作者：王國波

這次講換元法废菱。

"換元法"中的換就是替換婶肩，元就是符號變量陵霉。

換元法的定義：在解決某些數(shù)學問題時，根據(jù)問題的特征和關(guān)系引入適當?shù)囊粋€或多個中間輔助變量(變元)來替換問題中的一些數(shù)學對象,例如代數(shù)式析孽，化繁為簡搭伤，使得原問題變得簡單或簡潔，達到轉(zhuǎn)化問題的目的袜瞬。

對換元法的基本介紹也可以參考百度百科上的詞條：換元法怜俐。

? 首先要理解為何要換元和換元的作用。

? 可以用超市中的購物袋來類比邓尤，如果購買了多個瑣碎的小東西不好攜帶拍鲤，此時用一個大的購物袋囊括后就解決了，攜帶問題變簡單了汞扎，我們在從超市回家路上季稳，注意力轉(zhuǎn)移到購物袋而不是袋中的小東西，我們面向的是購物袋澈魄，而不是袋子內(nèi)部的小東西景鼠。數(shù)學中的換元法也是這樣，代數(shù)式中一些數(shù)學對象的”外觀”看著不順眼痹扇，因為它的整體和它內(nèi)部的細節(jié)同時呈現(xiàn)铛漓，復雜的細節(jié)淹沒了整體，造成干擾擾亂我們的注意力鲫构，亂花漸欲迷人眼浓恶，看上去眼花繚亂，缺乏層次性结笨，增加了問題的復雜性包晰，妨礙解題，所以通過換元來改變問題的‘’外觀”炕吸。換元法主要運用整體思想和簡化思想伐憾，凸顯數(shù)學對象本質(zhì)的整體結(jié)構(gòu)，簡化表象形式算途，過濾掉了內(nèi)部細節(jié)的干擾塞耕，化繁為簡，從而將注意力聚焦于整體結(jié)構(gòu)嘴瓤，去偽存真扫外，而不是被內(nèi)部的低層次對象和結(jié)構(gòu)所干擾。它一般不會改變整體結(jié)構(gòu)廓脆，改變的是問題的表象形式筛谚，通過改變表象形式，達到凸顯問題本質(zhì)和轉(zhuǎn)化問題的功效停忿，使問題變簡單變熟悉變順眼驾讲。

換元還涉及到一個問題，換掉哪些數(shù)學對象？從上面的講述很容易得到識別換元目標的大原則：誰不‘’美‘’就換誰吮铭，哪里不‘’美‘’就換哪里时迫，哪里覺得復雜就換哪里。這和家電谓晌、水電維修更換零配件一樣掠拳，誰使壞就換誰，哪里壞就換哪里纸肉∧缗罚“不美”、“復雜”的地方一般就是存在矛盾的地方柏肪，而換元是實現(xiàn)矛盾轉(zhuǎn)化或改造的一種手段姐刁。

換元法在初等數(shù)學和高等數(shù)學中都有廣泛的應(yīng)用，很多代數(shù)題烦味，比如方程聂使、函數(shù)、不等式拐叉、多項式相關(guān)的題幾乎都會用到換元法岩遗，再比如高等數(shù)學中的換元積分法。

換元法的類型有多種凤瘦，可從不同的維度來分類宿礁。

1.按換元的具體手法來分，有整體換元蔬芥、三角換元梆靖、均值換元、對稱換元笔诵、和差換元返吻、比例換元、萬能換元乎婿、目標換元测僵、參數(shù)換元等。

2.按換元的范圍大小來分谢翎，有局部換元和整體換元捍靠。此整體換元和上面1.中的整體換元有不同的上下文，上面的整體換元是從整體思想的角度來分的森逮。

3.按換元前后變量個數(shù)的變化來分榨婆，有增元換元和減元換元。例如數(shù)學思想方法揭秘-8中的第49題就利用了減元換元褒侧，經(jīng)過變形和換元后良风，從兩個變量a和b減少為一個變量谊迄。

