示了線段可以加減臂聋，等式可以傳遞肄方。雖然是作圖的命題，地位等同于公理。
第四個(gè)命題講SAS全等崖瞭，以及同時(shí)得到的角相等受啥。在希爾伯特的公理體系中，直接由SAS得到一個(gè)底角相等鸽心。這是一個(gè)公理滚局，而不是定理。因此顽频，不是普普通通的命題藤肢。
第八個(gè)命題是SSS全等，重要性自然不必多言糯景。書中利用SSS全等來(lái)遷移角嘁圈，如命題23所作省骂。而角的遷移，在希爾伯特的公理體系中最住，也是作為公理存在的钞澳。
第十六個(gè)命題是外角定理。歐幾里得和希爾伯特的證明方法不一樣涨缚。在希爾伯特的書中轧粟，是第22個(gè)命題。直接推導(dǎo)出許多重要結(jié)論仗岖。而且逃延，從外角定理直接可以得到過直線外一點(diǎn)的平行線之存在性览妖。第五公設(shè)就可以只寫半邊轧拄，寫成“至多有一條”的形式。
第三十二個(gè)命題讽膏，是由第五公設(shè)得到的最完美檩电、最著名的結(jié)論之一。幾何原本府树，最核心的內(nèi)容俐末，是第五公設(shè)。三角形三個(gè)內(nèi)角和為兩直角奄侠。在引入阿基米德公理的情況下卓箫，這個(gè)命題可以替代歐幾里得公設(shè)。
第一卷一共48個(gè)命題垄潮，其中烹卒，第47個(gè)命題稱為“壓軸”的命題。所謂“壓軸”是倒數(shù)第二個(gè)弯洗，不是最后一個(gè)旅急。最后一個(gè)叫做“壓臺(tái)”。壓軸的是勾股定理牡整，壓臺(tái)的是勾股定理逆定理藐吮。
勾股定理在應(yīng)用中的重要性不必多說。在這卷書中逃贝，可以發(fā)現(xiàn)谣辞，從命題33起，就一直在為勾股定理的證明做鋪墊沐扳。命題33引入平行四邊形泥从，命題34將其剖分成兩個(gè)全等的三角形，然后迫皱，不厭其煩的討論歉闰，夾在平行線之間的同底和等底的平行四邊形以及三角形辖众，研究面積和平行線的關(guān)系。然后進(jìn)行面積的轉(zhuǎn)化和敬，化三角形和多邊形為平行四邊形凹炸。
但命題46直接就開始討論正方形。這中間似乎遺漏了些什么昼弟，包括化平行四邊形為長(zhǎng)方形啤它，以及化長(zhǎng)方形為正方形兩個(gè)步驟。前者是簡(jiǎn)單的舱痘，只要進(jìn)行一個(gè)割補(bǔ)变骡，或者給定最初的角為直角即可;后者，化長(zhǎng)方形為正方形芭逝，命題出現(xiàn)在第二卷第14命題塌碌。
如果把這14個(gè)命題插入到第45,46命題之間，則壓軸的命題編號(hào)會(huì)是（47+14）=61旬盯，壓臺(tái)的會(huì)是62台妆。也許，原著準(zhǔn)備把勾股定理的逆定理先證明出來(lái)胖翰，最后證明勾股定理接剩，把勾股定理安排在第64個(gè)定理。但后來(lái)發(fā)現(xiàn)萨咳，先證明逆定理是困難的懊缺。盡管第二卷的命題12和13已經(jīng)獲得了余弦定理，但因?yàn)槟菚r(shí)采用幾何來(lái)運(yùn)算培他，而非代數(shù)鹃两，因此，利用三邊長(zhǎng)度來(lái)判斷直角的做法還沒有靶壮。干脆怔毛，把這14個(gè)命題獨(dú)立出去。
第一卷總體劃分為五個(gè)部分：
1-4 等邊三角形以及SAS全等
5-15 等腰三角形以及SSS全等
16-26 一般三角形以及ASA全等
27-32 第五公設(shè)詳解
33-48 面積變換以及勾股定理
