計(jì)算機(jī)配色發(fā)展了許多年只壳，但仍不能滿足使用需求，歸根結(jié)底是由于其理論存在一些問(wèn)題极景，使得其應(yīng)用受到一定限制察净。如果可以找到這些限制點(diǎn)并加以修正，則有可能優(yōu)化理論模型盼樟、提升配色性能氢卡。

一、傳統(tǒng)配色模型中存在的問(wèn)題

對(duì)于不透明的混濁介質(zhì)而言晨缴，計(jì)算機(jī)配色理論是指由 K-M 光學(xué)模型和色料加和混合模型組成的 K-M 單常數(shù)理論和 K-M 雙常數(shù)理論译秦，K-M 單常數(shù)理論多用于織物配色（適用于著色劑散射系數(shù)相對(duì)于基底而言接近于零的場(chǎng)景），而 K-M 雙常數(shù)理論則多用于印刷、油漆筑悴、涂料等領(lǐng)域们拙。在基材一樣的前提下，二者的區(qū)別在于 K-M 雙常數(shù)理論考慮了色料的 K-M 吸收系數(shù) K 和散射系數(shù) S阁吝，而單常數(shù)理論僅考慮了 K-M 吸收系數(shù) K砚婆，這無(wú)疑簡(jiǎn)化了計(jì)算，但也丟失了色料的散射信息突勇。

由于計(jì)算機(jī)配色基礎(chǔ)理論 K-M 光學(xué)模型和色料加和混合模型存在的一些問(wèn)題以及在解配色方程時(shí)算法的使用不當(dāng)装盯，而導(dǎo)致配色方程的解收斂速度慢甚至發(fā)散等現(xiàn)象，因此在實(shí)際配色中多出現(xiàn)預(yù)測(cè)配方的精度達(dá)不到要求甲馋、配色成功率不高或配色效果不理想等問(wèn)題埂奈。

K-M 光學(xué)模型適用于強(qiáng)散射介質(zhì)，僅考慮光在介質(zhì)中傳播的前向和后向兩個(gè)方向上的光吸收和散射的量定躏，且對(duì)前向散射和后向散射不加以區(qū)分（即認(rèn)為介質(zhì)是各向等性的账磺，前向散射系數(shù)與后向散射系數(shù)相等）。K-M 存在的問(wèn)題包括：理論建立的幾個(gè)假設(shè)條件共屈、前后向光學(xué)特性的區(qū)別等绑谣。

色料加和混合模型是指組分混合的光學(xué)特性可通過(guò)對(duì)各組分單獨(dú)光學(xué)特性進(jìn)行數(shù)學(xué)加和得到（假設(shè)油漆中色料的 K-M 吸收系數(shù) K 和散射系數(shù) S，具有像透明介質(zhì)中吸收質(zhì)的吸光系數(shù)那樣與濃度成正比的特性）拗引。由于色料加和混合模型僅為數(shù)學(xué)上的加和關(guān)系而未考慮各單色料之間的物理關(guān)系借宵，使其在實(shí)際應(yīng)用中遭遇了諸多問(wèn)題。主要問(wèn)題可總結(jié)為兩個(gè)方面：非線性問(wèn)題與非加和問(wèn)題矾削。

另外壤玫，由于 Kubelka-Munk 方程的數(shù)學(xué)限制，顏料的 K 和 S 數(shù)據(jù)是相對(duì)于參考成分（通常是白色顏料）計(jì)算的哼凯。 通常欲间，白色顏料的 K 和 S 可以通過(guò)雙重測(cè)量（反射率和透射率）來(lái)確定。這是在單個(gè)樣品或一系列樣品上以恒定的厚度和不同的白色顏料體積濃度進(jìn)行的断部。當(dāng)與其他著色劑組合考慮時(shí)猎贴，它可能導(dǎo)致不透明度和/或顏料比例的不準(zhǔn)確計(jì)算。一些配色軟件如 Color iMatch 就以絕對(duì)單位計(jì)算顏料 K 和 S蝴光，且在不以白色為基底的情況下測(cè)量所有著色劑的 K 和 S她渴，提供了準(zhǔn)確的不透明度和顏料比例預(yù)測(cè)。