4.按換元的方向來分，有正向換元和逆向換元烟央。正向換元：原變量是中間變量的函數(shù)统诺，即中間變量是函數(shù)自變量,原變量是因變量。逆向換元：中間變量是原變量的函數(shù)吊档，原變量是自變量篙议。

百度百科上的詞條：換元法中已經(jīng)有例子，這里再用幾道題來舉例講解下?lián)Q元法怠硼。

1）整體或局部換元法，例如數(shù)學思想方法揭秘-3-4(原創(chuàng))第9題(替換為中間變量a)移怯、數(shù)學思想方法揭秘-5(原創(chuàng))中的第32題香璃、數(shù)學思想方法揭秘-18后記3中的18.4題(替換為中間變量t)和18.5題。

2)? 均值換元法舟误，和平均數(shù)有關(guān)葡秒，例如數(shù)學思想方法揭秘-18后記3中的18.7題。換元法有多種嵌溢，自然就會有疑問眯牧，它們之間的區(qū)別與聯(lián)系？在什么情況下適合均值換元而不是其他類型的換元赖草？也就是適合用均值換元的場景学少，這里不給答案，先自己想一想秧骑，也可在實踐中總結(jié)出來版确。

再舉一例運用均值法的高中題，和三角函數(shù)有關(guān)乎折。

這題要發(fā)現(xiàn)題目中的數(shù)值特征和關(guān)系特征：不等式右邊數(shù)值的平方特征绒疗、均值特征。由均值特征聯(lián)想到均值換元法骂澄，這個聯(lián)想也體現(xiàn)辯證法的普遍聯(lián)系吓蘑，沒有這種聯(lián)系就無法聯(lián)想，此處的聯(lián)系就是右邊數(shù)值的平方根(派/4)與區(qū)間中點均值的聯(lián)系坟冲，它們存在相等關(guān)系磨镶。

兩變量或兩端情況(例如區(qū)間左右兩端)下的均值換元，均值就類似杠杠或天平中間的支點樱衷，有一種不動點棋嘲、對稱或平衡的中道意味。

3) 三角換元法和比例(比值)換元法

這道題的三種方法均采用換元法矩桂。

第一種方法運用整體換元法沸移，按已知條件平方差分解因式后的結(jié)構(gòu)特征(兩個因式相乘)痪伦，將兩個因式換成中間變量a和b，換元之后的ab=1就直觀地凸顯了原已知條件中存在兩個因式相乘的本質(zhì)特征雹锣。

第二種方法是三角換元法网沾，用正切進行換元。對圓方程和橢圓方程蕊爵，一般用正弦和余弦來進行換元辉哥，例如,則令.

對, 則令。 數(shù)學思想方法揭秘-3-5(原創(chuàng))中的第14題也運用了三角換元攒射。

第三種方法是比例換元法醋旦，令,理解成比例，就是令y/x=t会放，可把t看成是比值參數(shù)附迷，和參數(shù)法有些類似衅码。從這題的第二種方法可以得出：如果題目已知條件和結(jié)論中的代數(shù)式均為齊次遏考，一般可用比例換元法逐纬。這題的已知條件是二次齊次式，結(jié)論也是齊次矢沿，當然已知條件和結(jié)論的次數(shù)可以不同滥搭。在分式情況下，如果分子分母的次數(shù)相同捣鲸，也可考慮比例換元瑟匆。

比例換元，齊次不是必須的摄狱，但齊次比較適合比例換元脓诡。對非齊次多項式，一般要求次數(shù)只有兩種媒役。存在常數(shù)項有時不便于比例換元祝谚，此時要想法對常數(shù)項進行變量化處理。

