一《高等代數(shù)》概念定義

擺線：動(dòng)圓在定圓外側(cè)滾動(dòng)時(shí)源梭，點(diǎn)P形成的軌跡是外擺線官套；動(dòng)圓在定圓內(nèi)側(cè)滾動(dòng)時(shí)蜀备，點(diǎn)P形成的軌跡就是內(nèi)擺線雀扶。若動(dòng)圓不再繞定圓兩側(cè)滾動(dòng)杖小，而讓這個(gè)動(dòng)圓在一條定直線上滾動(dòng)時(shí)，那么動(dòng)圓上的點(diǎn)P形成的軌跡就是擺線愚墓。擺線也叫"圓滾線"予权，畢竟是一個(gè)圓在直線上滾動(dòng)時(shí)，圓上的一個(gè)點(diǎn)形成的曲線浪册。

伴隨矩陣：代數(shù)余子式構(gòu)成的矩陣

標(biāo)量矩陣

補(bǔ)子空間：給定子空間的直和是線性空間的子空間扫腺。設(shè)W是數(shù)域P上的線性空間V的 子空間 ，滿足條件V=W+W′村象，且W∩W′= {0}的子空間W′稱為W的余子空間斧账，如果W是一個(gè)真子空間，則W的余子空間是不惟一的煞肾。

代數(shù)余子式

單位矩陣：在矩陣的乘法中咧织，有一種矩陣起著特殊的作用，如同數(shù)的乘法中的1籍救，這種矩陣被稱為單位矩陣习绢。它是個(gè)方陣，從左上角到右下角的對(duì)角線（稱為主對(duì)角線）上的元素均為1蝙昙。除此以外全都為0闪萄。

典型群：與歐幾里得空間的對(duì)稱密切相關(guān)的四族無窮多李群。術(shù)語“經(jīng)典”的使用取決于語境奇颠，有一定的靈活性败去。這個(gè)用法可能源于赫爾曼·外爾，他的專著 Weyl (1939) 以“典型群”為題烈拒。在菲利克斯·克萊因愛爾蘭根綱領(lǐng)的觀點(diǎn)下圆裕，也許反映了它們和“經(jīng)典”幾何（classical geometry）的關(guān)系。有時(shí)在緊群的限制下討論典型群荆几，這樣容易處理它們的表示論和代數(shù)拓?fù)湎抛薄５沁@把一般線性群排除在外，當(dāng)前都認(rèn)為一般線性群是最典型的群吨铸。和典型李群相對(duì)的是例外李群行拢，具有一樣的抽象性質(zhì)，但不屬于同一類诞吱。

對(duì)稱群：對(duì)稱群是指含置換群為子類的一類具體的有限群舟奠。有限集合Ω上全體置換組成的群竭缝，稱為Ω上對(duì)稱群，記為SΩ或Sym(Ω)沼瘫。由于當(dāng)|Ω|=|Ω′|=n時(shí)抬纸，對(duì)稱群SΩ和SΩ′是置換同構(gòu)的，所以也把SΩ記為Sn晕鹊。Sn的階為n!松却。一切次數(shù)為n的置換群都可以看成Sn的子群暴浦，Ω上全體偶置換組成的群稱為Ω上的交錯(cuò)群溅话，記為AΩ或Alt(Ω)，或An歌焦，若n=|Ω|飞几，則An的階為n!/2，它是Sn的指數(shù)為2的正規(guī)子群独撇。Sn屑墨，An這兩個(gè)群在置換群理論和抽象群論中占有特殊的地位。這一方面由于對(duì)一切n纷铣，Sn是n重傳遞群卵史，而當(dāng)n>2時(shí)，An是n-2重傳遞群搜立；另一方面也由于當(dāng)n≥5時(shí)以躯，An為單群，它們是一類重要的有限單群啄踊。

對(duì)換：

反稱矩陣

范德蒙德行列式

仿射標(biāo)架

仿射子空間

仿射坐標(biāo)

分塊對(duì)角矩陣

施密特正交化

規(guī)范正交基

核空間

恒同映射

基礎(chǔ)解系

奇置換

漸伸線

鏡射

零化度

內(nèi)擺線

內(nèi)積

歐幾里得空間

偶置換

平面束

特殊正交群

同構(gòu)