除去解析理論蔑祟，其他表征光與介質(zhì)相互作用的物理模型都是從能量輸運(yùn)的觀點(diǎn)去考慮和分析問(wèn)題趁耗，這無(wú)疑損失了光與粒子之間相互作用的相位信息或角分布，而 K-M 模型正是由于這一點(diǎn)的簡(jiǎn)化和抽象使得計(jì)算機(jī)配色變得易于實(shí)現(xiàn)疆虚。這一簡(jiǎn)化加上色料加和混合模型存在的問(wèn)題使得在實(shí)際配色中存在許多問(wèn)題苛败。針對(duì)這些問(wèn)題满葛，前人提出了很多的修正方法如：新雙常數(shù)理論^[1]、最小二乘法配色^[2]罢屈、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)配色^[3]嘀韧、四刺激值配色^[4]、全光譜色差權(quán)重因子配色^[5]儡遮、表面修正^[6]乳蛾、一階光譜近似^[7]等通過(guò)數(shù)學(xué)方法進(jìn)行改進(jìn)的方法暗赶。

[1] Colorant formulation based on new two-constant theory
對(duì)于一些紡織物鄙币，由于著色劑不能被看做是無(wú)散射的，因此在配色時(shí)如果使用單常數(shù)理論會(huì)存在較大誤差蹂随；而使用雙常數(shù)理論又需要知道每種著色劑的吸收系數(shù)和散射系數(shù)（這些值是難以測(cè)量的）十嘿。因此這篇論文提出了一種新的雙常數(shù)理論：

(k / S_t) 和 (s / S_t) 即為新雙常數(shù)。

從上式可以看出岳锁，[K/S - (K/S)^t]/c 與 K/S 成線性關(guān)系绩衷，斜率和截距分別是 -(s/S_t) 和 k/S_t 。因此激率，新雙常數(shù)的值可以通過(guò)以下方法計(jì)算得到：首先測(cè)量在沒(méi)有著色劑的情況下基底的分光反射率咳燕，然后設(shè)置濃度梯度，測(cè)量在只有一種著色劑的情況下混合色的分光反射率乒躺，最后可通過(guò)最小二乘法得到該著色劑的新雙常數(shù)招盲。

這篇論文還推導(dǎo)了新雙常數(shù)理論的配色公式，這里就不貼出來(lái)了嘉冒。這篇論文中也提到了 K/S 與濃度 c 的非線性關(guān)系曹货，作者認(rèn)為導(dǎo)致非線性的原因是隨著濃度增加直至達(dá)到飽和度，紡織物沒(méi)有完全吸收著色劑讳推。作者提出了兩種方式來(lái)擬合這種非線性關(guān)系：

其中 p 為略大于1的值顶籽；或者：

[2] 最小二乘法在測(cè)配色中的應(yīng)用
這篇文章使用最小二乘法求解測(cè)配色過(guò)程中的 K/S — C 曲線擬合問(wèn)題。如下圖：

使用最小二乘法可求出擬合的曲線方程表達(dá)式為：

[3] 改進(jìn)的 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的具體應(yīng)用研究
基于隱層改進(jìn)的 BP 網(wǎng)絡(luò)在織物染色配色中的應(yīng)用研究
BP 網(wǎng)絡(luò)泛化能力改進(jìn)方法在染色配色中的應(yīng)用研究
基于 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的遺傳算法在織物配色中的應(yīng)用研究
[4] 針織品測(cè)色配色系統(tǒng)研究
“四刺激值”配色法具有使配色試樣與給定色澤標(biāo)樣在 CIE 兩種標(biāo)準(zhǔn)施照態(tài)(D65 和 A)下同時(shí)達(dá)到等色的特點(diǎn) 银觅。如果能使配色試樣與標(biāo)樣在施照態(tài) D65 光源下的三刺激值及施照態(tài) A 光源下的 X 刺激同時(shí)達(dá)到匹配礼饱，則配色試樣在與標(biāo)樣之間在施照態(tài) A 光源下的 Y、Z 刺激值也可達(dá)到匹配 ,這就是“四刺激值”匹配的配色思想究驴。