比例換元酣衷，一般要求換元后經(jīng)過運算量較小的運算就能得到用比值參數(shù)表示的變量或代數(shù)式交惯。

正如除法有一種規(guī)約化歸一化的功能，比例換元也具有消元減元穿仪、歸一化功能席爽，從而簡化問題。另外它也有類似參數(shù)法的解耦功能啊片。

4) 和差換元只锻，基于對偶思想，就是a+b紫谷、a-b這種相加相減的形式齐饮，均值換元最終也是和差換元捐寥。數(shù)學思想方法揭秘-6(原創(chuàng))中的第37題，用b-c=m祖驱，b+c=n進行換元握恳，就是和差換元，也是逆向換元捺僻。有時也會直接正向和差換元乡洼，類似

b=m+n,c=m-n。由于線性關(guān)系匕坯，正向和逆向是可以相互轉(zhuǎn)化的束昵。

5) 常數(shù)(數(shù)值)換元，從具體到抽象醒颖，從常量到變量妻怎，把題目中的數(shù)字或代數(shù)式換成符號字母(元)。數(shù)學思想方法揭秘-3-3(原創(chuàng))第3題泞歉，把2017這個常數(shù)換成n就是常數(shù)換元。小學時求無限循環(huán)小數(shù)對應(yīng)的有理數(shù)分式匿辩，就是用常數(shù)換元腰耙，令，也是整體換元铲球。換元后兩邊乘以1000得到挺庞，。

求的值稼病，這個式子中有無限多個5选侨。根據(jù)辯證思維詞匯表中的內(nèi)容，無限和有限可以相互轉(zhuǎn)化然走。對這種無限循環(huán)形式援制，根據(jù)整體思想，把這個無窮無盡的對象結(jié)構(gòu)用一個符號(字母)來代替來進行換元芍瑞，把它變成有限晨仑。類似西游記中的法寶乾坤袋，即便是無窮無盡的天地宇宙也可以裝入一個尺寸有限的乾坤袋中拆檬，也類似我們購物時的米袋子洪己，不關(guān)心里面有多少顆微小的米粒，更不用關(guān)心米袋子中裝有多少原子電子竟贯，不考慮內(nèi)部細節(jié)答捕，只關(guān)心整體，只需要能把握有限大小的袋子屑那。

令拱镐，這樣t這個有限的符號就代表了無限多個5的結(jié)構(gòu)艘款。再根據(jù)無限循環(huán)的結(jié)構(gòu)特征可得，解方程求出t痢站。嚴謹?shù)姆椒ㄟ€要先證明這個式子的收斂性磷箕。

6) 對稱換元，在原變量對稱的情況下阵难，按類似韋達定理的結(jié)構(gòu)進行換元岳枷，例如

解方程.

空繁。

令朱庆。

如果是3個未知數(shù)娱颊，那對應(yīng)就用三個中間變量進行換元箱硕。

7) 倒數(shù)換元拴竹，例如解系數(shù)對稱的方程 。觀察方程惠昔，可發(fā)現(xiàn)除了二次系數(shù)幕与，其它系數(shù)具有對稱性。因為x=0不是方程的根镇防，可以對方程兩邊除以后整理

為,令 啦鸣，得到關(guān)于t的一元二次方程。

8) 增量換元营罢，利用不等和相等的辯證關(guān)系赏陵，將不等關(guān)系轉(zhuǎn)化成相等，例如,或令饲漾，這里t為增量蝙搔。

a>1,則令a=1+t(t>0)。例如題目中分蘋果考传，每人至少一個,設(shè)每個人分的蘋果數(shù)量為吃型，

則可設(shè)為非負整數(shù)僚楞。

9) 萬能換元法勤晚，和三角函數(shù)萬能公式有關(guān)枉层，是利用如下半角正切公式來進行換元。

10）目標換元或自身換元&對象換元

目標換元是針對所求的結(jié)論赐写，把所求的結(jié)論當成一個整體對象進行換元鸟蜡。常數(shù)(數(shù)值)換元中的和就是目標換元，無限變有限挺邀，得到