同態(tài)

外積

系數(shù)矩陣

線性流形

線性無關(guān)

線性子空間

一般線性群

增廣矩陣

正交變換

直和

轉(zhuǎn)置矩陣

自同態(tài)

伴隨矩陣（Adjoint Matrix）：對(duì)于一個(gè)方陣A忧设，其伴隨矩陣是一個(gè)方陣，位于A的右側(cè)颠通，其元素是由A的代數(shù)余子式組成的址晕。

增廣矩陣（Augmented Matrix）：對(duì)于兩個(gè)矩陣A和B，增廣矩陣是將它們合并成一個(gè)矩陣[A|B]的方法顿锰，其中B的列添加到A的右側(cè)谨垃。

對(duì)角矩陣（Diagonal Matrix）：一個(gè)方陣被稱為對(duì)角矩陣，如果其非對(duì)角線上的元素都為零硼控。

塊矩陣（Block Matrix）：一個(gè)矩陣乘客，其中包含其他的矩陣塊作為其元素，這些塊可以是方陣淀歇，也可以是行或列向量易核。

基礎(chǔ)解系（Basic Solution Set）：對(duì)于一個(gè)線性方程組，其基礎(chǔ)解系是一組線性無關(guān)的解浪默，它們可以生成所有的解牡直。

特征方程（Characteristic Equation）：對(duì)于一個(gè)方陣A缀匕，其特征方程是一個(gè)多項(xiàng)式方程，用于找到A的特征值碰逸。它通常表示為det(A-λI)=0乡小，其中λ是未知特征值，I是單位矩陣饵史。

特征多項(xiàng)式（Characteristic Polynomial）：對(duì)于一個(gè)方陣A满钟，其特征多項(xiàng)式是關(guān)于特征值的方程，通常表示為charpoly(A)=det(A-λI)胳喷。

系數(shù)矩陣（Coefficient Matrix）：在方程組中湃番，系數(shù)矩陣是包含未知數(shù)指數(shù)和系數(shù)的矩陣。

代數(shù)余子式（Cofactor）：對(duì)于一個(gè)方陣A的某一行和某一列吭露，其代數(shù)余子式是A的子矩陣的行列式吠撮，該子矩陣由該行和該列刪除。

列向量（Column Vector）：一個(gè)m×1的矩陣讲竿，通常被視為一個(gè)有m個(gè)元素的列向量泥兰。

行列式（Determinant）：對(duì)于一個(gè)方陣A，其行列式是所有可能的對(duì)角線元素乘積的代數(shù)值题禀。

對(duì)角元素（Diagonal Entries）：對(duì)于一個(gè)方陣A鞋诗，其對(duì)角元素是位于主對(duì)角線上的元素。

特征空間（Eigenspace）：對(duì)于一個(gè)方陣A的特征值λ迈嘹，其特征空間是所有對(duì)應(yīng)于λ的特征向量的線性組合削彬。

特征值（Eigenvalue）：對(duì)于一個(gè)方陣A，其特征值是使方程det(A-λI)=0成立的值λ江锨。

特征向量（Eigenvector）：對(duì)于一個(gè)方陣A的特征值λ吃警，其特征向量是滿足(A-λI)v=0的向量v。

特征向量的基（Eigenvector Basis）：對(duì)于一個(gè)方陣A啄育，其特征向量的基是由A的所有線性無關(guān)的特征向量組成的集合酌心。

初等矩陣（Elementary Matrix）：由一行或一列的元素倍增或倍減引起的單位矩陣的初等變換對(duì)應(yīng)的矩陣。

行初等變換（Elementary Row Operations）：用于將一個(gè)矩陣簡(jiǎn)化的三種標(biāo)準(zhǔn)變換：交換兩行挑豌，將一行乘以非零常數(shù)安券，以及將一行加上另一行的倍數(shù)。