四刺激值匹配與 Allen 提出的配色理論十分相似镊绪，這里就不再贅述。文章通過(guò)實(shí)驗(yàn)證實(shí)纳胧，該四刺激值配色法的配色性能得到了優(yōu)化镰吆。

[5] 全光譜色差型權(quán)重因子計(jì)算機(jī)配色方法研究
目前，基本上有兩種計(jì)算機(jī)配色方法：三刺激值匹配和全光譜匹配跑慕。

Allen 建立的配色方法為三刺激值匹配万皿，其基本思想是使匹配色與目標(biāo)色間的三刺激值差趨近零摧找。而全光譜匹配方法是使配方的反射率曲線和樣品的反射率曲線的差別達(dá)到最小，以達(dá)到小色差的目的牢硅，其基本思想是 ：

其中 k_i 是一種權(quán)重因子蹬耘。權(quán)重因子的建立是全光譜匹配方法中一個(gè)非常重要的因素，此論文設(shè)計(jì)和使用了一種色差型的權(quán)重因子减余，其表達(dá)式為：

這里 x(λ_j)综苔、y(λ_j)、z(λ_j)表示為 CIE 標(biāo)準(zhǔn)觀察者三刺激值位岔，E(λ_j)表示光源的相對(duì)光譜功率分布如筛。這種權(quán)重因子的確立，可以根據(jù)假設(shè) ∑ (△X_j)² + (△Y_j)² + (△Z_j)² = min 而獲得抒抬。也就是說(shuō)杨刨，假設(shè)在可見(jiàn)光波段，每個(gè)波長(zhǎng)處的光譜偏差引起的顏色三刺激值偏差的平方總和達(dá)到最小擦剑。

結(jié)果表明妖胀，使用這種色差型權(quán)重因子進(jìn)行計(jì)算機(jī)配色，色差比已知的幾種權(quán)重因子配色方法要小惠勒。

[6] Kubelka-Munk 理論在紡織印染自動(dòng)配色中的應(yīng)用研究
[7] 涂料配色中的一階光譜近似規(guī)劃方法

以上修正大多適用于低濃度配色赚抡，且它們只修正了非線性的問(wèn)題（K/S 與 c 的非線性關(guān)系），對(duì)于非加和性問(wèn)題則沒(méi)有提及：① 沒(méi)有考慮在濃度較高的情況下介質(zhì)中相鄰粒子的相干作用纠屋，這直接影響色料混合加和定律的準(zhǔn)確性涂臣；② 理論模型中色料加和混合模型具有數(shù)學(xué)加和特性，但實(shí)際中應(yīng)為物理加和或疊加原理即矢量加和巾遭。

色料加和混合模型自 1940 年被以假設(shè)形式提出至今肉康，并未得到過(guò)證明。2009 年楊紅英發(fā)現(xiàn)“色料加和混合模型”存在問(wèn)題灼舍，即在一定條件下：

1. 色料的 K-M 吸收系數(shù)吼和、散射系數(shù) K 與 S 和濃度 C 不成線性關(guān)系；
2. 在色料的吸收波段骑素，著色物的散射系數(shù) S 隨色料濃度增加而減徐排摇；
3. 吸收和散射相互影響献丑，K 和 S 在色料的吸收波段高度負(fù)相關(guān)末捣；
4. 多色料混合時(shí)，線性加和所得到的 K 和 S 值在某些波段多出實(shí)測(cè)值很多创橄，甚至產(chǎn)生額外新峰箩做，S 值還會(huì)出現(xiàn)負(fù)值，這與色料加和混合模型不相符妥畏。

