羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理洛必達(dá)法則

羅爾定理(Rolle’s Theorem)

如果函數(shù)y = f(x)

在[a,b]區(qū)間上連續(xù)
在(a,b)區(qū)間上可導(dǎo)
f(a)=f(b)

那么在(a,b)上至少存在一個c沥潭，使得f'(c)=0

拉格朗日中值定理(The Mean-Value Theorem)

如果函數(shù)f(x)滿足：

在[a,b]區(qū)間上連續(xù)
在(a,b)區(qū)間上可導(dǎo)

那么在(a,b)上至少存在一個c痒钝，使得 $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

拉格朗日中值定理的其他形式

$\Delta y=f'(x+\theta \Delta x).\Delta x$ (有限增量定理)

柯西中值定理(Cauchy’s Generalized Mean-Value Theorem)

如果函數(shù)f(x)和g(x)滿足

在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)
在區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，且 $g’(x)\neq 0$

那么在(a,b)上至少存在一點c，使得
$\frac {f'(c)}{g'(c)}=\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$

洛必達(dá)法則

$\frac 0 0$ 型

函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)間 $(a,a+\delta)$ 內(nèi)滿足：

$\lim_{x \to a^+}f(x)=\lim_{x \to a^+}f(g)=0$
f(x),g(x)在區(qū)間 $(a,a+\delta)$ 內(nèi)可導(dǎo)检碗，且 $g'(x) \neq 0$
$\lim_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在(或 $\lim_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}=\infty$ )

則 $\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ (或 $\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)}=\infty$ )

以上結(jié)論對于 $x \to a^+, x\to a^- , x \to a , x \to +\infty ,x\to -\infty,x \to \infty$

$\frac \infty \infty$ 型

函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)間 $(a,a+\delta)$ 內(nèi)滿足：

$\lim_{x \to a^+}f(x)=\infty; \lim_{x \to a^+}f(g)=\infty$
f(x),g(x)在區(qū)間 $(a,a+\delta)$ 內(nèi)可導(dǎo)扇雕，且 $g'(x) \neq 0$
$\lim_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在(或 $\lim_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}=\infty$ )

則 $\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ (或 $\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)}=\infty$ )

定理之間的關(guān)系

$羅爾定理 \to拉格朗日中值定理 \to 柯西中值定理 \to 洛必達(dá)法則$

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