源自網絡堂鲜，如有侵權，聯(lián)系刪除护奈。

數學方法論與數學教學改革

徐利治

作者簡介：

著名數學家缔莲、教授。1920年9月出生于江蘇省沙洲縣霉旗。1945年畢業(yè)于西南聯(lián)合大學痴奏，1946年冬加入中國共產黨。1951年后歷任清華大學與東北人民大學（現稱吉林大學）副教授及教授等職⊙崦耄現任吉林大學數學系教授及《數學研究與評論》雜志主編读拆。兼任中國科學院成都分院研究教授，大連工學院應用數學研究所所長及華中工學院數學系名譽系主任等職鸵闪。在漸近分析檐晕、函數逼近論、計算方法蚌讼、組合數學及數學基礎等方面發(fā)表過 110 篇專題論文辟灰。若千項成果在國內外專家的著作中多次被引用并推廣。有的被命名為 “徐氏公式”篡石、“徐氏逼近”芥喇、“徐氏多項式” 等。出版的數學專著主要有《漸近積分和積分逼近》凰萨、《高維數值積分》继控、《計算組合數學》、《函數逼近的理論與方法》以及《淺談數學方法論》沟蔑、《數學方法論選講》等湿诊。科研成果中的《數值逼近與數值積分》一項曾獲1982年國家自然科學三等獎瘦材。

自1981年以來厅须，筆者曾在大連、長春食棕、武漢的三所高等院校講授過數學方法論課程朗和，并曾在其它一些城市作過方法論的多次講演错沽。1983年還由華中工學院出版社出版了拙著《數學方法論選講》一書，發(fā)現不少數學教師和哲學工作者對所述及的題材內容都很感興趣眶拉。有些讀者還在來信中提到方法論對培養(yǎng)師資和改革數學方法的重要性千埃。這就引起筆者寫作本文的動機。本文打算從數學方法論角度來探討數學教學改革的有關問題忆植。但提出的觀點和建議未必正確合用放可，僅供有興趣的讀者參考討論而已。

一般都認為朝刊，作為科學方法論重要分支的數學方法論耀里，主要是研究數學發(fā)展規(guī)律、數學結構的思想方法以及數學的發(fā)現拾氓、發(fā)明與創(chuàng)新等法則的一門學問冯挎，顯然它與數學教育與教學法研究有著不可分割的聯(lián)系，所以它能引起數學教師們的普遍關注咙鞍，也是理所當然的事了房官。

多少年來，無論是中學數學教本或是大學數學各門課程的教材续滋，都是無例外地把數學知識力求組織成演繹結構系統(tǒng)來進行教學翰守。這有歷史的必然性。因為隨著人類文化的發(fā)展疲酌，數學科學知識的龐大積累潦俺，必須經過儲選和提煉，把最重要最精華的題材徐勃，用演繹法串聯(lián)起來事示，才能最有效地傳授給后代。人類的知識發(fā)展過程總帶有歷史階段性和邏輯演繹性僻肖，所以數學教材的編選肖爵，常常要反映歷史發(fā)展的順序和演繹推理的要求，這應該是眾所公認的準則臀脏。

但是劝堪，如果要培養(yǎng)具有數學想象力和創(chuàng)造力的青年一代，要使他們不僅能夠靈活地運用數學工具揉稚，而且還可能日后在科技上有所創(chuàng)新和發(fā)明秒啦，那么在教材教法中只注重傳授演繹性的數學知識，過分強調邏輯演繹推理的訓練搀玖，將是不利于達到上述目標的余境，

從方法論角度來看，數學真理知識的發(fā)現、發(fā)掘和推陳出新芳来，離不開對特殊實例的觀察含末、分析、歸納即舌、抽象概括和運用探索性推理等過程佣盒。所以重要的事情，是要教會學生運用科學歸納法顽聂，能從特珠例子中去發(fā)現出一般性的東西來（例如肥惭，從一批特殊結構關系中觀察出某種一般性結構或一般數量關系等等）。大家知道紊搪，十八十九世紀的杰出數學家歐拉（Euler）和高斯（Gauss）等人都是運用歸納法的大師务豺，他們所獲得的許多公式和定理，都是靠歸納法發(fā)現的嗦明。

歸納法和類比法常常被認為是發(fā)現數學真理的重要方法，前者是從特殊過渡到一般的思想方法蚪燕，后者是由此及彼以及由彼及此的聯(lián)想方法娶牌。只需略略瀏覽中外數學史，即可發(fā)現許多有深遠意義的極為重要的數學知識都是通過歸納法與類比法發(fā)掘出來的馆纳。這方面的題材和例子真是舉不勝舉诗良。因此在中學和大專學校的數學教材中理應有歸納法與類比法教材的適當位置。