總結(jié)而言邦邦，色料加和混合模型的主要問(wèn)題包括兩個(gè)方面：

1. 非線性問(wèn)題

在雙常數(shù)理論中安吁，提出的“線性關(guān)系”為：K_i = c_ik_i 以及 S_i = c_is_i ；單常數(shù)理論中的“線性關(guān)系”為：(K / S)_i = c_i(k / s₀)_i燃辖，即 K_i = c_ik_i. 但實(shí)際上鬼店，它們與濃度之間的關(guān)系都并不是線性的：

針對(duì)這一問(wèn)題，很多學(xué)者認(rèn)為非線性是由表面反射引起黔龟，故提出了很多表面反射修正公式（常用的是桑德森修正）妇智；但楊紅英指出表面反射并不是非線性的根本原因。

研究人員除了采用改進(jìn)線性度或非線性擬合氏身、回歸巍棱、插值、非線性規(guī)劃等統(tǒng)計(jì)方法观谦、數(shù)值處理方法處理 K-M 光學(xué)系數(shù) K拉盾、S、K / S 與濃度 C 的關(guān)系外豁状，也有學(xué)者不使用 K-M 光學(xué)參數(shù)而直接采用色度學(xué)參數(shù)（如 RGB 值）與濃度的非線性關(guān)系。

但是對(duì)非線性關(guān)系的擬合也存在問(wèn)題倒得，它們只能對(duì)特定濃度區(qū)間有效泻红，且不僅對(duì)這些系數(shù)無(wú)法解釋，而且與當(dāng)濃度增大到一定程度后 K/S 值趨于不變這一事實(shí)不相符霞掺。

2. 非加和問(wèn)題

非加和問(wèn)題即多組分混合物的吸收和散射系數(shù)不能通過(guò)各單獨(dú)組分的吸收和散射系數(shù)的數(shù)學(xué)加和來(lái)計(jì)算谊路。

二、光學(xué)模型的分析

1. 吸收系數(shù)
   表征介質(zhì)吸收作用的光學(xué)參數(shù)有吸收截面和吸收系數(shù)菩彬，吸收截面定義為被吸收光功率與入射光強(qiáng)之比缠劝；吸收系數(shù)則為單位程長(zhǎng)一個(gè)光量子被吸收的概率。假如吸收粒子均勻分布骗灶，密度為 ρ惨恭，則吸收系數(shù) ε 與吸收截面 C_a 滿足關(guān)系：ε = ρC_a .

對(duì)于純吸收無(wú)散射的介質(zhì)，可使用比爾-郎伯定律耙旦。

2. 散射系數(shù)
   表征介質(zhì)散射作用的散射截面和散射系數(shù)具有與吸收截面和吸收系數(shù)相同的定義與關(guān)系脱羡。經(jīng)過(guò)距離 τ 后，沒(méi)有被散射的光強(qiáng)為： I = I₀e^-στ . σ 為散射系數(shù)免都。

3. 散射分類

• 相關(guān)與非相關(guān)散射
  相關(guān)散射锉罐，指分散在媒介中的散射顆粒產(chǎn)生的散射，由于相鄰顆粒之間距離較小绕娘，以至顆粒的散射受其他顆粒的影響脓规。非相關(guān)散射，由于相鄰粒子之間距離很大险领，以至散射顆粒的散射不會(huì)因?yàn)槠渌w粒的存在而受到影響侨舆，在研究這類問(wèn)題時(shí)升酣，可僅考慮不同散射顆粒光強(qiáng)的簡(jiǎn)單增加，而不去考慮其相位關(guān)系态罪。
• 單散射與復(fù)散射
  單散射指每一個(gè)散射顆粒都僅對(duì)入射光進(jìn)行散射噩茄，即入射光通過(guò)介質(zhì)時(shí)，僅發(fā)生單次散射复颈；復(fù)散射指有部分顆粒會(huì)對(duì)其它散射顆粒的散射光進(jìn)行二次或多次散射绩聘，即入射光通過(guò)介質(zhì)時(shí)進(jìn)行了多次的散射。

對(duì)于不相關(guān)的單散射耗啦，由 N 個(gè)顆粒組成的顆粒群的散射強(qiáng)度等于這 N 個(gè)顆粒散射強(qiáng)度的數(shù)學(xué)相加凿菩。