滿秩（Full Rank）：對(duì)于一個(gè)矩陣氓英，如果其行或列向量是線性無關(guān)的侯勉，那么它具有滿秩。

通解（General Solution）：對(duì)于一個(gè)線性方程組铝阐，其通解是該方程組的所有解的一般形式址貌。

齊次線性方程組（Homogeneous Linear Equations）：具有零右側(cè)項(xiàng)的線性方程組。

單位矩陣（Identity Matrix）：一個(gè)方陣，其中主對(duì)角線上的元素都為1练对，其余元素都為0遍蟋。

不定二次型（Indefinite Quadratic Form）：不能由平方和的正項(xiàng)組成的不完全二次型。

二次型（Quadratic Form）是一個(gè)非常重要并且廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)概念螟凭。它是一個(gè)多項(xiàng)式虚青，其每個(gè)項(xiàng)的次數(shù)都是2，且所有的項(xiàng)都有相同的變?cè)螖?shù)螺男。二次型是代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要研究對(duì)象棒厘，與二次域、二次有理數(shù)下隧、二次方程等都有密切聯(lián)系奢人。二次型的理論在物理學(xué)、幾何學(xué)汪拥、概率論等領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用达传。例如篙耗，在物理學(xué)中迫筑，二次型的理論可以用來描述物體的運(yùn)動(dòng)軌跡、光的傳播等宗弯；在幾何學(xué)中脯燃，二次型的理論可以用來描述二次曲面；在概率論中蒙保，二次型的理論可以用來描述高斯分布等辕棚。二次型的標(biāo)準(zhǔn)形式是 ax^2 + bxy + cy^2，其中a邓厕、b逝嚎、c都是實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)，且a≠0详恼，c≠0补君。如果一個(gè)二次型可以用標(biāo)準(zhǔn)形式表示，那么我們稱其為正規(guī)二次型昧互。如果一個(gè)二次型不能用標(biāo)準(zhǔn)形式表示挽铁，那么我們稱其為非正規(guī)二次型。

無限維空間（Infinite-dimensional Space）：具有無限多個(gè)元素的線性空間敞掘。

內(nèi)積（Inner Product）：對(duì)于兩個(gè)向量v和w叽掘，其內(nèi)積是在實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)域上的標(biāo)量值，由它們的坐標(biāo)相乘并加總得到玖雁。

逆矩陣（Inverse of Matrix）：對(duì)于一個(gè)可逆方陣A更扁，其逆矩陣是一個(gè)滿足(A^(-1))A=I的方陣A^(-1)。

線性組合（Linear Combination）：由一組向量線性組合得到的向量。

二概率論

概率（Probability）：概率是描述結(jié)果可能性大小的數(shù)值浓镜，其取值范圍在0到1之間赊堪。

隨機(jī)事件（Random Event）：在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件。

樣本空間（Sample Space）：一個(gè)試驗(yàn)所有可能結(jié)果的集合竖哩。

事件（Event）：樣本空間中的一部分哭廉，用來描述所感興趣的結(jié)果。

樣本點(diǎn)（Sample Point）：樣本空間中的元素相叁，即試驗(yàn)的一個(gè)可能結(jié)果遵绰。

頻率（Frequency）：某個(gè)事件發(fā)生的次數(shù)與總試驗(yàn)次數(shù)之比。

概率分布（Probability Distribution）：描述試驗(yàn)結(jié)果屬于某個(gè)結(jié)果區(qū)間的可能性大小的函數(shù)增淹。

概率密度函數(shù)（Probability Density Function）：描述某個(gè)結(jié)果附近極限小區(qū)間內(nèi)的概率總和的函數(shù)椿访。

期望值（Expected Value）：對(duì)于一個(gè)隨機(jī)變量，其所有可能取值的概率乘以該值后的總和虑润。

方差（Variance）：描述隨機(jī)變量離散程度的度量成玫，等于每個(gè)隨機(jī)變量平方的期望值減去期望值的平方。

標(biāo)準(zhǔn)差（Standard Deviation）：方差的平方根拳喻，也用來描述隨機(jī)變量的離散程度哭当。

協(xié)方差（Covariance）：用來描述兩個(gè)隨機(jī)變量線性相關(guān)程度的統(tǒng)計(jì)量。

相關(guān)系數(shù)（Correlation Coefficient）：協(xié)方差除以兩個(gè)隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差的乘積冗澈，用于衡量?jī)蓚€(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)程度钦勘。