揉忘。

我們在數(shù)學思想方法揭秘-1(原創(chuàng))中提到的對象化&概念化思想，如下圖端铛，在實際解題時很多就是用的換元法泣矛，例如求某個代數(shù)式的最大值或最小值，運用整體換元禾蚕，例如令這個代數(shù)式=a您朽。

目標換元舉例。

初中題换淆。已知x,y均為正數(shù)哗总，。

目標換元可簡單理解為求什么換什么倍试，本題其實是求xy魂奥，最大值是它的一個屬性，所以把看成一個整體對象進行換元易猫。

解：令

則,代入：

由韋達定理可知，上述關(guān)于x的一元二次方程具壮，如果判別式大于等于0准颓，則方程必有正根。

由判別式

故的最大值為棺妓。

再舉一例目標換元攘已。初中題，求怜跑。

這題在初中也有多種方法样勃，高中還可用三角換元。

11）參數(shù)換元

有多個原變量性芬，且原變量之間存在緊密的相互聯(lián)系峡眶，當這種緊密聯(lián)系有時成為解題障礙，束縛我們的手腳時植锉，此時可通過參數(shù)換元引入中間輔助變量(參數(shù))解耦原變量之間的聯(lián)系辫樱，使原變量之間沒有直接聯(lián)系或聯(lián)系變?nèi)趸蜃兒唵巍Ｖ虚g變量類似幾何輔助線俊庇，起到媒介橋梁的溝通作用或潤滑劑或化學中的催化劑活化劑的作用狮暑，打開問題中的死結(jié)鸡挠，讓僵硬的關(guān)系變得有活性，能更好地發(fā)生變化反應(yīng)搬男，數(shù)學中的各種運算拣展、變形可以和化學反應(yīng)類比理解。

例如前面講的比例換元y=tx缔逛，就是引入比例系數(shù)t這個參數(shù)構(gòu)造線性關(guān)系(y和x的關(guān)系在形式上成為線性)备埃，線性關(guān)系顯然簡單。

初中的等比定理證明可以理解為使用了參數(shù)換元译株，換的是連等式中的'等值'或相等關(guān)系瓜喇。

高中圓錐曲線參數(shù)方程，也有參數(shù)換元的味道歉糜，可以理解為替換的是x和y之間的直接聯(lián)系乘寒。

不要拘泥于上面列出的11種換元法，而是要緊緊抓住換元法的主要目的匪补，就是化繁為簡地進行變換變化伞辛，哪里繁，哪里不美就換哪里就變哪里夯缺，可以對已知條件中的代數(shù)式進行換元蚤氏，也可對結(jié)論中的進行換元。例如有時覺得一個題目中的對數(shù)式繁瑣踊兜，那就可以令進行換元或變換竿滨，將變?yōu)閠。

換元法捏境，首先要識別出需要被替換的對象于游，前面講過識別換元目標的大原則，結(jié)合本系列文章所介紹的思想方法垫言、策略和經(jīng)驗技巧贰剥，比如觀察、矛盾分析法筷频、關(guān)系思想蚌成。

這里再舉個例子，用不等式問題講解如何找出需要被替換的目標對象：找復雜對象凛捏、哪里復雜就換哪里担忧、找多次重復出現(xiàn)的復雜對象，進行整體替換葵袭。

這道題的證明方法之一如下圖涵妥，對三個分式進行換元蓬网，它們是被替換的對象窒所，用t1、t2帆锋、t3 替換它們吵取。

單變量換元與多變量換元。在原題中如果只有一個變量锯厢，通常情況下用單變量換元一般就可解決問題皮官，但有時要用多變量換元。

解實數(shù)方程.