歸納和類比離不開觀察鲁驶、分析和聯(lián)想鉴裹。因此，在數學教學中如果適當地加進這方面的有趣題材钥弯，則對培養(yǎng)學生的觀察力径荔、分析能力和聯(lián)想能力也是極有幫助的。值得歡迎的是脆霎，美籍匈牙利數學家兼數學教育家喬治.波利亞（0.Polya）的名著《數學的發(fā)現》总处、《數學中的歸納與類比》、《數學中的合情推理》（后兩書的中譯本起名為《教學與猜想》）已陸續(xù)譯為中文出版發(fā)行睛蛛。這些書包含有大量的有趣題材和富于啟發(fā)性的例子鹦马，相信對國內關心數學教學改革的同志們會有一定的參考價值。

波利亞所說的 “合情推理”（也稱似真推理）忆肾，實際上類似于愛因斯坦（A.Einstein）所倡導的“探索性演繹法”荸频，這種演繹法至少在兩點上不同于一般形式邏輯范圍內的演繹法：一是作為推理出發(fā)點的前提或條件多半是不夠充分的，或者是比較模糊的客冈，二是推理的前提或假設往往是一種不穩(wěn)定的猜測旭从。在推理過程中經常處于可更改的地位。例如，憑直觀猜到某命題的一部分必要條件或者可信以為真的條件遇绞，用以形象的直觀地（由猜想的外推）去“推斷”出某種結論來键袱，這便屬于第一種情形。在推理過程中發(fā)現作為假設的前提不盡正確而需要隨時加以修政補充的作法即屬于第二種情形摹闽。事實上蹄咖，許多有創(chuàng)造力的數學工作者，正是慣用這種探索性演繹法去發(fā)現和建立他們的定理和理論成果的付鹿。通常在數學的解題和證題過程中澜汤，人們也常常不自覺地試用著探索性演繹法，只是運用這種演繹法的技巧和能力水平各不相同而已舵匾。因此有關這種演繹法的題材也應該在教學與教材中占據一定的重要位置俊抵。舉例來說，數學中需要講述一些引人入勝的 “反例”坐梯，要揭示 “反例” 是怎樣發(fā)現出來的徽诲，不正是闡明 “探索性演繹法 的一種簡單應用嗎?

綜上所述，歸納吵血、類比和探索性演繹法通常是靠猜想與聯(lián)想（包括直觀想象）等心智運動串聯(lián)起來的谎替。這些心智活動形式能導致人們作出新的判斷和預見，能幫助發(fā)現數學真理蹋辅，包括發(fā)現新的數學關系結構钱贯、新的數學方法及數學命題等等。但是侦另，它們畢竟是一種非邏模的思維形式秩命，屬于現代心理學上所謂的 “發(fā)散思維 范疇，當然褒傅，并不能用以精確地建立數學命題和理論弃锐。最后要證明命題或定理，還必須用嚴格的邏輯分析與演繹推理殿托，即收斂思維拿愧。

因此，為了培養(yǎng)有創(chuàng)造發(fā)明能力碌尔，又有邏輯論證能力的數學師資和學生浇辜，應該在中學和大專院校的數學教學教材中，采用 “歸納與演繹交互為用的原則”唾戚。按照這條原則柳洋，不僅應該教學生學會運用科學歸納法試著去猜結論、猜條件叹坦、猜定理熊镣、猜證法，而且還要讓他們學會從探索性演繹法過渡到純形式的演繹法，能夠把預見到的合理命題或定理的這明一絲不茍地建立在邏輯演繹基礎上绪囱〔舛祝總而言之，在數學教學過程中鬼吵，既要發(fā)展學生的發(fā)散思維能力扣甲，又要培訓他們的收斂思維能力。既要教會學生進行嚴格邏輯推理齿椅，還要教會學生大膽進行不嚴格的消想琉挖、聯(lián)想和合情推理。

傳統(tǒng)的數學教育與教學似乎過份偏重于培養(yǎng)收斂思維能力涣脚，這對造就面向未來的科技人才來說示辈，自然是不夠理想的。因此我們認為 “歸納與演繹并用” 的原則在數學教學改革中應該是一條值得重視的原則遣蚀。

但是矾麻，又須把話說回來，數學往往以其特有的邏輯嚴密性而驕做芭梯，數學教師們又往往以講述為本職险耀。因此正象波利亞在《數學與猜想》一書中所指出的，一般教師都不愿向學生講述 “不嚴格的思想方法” （如猜想與合情推理等）粥帚，以免有損于 “威信”。而且限次，從歸納到演繹芒涡，首先需要觀察分析諸特例，作起來有時是很費工夫的卖漫，畢竟不象專講邏輯演繹那樣簡便而直接费尽。因此，如何恰當地使 “歸納演繹并用的原則” 體現到數學教改中去羊始，看來還有些思想認識問題是需要討論解決的呢旱幼。