離散數(shù)學(xué)的一些重要概念及解釋如下：

命題邏輯：研究基于命題的邏輯推理。

謂詞邏輯：研究基于謂詞的邏輯推理亚亲。

邏輯代數(shù)：將邏輯關(guān)系抽象為代數(shù)形式彻采，實(shí)現(xiàn)邏輯的符號(hào)化。

集合論：研究集合及其子集捌归、交集肛响、并集、補(bǔ)集等概念及其運(yùn)算惜索。

關(guān)系：研究元素之間的對(duì)應(yīng)和連接方式特笋。

圖論：研究圖的組成元素、圖的性質(zhì)以及圖形結(jié)構(gòu)等問題门扇。

函數(shù)：一種映射或?qū)?yīng)關(guān)系雹有，將輸入值映射到輸出值。

邏輯推理：根據(jù)已知條件臼寄，通過推理得出結(jié)論霸奕。

遞歸：一種自我調(diào)用的函數(shù)或過程，可以用于定義遞歸問題和遞歸解決問題的方法吉拳。

證明論：一種數(shù)學(xué)方法质帅，通過構(gòu)造一個(gè)有效的證明來證明一個(gè)命題成立。

計(jì)算理論：研究計(jì)算的本質(zhì)和計(jì)算的效率問題，包括算法煤惩、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)嫉嘀、時(shí)間復(fù)雜度等。

可計(jì)算性理論：研究哪些計(jì)算問題是可解的魄揉，哪些是難以解的剪侮，以及計(jì)算問題的分類等問題。

概率論：研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)規(guī)律洛退，包括事件的概率瓣俯、條件概率、獨(dú)立性等概念及其運(yùn)算兵怯。

離散概率：研究基于離散量的概率及其分布彩匕，包括離散分布、離散密度等概念及其運(yùn)算媒区。

數(shù)理統(tǒng)計(jì)：研究基于數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)推斷驼仪，包括參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)袜漩、方差分析等概念及其運(yùn)算绪爸。

布爾代數(shù)：處理邏輯運(yùn)算和位運(yùn)算的代數(shù)系統(tǒng)，布爾代數(shù)的元素只有兩個(gè)噪服，真和假毡泻。

集合的勢(shì)：比較兩個(gè)集合大小的一種方式胜茧。

關(guān)系的閉包：在一個(gè)內(nèi)部函數(shù)中粘优，能夠調(diào)用外部作用域中的變量甚至參數(shù)。

等價(jià)關(guān)系：是一種二元關(guān)系呻顽，具有自反性雹顺、對(duì)稱性和傳遞性。

偏序關(guān)系：是一種二元關(guān)系廊遍，具有自反性嬉愧、反對(duì)稱性和傳遞性。

三集合論

集合論是數(shù)學(xué)的一個(gè)基本的分支學(xué)科喉前，它研究的是一般集合的性質(zhì)和規(guī)律没酣。以下是集合論的一些重要概念及其解釋：

集合（Set）：這是集合論中最基本的概念。一個(gè)集合是由一組抽象對(duì)象構(gòu)成的整體卵迂。這些對(duì)象可以是具體的裕便，如蘋果、皮球见咒，也可以是抽象的偿衰，如數(shù)字、圖形、函數(shù)下翎。

元素（Element）：這是構(gòu)成集合的個(gè)體缤言，通常用小寫的拉丁字母表示。一個(gè)元素可以屬于一個(gè)集合视事，也可以不屬于該集合胆萧。

成員關(guān)系（Membership）：元素與集合之間的關(guān)系就是成員關(guān)系。元素屬于一個(gè)集合時(shí)俐东，說該元素是該集合的成員鸳碧；元素不屬于該集合時(shí)，則稱該元素不是該集合的成員犬性。

空集（Empty Set）：不含任何元素的集合就是空集瞻离。空集是所有集合的子集乒裆。

子集（Subset）：如果一個(gè)集合的所有元素都是另一個(gè)集合的元素套利，那么該集合就稱為另一個(gè)集合的子集。

真子集（Proper Subset）：如果一個(gè)集合是另一個(gè)集合的子集鹤耍，且該兩個(gè)集合不相等肉迫，那么這個(gè)子集就是真子集。

并集（Union）：如果一個(gè)集合中的所有元素都是另一個(gè)集合中的元素稿黄，或者兩個(gè)集合中的元素有共同的元素喊衫，那么這兩個(gè)集合的并集就是包含所有這些元素的集合。