4. K-M 吸收與散射系數(shù)和真實(shí)吸收與散射系數(shù)的關(guān)系

• Kubelka 曾對(duì) K-M 模型進(jìn)行過(guò)有效性驗(yàn)證，得出在漫射光照射下有：K = με = 2ε 帜讲，S = vσ = 2σ .
• Li.Yang 從光的傳播路徑分析加上對(duì)前后向散射的不同的考慮認(rèn)為：

• Richard 和 Mudgett 從 Multi-Flux 出發(fā)得到：

三衅谷、計(jì)算機(jī)配色算法的拓展與改進(jìn)

上圖中，虛線代表 Allen 于 1966 年和 1973 年提出的 K-M 單常數(shù)理論和 K-M 雙常數(shù)理論的矩陣形式似将，即在每個(gè)波長(zhǎng)處取一階微分近似获黔，然后通過(guò)重復(fù)法進(jìn)行配色的修正。

Allen 提出的配色算法中在验，使用了一種近似關(guān)系（以 K-M 單常數(shù)理論為例）：

經(jīng)實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)玷氏，微分近似矩陣對(duì)配方計(jì)算結(jié)果影響顯著，故有必要對(duì)這一關(guān)系進(jìn)行改進(jìn)腋舌。針對(duì)這一問(wèn)題盏触，可以通過(guò)高階逼近的方法來(lái)改進(jìn)。以 K-M 單常數(shù)配色為例块饺，通過(guò)取泰勒展開(kāi)的二階項(xiàng)導(dǎo)出配色方程赞辩。

假設(shè)：R = f (K / S)，由泰勒展開(kāi)則有：

也可以寫(xiě)為：

其中：

【總結(jié)】理論上來(lái)講授艰，改進(jìn)計(jì)算機(jī)配色方法無(wú)非通過(guò)四種方式：

1. 對(duì) K-M 模型改進(jìn)并將之應(yīng)用于計(jì)算機(jī)配色辨嗽；
2. 對(duì)色料加混合模型的非線性進(jìn)行修正改進(jìn)并將之應(yīng)用于計(jì)算機(jī)配色；
3. 對(duì)色料加混合模型的非加和性進(jìn)行修正改進(jìn)并將之應(yīng)用于計(jì)算機(jī)配色想诅；
4. 微分近似矩陣召庞，即泰勒展開(kāi)的線性項(xiàng)可用高階項(xiàng)代替；

除此之外来破，對(duì)配色方程組的優(yōu)化求解也很重要篮灼，求解的方法使用不當(dāng)將導(dǎo)致迭代算法的收斂速度慢甚至發(fā)散，所以對(duì)這個(gè)途徑的研究也很有價(jià)值徘禁。

四诅诱、對(duì)色料加混合模型的修正

1. 針對(duì)非線性關(guān)系的改進(jìn)
   傳統(tǒng)配色方法為利用染料某一波長(zhǎng)處 K/S 值，通過(guò)配色方程的計(jì)算得到一個(gè)初始配方送朱，然后用重復(fù)法進(jìn)行修正直到滿足要求娘荡。對(duì)于改進(jìn)后的配色方法干旁，則人為指定或通過(guò)計(jì)算得到初始濃度 C₀，通過(guò)插值的方法獲得其對(duì)應(yīng)的 K/S 值炮沐，并將其代入配色方程中争群，進(jìn)行計(jì)算得到一個(gè)新的濃度 C₁，并與 C₀ 比較是否滿足要求大年，滿足則輸出配方换薄，否則繼續(xù)上述過(guò)程直至滿足要求。
2. 針對(duì)非加和關(guān)系的改進(jìn)
   通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì) K/S 值的加和性驗(yàn)證翔试，發(fā)現(xiàn)：著色劑濃度較低時(shí)轻要，大致滿足加和性；著色劑濃度較高時(shí)垦缅，幾乎不滿足加和性冲泥。