青少年從小學、中學到大學突委，都要把許多時間花在數學學習上柏卤，但當他們進入社會從事各行各業(yè)的工作后，其中就有一個相當比例的人數匀油，再也用不著或者很少運用他們學過的數學知識缘缚，其中還有些人甚至對數學產生了 “那是枯燥無味太傷腦筋的玩意兒” 的錯覺。尤其是敌蚜，一些具有藝術愛好傾向的學生桥滨，往往更容易產生上述錯覺，有的人還對數學懷有敬而遠之的懼怕心理。

其實齐媒，上述情況可能是由于數學教育與教學中一貫忽視美學原則所導致的必然現象蒲每。作為科學語言的數學，具有一般語文文學與藝術所共有的特點喻括，既數學在其內容結構上和方法上也都具有自身的某種美邀杏，所謂數學美∷粒“數學美”的含義是豐富的淮阐，如數學概念的簡單性、統(tǒng)一性刁品，結構系統(tǒng)的協(xié)調性泣特、對稱性，數學命題與數學模型的概括性挑随、典型牲與普通性状您，還有數學中的奇異性等等都是數學美的具體內容。不僅在高等數學中兜挨，證且在初等數學中也處處存在這些數學美膏孟。例如，僅就 “對稱性” 而言拌汇，已故數學家外以耳（H.Weyl）就寫過一本討論這種數學美的著作柒桑，令人讀之興味盎然。

談到數學理論（結構或模型）的典型性噪舀，其思想方法實際上和文學創(chuàng)作中的典型性概念是很相似的魁淳。文學小說和藝術都要以具體背景素材為基礎，采用揚棄法或抽象法塑造出某種來自生活而又高于生活的形象典型与倡。數學理論界逛，其實也是以一些具體何題、具體材料為背錄纺座，通過歸納息拜、分析、抽象等一系列過程建立起來的模型結構或關系典型净响。當然切抽象物都有一個共同特征少欺，它們來自實際、反映實際馋贤，而又往往超出實際（所謂 “超出實際"狈茉，并不是說脫離實際，而是把一切有著可能性的對象也包括進去的意思掸掸，數學的抽急物具有邏輯演繹性氯庆，或許這是不同于藝術的主要之點）蹭秋。

因此，按照上述類比堤撵，完全可以教懂即使是具有藝術愛好傾向的學生們仁讨，使他們也能領會到 “數學美” 的享受。

數學教育與數學的目的之一实昨，應當讓學生們獲得對數學美的審美能力洞豁，從而既有利于激發(fā)他們對數學科學的愛好，也有助于增長他們的創(chuàng)造發(fā)明能力荒给。例如丈挟，在拙著的第十講中，筆者曾介紹了龐卡萊（Poincare）和阿達瑪（Eadamard）的 “數學領域的發(fā)明心理學”志电。姑且不論他們的觀點是否完全正確曙咽，但他們一致強調了的 “美的直覺” 在數學創(chuàng)造發(fā)明中的作用卻是大多數數學工作者所共有的經驗。事實上挑辆，馬克思也曾說過例朱，人類社會的生產活動是按照 “美學原則” 進行的。當然鱼蝉，作為精神生產物的數學知識之符合美學原則（或審美原則）也是無可懷疑的洒嗤。

因此，我和數學界許多同志都有同樣的看法魁亦，即認為數學教改中還應把 “數學中的審美原則” 盡可能體現到數學教材與教法中去渔隶。

為了在我國培養(yǎng)大批有創(chuàng)造才能的學生，高水平的數學師資的培養(yǎng)自然是刻不容緩的洁奈。我同意波利亞的觀點间唉，好的數學教師應保持良好的 “作題胃口”，顯然這種 “胃口” 將有利于感染學生去發(fā)展解題的興趣和才能睬魂。此外筆者還贊成數學教師能夠具有泛讀數學史的興趣终吼，且能涉獵一些創(chuàng)造心理與科學方法論镀赌。這樣氯哮，將有助于增長教師本身對數學科學的審美修養(yǎng)，從而能潛移默化地去感染學生們愛好數學

以上只是提了一些原則性觀點或建議商佛，至于如何在具體的數學教材改革與教法改革中去反映上述原則喉钢，那還有許多實際問題需要進一步討論研究。本文目的僅是拋磚引玉良姆，有何不當之處肠虽，敬希批評指正。