交集（Intersection）：如果一個(gè)集合中的元素同時(shí)是另一個(gè)集合中的元素杆怕，那么這兩個(gè)集合的交集就是這些相同的元素構(gòu)成的集合族购。

補(bǔ)集（Complement）：對(duì)于一個(gè)集合A，在所有元素中去掉A中的元素后剩下的元素構(gòu)成的集合陵珍，就是A的補(bǔ)集寝杖。

全集（Universal Set）：在討論某個(gè)特定的問題時(shí)，我們把所有相關(guān)的元素放在一起構(gòu)成一個(gè)特殊的集合互纯，這個(gè)集合就稱為全集瑟幕。

羅素悖論（Russell's Paradox）：這是由伯特蘭·羅素提出的一個(gè)關(guān)于集合論的自反性問題的悖論。該悖論指出留潦，如果一個(gè)集合是由所有的不是自身的元素的集合組成的只盹，那么這個(gè)集合是否是其自身的元素？

康托爾悖論（Cantor's Paradox）：這是關(guān)于集合論中的一個(gè)大小問題的悖論兔院≈潮埃康托爾悖論指出，在無限大的空間中秆乳，可以找到比任何給定集合更大的無限多的整數(shù)懦鼠。

勢(shì)（Cardinality）：集合中元素的數(shù)量稱為該集合的勢(shì)钻哩。在有限集合中，勢(shì)等于元素的數(shù)量肛冶；在無限集合中街氢，勢(shì)可以是一個(gè)無窮大的數(shù)字。

等勢(shì)（Equivalence）：如果兩個(gè)集合的勢(shì)相等睦袖，那么這兩個(gè)集合就是等勢(shì)的珊肃。例如，整數(shù)和偶數(shù)集都是自然數(shù)的子集馅笙，因此它們都是等勢(shì)的伦乔。

基數(shù)（Cardinality of a Set）：集合中元素的數(shù)量就是該集合的基數(shù)。例如董习，集合 {1, 2, 3} 的基數(shù)就是 3烈和。

無限集合（Infinite Set）：一個(gè)集合如果含有無限多個(gè)元素，那么這個(gè)集合就是無限集合皿淋。例如招刹，自然數(shù)集 N 是無限集合。

可數(shù)無限集合（Countably Infinite Set）：如果一個(gè)無限集合可以和自然數(shù)集N建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系窝趣，那么這個(gè)集合就是可數(shù)無限集合疯暑。例如，所有以 0 開頭的自然數(shù)集就是可數(shù)無限集合哑舒。

不可數(shù)無限集合（Uncountably Infinite Set）：一個(gè)無限集合不能和自然數(shù)集 N 建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系妇拯，那么這個(gè)集合就是不可數(shù)無限集合。例如洗鸵，所有的實(shí)數(shù)集 R 就是不可數(shù)無限集合越锈。

笛卡爾積（Cartesian Product）：對(duì)于兩個(gè)集合 A 和 B，它們的笛卡爾積就是由所有可能的元素對(duì)(a, b)構(gòu)成的集合预麸，其中 a 是 A 的元素瞪浸，b 是 B 的元素。

選擇公理（Axiom of Choice）：又稱為康托爾-伯恩施坦公理吏祸，它斷言任何一組非空集合，都能從每個(gè)集合中選取一個(gè)元素钩蚊，然后將這些元素合并成一個(gè)新的集合贡翘。

連續(xù)統(tǒng)假設(shè)（Continuum Hypothesis）：這是康托爾提出的一個(gè)假設(shè)，它斷言在所有的無窮大中砰逻，實(shí)數(shù)集R的勢(shì)是最大的鸣驱。換句話說，不存在比R的勢(shì)更大的無窮大集合蝠咆。

序關(guān)系（Ordering Relation）：一種二元關(guān)系踊东，用于描述兩個(gè)元素的大小順序北滥。常見的序關(guān)系包括小于（<）、大于（>）闸翅、不大于（≤）再芋、不小于（≥）等。

