最近偶然發(fā)現(xiàn)了0.1+0.2 = 0.30000000000000004的現(xiàn)實(shí)，當(dāng)然類似于此的還有很多砰粹，比如0.7*n結(jié)果很多都是一個無限小數(shù)庐扫，本來以為這是千萬個js的坑之一炼杖，但是后來發(fā)現(xiàn)很多語言都有這個問題泳桦，這個問題并不是js的機(jī)制所導(dǎo)致的蜗字，而是所有語言的浮點(diǎn)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)IEEE 754所導(dǎo)致的打肝，所以，這篇文章想要大致分享一下探索過程以及究竟為什么會出現(xiàn)這樣的情況挪捕。

這篇文章的主題就是：垃圾浮點(diǎn)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)粗梭，自帶誤差，所以算出來不對不能怪電腦＜读恪６弦健（好了完了，誤）其實(shí)看了好久這個奏纪，本以為一下午就可以解決的事情鉴嗤，折騰了幾天的感覺（當(dāng)然主要也有工作穿插的原因嘛），最終雖然模模糊糊理解了大致的原因序调，但是不知道自己能不能真正的解釋清楚醉锅。嗯嗯，當(dāng)然浮點(diǎn)數(shù)不是垃圾发绢，IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)也是集結(jié)了前人智慧的硬耍，下面進(jìn)入正題。

分析這個問題边酒，其實(shí)需要了解原碼经柴，反碼，補(bǔ)碼等概念墩朦，然后會根據(jù)這些數(shù)碼進(jìn)行二進(jìn)制的運(yùn)算坯认，然后再從這些部分延申到二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)，再逐步分析浮點(diǎn)數(shù)的加減。但是這樣其實(shí)有點(diǎn)繁瑣牛哺，整理起來也沒那么簡單陋气，所以我們首先聚焦這個問題：0.1+0.2的結(jié)果按道理來說是0.3，但是為什么這里會有溢出呢荆隘？我們剛才也說到了IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)，那么我關(guān)注的就是這個標(biāo)準(zhǔn)赴背，浮點(diǎn)數(shù)在這個標(biāo)準(zhǔn)之下是怎樣進(jìn)行存儲的椰拒，導(dǎo)致了有溢出出現(xiàn)呢？

我們都知道凰荚，在計(jì)算機(jī)之中燃观，所有的數(shù)據(jù)都是二進(jìn)制存儲的，比如說數(shù)字5便瑟，二進(jìn)制表示為101缆毁，數(shù)字15，二進(jìn)制表示為1111到涂。而且在計(jì)算機(jī)中，數(shù)字的表示還是有一定格式的践啄，也就是精度。比如屿讽，有數(shù)據(jù)類型的限制是用8位表示，而且又要分正負(fù)伐谈，那么它的取值范圍就是-2^7 ~ 2^7-1（c++中的char類型烂完，就是這樣的取值范圍，有人可能會疑惑為什么不是-128 ~ 128诵棵，這個稍后再講）。所以如果用這樣的類型表示數(shù)字履澳，5就是00000101，15就是00001111奇昙，采用高位用0補(bǔ)齊的方式存儲到內(nèi)存當(dāng)中护侮。

那浮點(diǎn)數(shù)怎么辦呢？諸如20.4储耐，30.67羊初，0.5等等或簡單或復(fù)雜的小數(shù)，我們首先發(fā)現(xiàn)的問題是小數(shù)位該怎么去表示长赞。我們在中學(xué)中有學(xué)到整數(shù)的表示法可以稱為“除2取余法”，比如5/2 = 2 ……1得哆，2/2 = 1……0，1/2 = 0 …… 1贩据，所以5表示為101，這么做的原因就是5可以表示為12^2+02^1+1*20矾芙。那么我們反過來思考小數(shù)，是不是也可以表示成2^{e相加（e為負(fù)數(shù)）的形式剔宪，但是遺憾的是，2}-1 = 0.5葱绒， 2^-2 = 0.25斗锭，不像2的正數(shù)次方那么有規(guī)律哈街，所以注定有些數(shù)我們是表示不了的拒迅。但是作為一個完整的運(yùn)算系統(tǒng)，這些數(shù)字我們是不可能舍棄的呀璧微，所以我們只能近似的取到這些數(shù)字。

等等胞得，我們好像還沒說浮點(diǎn)數(shù)該怎么表示屹电，怎么好像已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了浮點(diǎn)數(shù)會出問題的原因了阶剑。其實(shí)只想知道大致為什么的同志危号，到這里就可以over了，其核心原因就是外莲，本身用二進(jìn)制來表示小數(shù)就會難以覆蓋猪半，所以采用了一種近似的方式兔朦，既然是近似，那么有誤差的出現(xiàn)磨确，似乎也沒那么奇怪了。下面將結(jié)合我的了解和資料的查詢分析乏奥，探索一下究竟是怎樣的二進(jìn)制存儲與運(yùn)算才導(dǎo)致了這樣的情形。

首先就是剛才還未說完的二進(jìn)制表示浮點(diǎn)數(shù)恨诱，對于小數(shù)部分驶悟，我們需要使用“乘2取整法”材失，例如0.875
0.875*2 = 1.75 整數(shù)部分 1
0.75 * 2 = 1.5 整數(shù)部分 1
0.5 * 2 = 1.0 整數(shù)部分 1

所以0.875的二進(jìn)制的小數(shù)部分表示就是 111，我們逆向計(jì)算一下龙巨，12^-1 + 12^-2 + 1*2^-3 = 0.875
從理論數(shù)據(jù)上我們看到，這樣做是沒錯的旨别，雖然我們選擇的數(shù)據(jù)可能有點(diǎn)那么“正正好”。

那么接下來我們就碰到了下一個嚴(yán)峻的問題铭若，小數(shù)點(diǎn)怎么辦递览？二進(jìn)制是沒有辦法表示小數(shù)點(diǎn)的呀，那就輪到我們的IEEE 754登場了绞铃。在計(jì)算機(jī)中，浮點(diǎn)數(shù)（此處以單精度float32位為例荚坞，當(dāng)然js使用的也是這一個菲盾，在c++等語言中還有雙精度double64位颓影，這個位就是剛才我所說的精度的概念）采用了一種特別的方式去保存懒鉴，在涉及到小數(shù)位的時候，你需要先把小數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制向上面那樣咆畏，0.875轉(zhuǎn)換成了0.111，然后通過移位讓數(shù)字的整數(shù)部分為1旧找，形成1.xxxxx * 2^{e的形式，所以0.111就可以表示成1.11*2}-1钮蛛。在IEEE 754之中，浮點(diǎn)數(shù)的存儲分為三個部分岭辣，在各種文獻(xiàn)中的解釋極其正規(guī)的解釋了三部分叫做甸饱，sign bit，exponent bias叹话，fraction，emmm大致是如下結(jié)構(gòu)

image.png

他們各自的命名是符號為氏豌，偏移量（移碼热凹，階碼）

注：
原碼是一個數(shù)的二進(jìn)制，而反碼是這個數(shù)對于當(dāng)前數(shù)位的滿值的補(bǔ)值般妙。啊，這句話說的我自己都不理解什么意思霹陡，舉個例子(一下用四位進(jìn)行表示止状，一位符號位烹棉，三位真值域)：

a = 2 (0010)
a取反怯疤，a的反碼0101，記作b=5
a+b = 0111 = 7伏社，為當(dāng)前數(shù)位的滿值，即2^n-1
這個道理其實(shí)恰恰印證了模運(yùn)算的合理性與應(yīng)用在二進(jìn)制運(yùn)算上的正確性