觀察方程实辑，只有一個變量,左邊有一個3次根號項和一個2次根號項捺氢，兩個根號形式都比較復雜，所以如果我們只換一個就會顧此失彼剪撬，首尾不能兼顧摄乒，例如只換掉，那2次根號還是復雜残黑，所以我們引入2個變量進行換元。

令梨水，則

將代入后再因式分解可得：拭荤。

換元法的常用類型就介紹完了，當然實際情況下可能不限于這些疫诽。

另外換元法和關(guān)系思想中的關(guān)系下鉆和內(nèi)涵下鉆舅世、關(guān)系增強有些聯(lián)系，就是深挖數(shù)學對象之間的關(guān)系奇徒，將表面看起來關(guān)系不密切的數(shù)學對象歇终，通過關(guān)系下鉆和關(guān)系增強，讓他們的關(guān)系變密切逼龟。深挖數(shù)學對象的內(nèi)涵，掘地三尺追葡，深入挖掘出數(shù)學對象的內(nèi)涵腺律，達到豐富和展開它蘊含的隱藏的內(nèi)涵和價值信息。這個可體會數(shù)學思想方法揭秘-6(原創(chuàng))中的第37題宜肉，也就是前面講的和差換元匀钧。

這就是通過換元法達到下鉆的效果，像鉆井的鉆頭一樣往下鉆谬返，深入挖掘出之斯、壓榨出隱藏的蘊含的關(guān)系，或者說凸顯隱藏的密切關(guān)系遣铝。

在我今日頭條'數(shù)學之道'上也有幾道題運用了深挖蘊藏的內(nèi)涵和信息的方法佑刷，這里舉其中一道題來加以說明莉擒。

自己思考上圖中是怎么想到要進行1-x=t的換元。換元后得到方程4和5瘫絮，下一步如果想不出令m=m1m2,n=n1n2涨冀，那這題就卡在方程4、5這里麦萤，動彈不得鹿鳖，陷入僵局。

粗與細壮莹，整體與部分翅帜、組合與分解、表與里的辯證關(guān)系命满，看到方程4涝滴，要能感覺到這個式子中蘊含有精妙精微的信息，這個方程式周荐，其中有物狭莱，其中有精，其中有信概作，值得深入推敲腋妙。

換元令m=m1m2 , n=n1n2，就是順應(yīng)上圖方程4的結(jié)構(gòu)特征中蘊含的提示信息讯榕，因形就勢對m和n進行分解骤素，挖掘和凸顯表達出m和n蘊含的隱藏的內(nèi)涵和信息，也順勢挖掘出t1和t2的內(nèi)涵：t1=m1n1 , t2=m2n2愚屁。通過引入m1济竹、m2、n1霎槐、n2作為中介（中間變元/中間量）送浊，穿針引線，深入挖掘丘跌，打通了t1袭景、t2、m闭树、n之間的隱含的內(nèi)在聯(lián)系耸棒，盤活打破了先前的僵局，解開了問題中的死結(jié)报辱。

通過這篇講解与殃，應(yīng)該能理解換元法中體現(xiàn)的整體思想，和數(shù)學思維中無所不在的辯證思維，因為辯證法就是變化法幅疼。

通過學習這系列文章中和今日頭條"數(shù)學之道"中的思想方法和解題思維過程米奸，要能體會到“數(shù)學是鍛煉思維的體操”這句話的含義。通過學習數(shù)學來鍛煉思維能力衣屏，幾乎各種有助于解決問題(不限于數(shù)學問題)的思維方式和思想包括哲學思想特別是辯證法都能在實踐中得到良好的體驗和鍛煉躏升，沒有比這種鍛煉方式更絕妙更合適的了。

題外：

粗略總結(jié)下數(shù)學思維的一些原則和性質(zhì)：(靈活)辯證狼忱、理性化膨疏、批判性、創(chuàng)新性钻弄、系統(tǒng)化佃却、結(jié)構(gòu)化、簡單化窘俺、簡潔化饲帅、直觀化、形象化瘤泪、形式化灶泵、抽象化等等，