四數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)

總體（Population）：研究對(duì)象的全體稱為總體坚冀，它是一個(gè)隨機(jī)變量济赎，對(duì)應(yīng)著數(shù)據(jù)總和。

個(gè)體（Individual）：組成總體的每個(gè)基本單元稱為個(gè)體记某。

樣本（Sample）：從總體中抽取的一部分個(gè)體稱為樣本司训。樣本是總體的一部分，用于對(duì)總體的特征進(jìn)行推斷液南。

統(tǒng)計(jì)量（Statistic）：根據(jù)樣本計(jì)算出的一些量壳猜，用于對(duì)總體的特征進(jìn)行推斷。統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布滑凉。

參數(shù)（Parameter）：用來描述總體特征的量蓖谢。參數(shù)是根據(jù)總體數(shù)據(jù)計(jì)算的，用于推斷總體的特征譬涡。

假設(shè)檢驗(yàn)（Hypothesis Testing）：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)對(duì)總體參數(shù)進(jìn)行推斷的一種統(tǒng)計(jì)方法闪幽。通常采用某種顯著性水平進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，以判斷假設(shè)是否成立涡匀。

置信區(qū)間（Confidence Interval）：對(duì)于一個(gè)未知參數(shù)盯腌，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算出的一個(gè)區(qū)間，該區(qū)間包含該參數(shù)的真實(shí)值有一定程度的概率陨瘩。置信水平表示這個(gè)區(qū)間的可靠程度腕够。

假設(shè)檢驗(yàn)的p值（p-value in Hypothesis Testing）：當(dāng)原假設(shè)為真時(shí)，獲得現(xiàn)有樣本結(jié)果或者更極端結(jié)果的概率舌劳。p值越小帚湘，原假設(shè)成立的可能性就越小。

中心極限定理（Central Limit Theorem）：數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一個(gè)重要定理甚淡，它描述了當(dāng)樣本容量足夠大時(shí)大诸，樣本均值的分布接近于正態(tài)分布，無論總體是否服從正態(tài)分布贯卦。

方差分析（Analysis of Variance资柔，ANOVA）：一種用于比較兩個(gè)或多個(gè)組的方差的方法，以檢驗(yàn)它們是否具有顯著差異撵割。這是在科學(xué)和商業(yè)領(lǐng)域廣泛應(yīng)用的一種技術(shù)贿堰。

回歸分析（Regression Analysis）：研究一個(gè)或多個(gè)自變量和一個(gè)因變量之間的統(tǒng)計(jì)關(guān)系的一種方法，通過擬合回歸模型來預(yù)測(cè)因變量的值啡彬。

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)（Experimental Design）：一種科學(xué)方法羹与，通過合理地選擇實(shí)驗(yàn)條件和受試者來最大限度地提高實(shí)驗(yàn)的效度和效率故硅。

相關(guān)（Correlation）：描述兩個(gè)變量之間關(guān)系的強(qiáng)度和方向的統(tǒng)計(jì)量。相關(guān)系數(shù)介于-1和1之間纵搁，表示兩個(gè)變量之間的線性關(guān)系吃衅。

因果關(guān)系（Causal Relationship）：一個(gè)事件或因素的變化導(dǎo)致另一個(gè)事件或因素的變化的關(guān)系。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中诡渴，確定因果關(guān)系是一個(gè)重要的挑戰(zhàn)和研究領(lǐng)域捐晶。

時(shí)間序列分析（Time Series Analysis）：一種統(tǒng)計(jì)方法，用于預(yù)測(cè)一個(gè)變量的未來值妄辩，該變量具有時(shí)間順序特性惑灵，即觀察值隨著時(shí)間的推移而變化。

五組合數(shù)學(xué)

組合計(jì)數(shù)：研究滿足一定條件的組態(tài)（也稱組合模型）的存在眼耀、計(jì)數(shù)以及構(gòu)造等方面的問題英支。

組合設(shè)計(jì)：研究在給定距離和點(diǎn)集的條件下，如何安排點(diǎn)與點(diǎn)之間的連接方式哮伟，使得連接方式的數(shù)量達(dá)到最大干花。

組合矩陣：用于描述組合結(jié)構(gòu)的一種矩陣形式。

組合優(yōu)化：在給定一組對(duì)象中選擇一定數(shù)量的對(duì)象楞黄，使得它們的總價(jià)值最大或滿足某些特定的條件池凄。

六圖論

圖論是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，研究圖的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)鬼廓。以下是一些圖論的重要概念及相應(yīng)解釋：

圖（Graph）：由頂點(diǎn)（vertices）和邊（edges）組成的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)肿仑。頂點(diǎn)可以代表事物或?qū)ο螅厔t表示這些事物或?qū)ο笾g的連接或關(guān)系碎税。

頂點(diǎn)（Vertex）：表示某個(gè)事物或?qū)ο笥任俊Ｔ趫D論中，頂點(diǎn)也被稱為節(jié)點(diǎn)或點(diǎn)雷蹂。

邊（Edge）：表示兩個(gè)頂點(diǎn)之間的連接或關(guān)系伟端。邊可以是無向的（表示兩個(gè)頂點(diǎn)之間的雙向連接）或有向的（表示兩個(gè)頂點(diǎn)之間的單向連接）。

有向圖（Directed Graph）：邊是有方向的圖匪煌。

無向圖（Undirected Graph）：邊是無方向的圖责蝠。

權(quán)重（Weight）：每條邊都有一個(gè)預(yù)定義的權(quán)重，表示連接的強(qiáng)度或距離虐杯。

路徑（Path）：在圖中玛歌，從一個(gè)頂點(diǎn)到另一個(gè)頂點(diǎn)的路徑是指一系列連續(xù)的邊，每個(gè)邊的終點(diǎn)是下一個(gè)邊的起點(diǎn)擎椰。路徑的長(zhǎng)度是路徑上邊的數(shù)量。

最短路徑（Shortest Path）：在圖中创肥，從一個(gè)頂點(diǎn)到另一個(gè)頂點(diǎn)的最短路徑是指路徑長(zhǎng)度最短的路徑达舒。

連通圖（Connected Graph）：在圖中值朋，任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間都存在路徑的圖稱為連通圖。

非連通圖（Non-Connected Graph）：在圖中巩搏，存在至少兩個(gè)不連通的子圖的圖稱為非連通圖昨登。

度數(shù)（Degree）：頂點(diǎn)的度數(shù)是指與該頂點(diǎn)連接的邊的數(shù)量。

入度（In-Degree）：指向某個(gè)頂點(diǎn)的邊的數(shù)量稱為該頂點(diǎn)的入度贯底。

出度（Out-Degree）：從某個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的邊的數(shù)量稱為該頂點(diǎn)的出度丰辣。

二分圖（Bipartite Graph）：如果圖的頂點(diǎn)可以被分割為兩個(gè)互不相交的子集，并且每條邊都關(guān)聯(lián)這兩個(gè)子集中的頂點(diǎn)禽捆，那么這個(gè)圖就稱為二分圖笙什。

子圖（Subgraph）：一個(gè)圖的子圖是由原圖的一部分頂點(diǎn)和相應(yīng)的邊構(gòu)成的圖。

同構(gòu)圖（Isomorphic Graphs）：如果兩個(gè)圖的頂點(diǎn)和邊可以建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系胚想，使得每一條邊的權(quán)重和每一個(gè)頂點(diǎn)的度數(shù)都相同琐凭，那么這兩個(gè)圖就稱為同構(gòu)圖。

鄰接矩陣（Adjacency Matrix）：表示圖的一種方法浊服，其中矩陣的行和列對(duì)應(yīng)于圖的頂點(diǎn)统屈，而矩陣的元素表示相應(yīng)的兩個(gè)頂點(diǎn)之間是否有邊或邊的權(quán)重。

度矩陣（Degree Matrix）：一個(gè)方陣牙躺，其中對(duì)角線上的元素是相應(yīng)頂點(diǎn)的度數(shù)愁憔，非對(duì)角線上的元素為零。

拉普拉斯矩陣（Laplacian Matrix）：一個(gè)方陣孽拷，其中對(duì)角線上的元素是相應(yīng)頂點(diǎn)的度數(shù)減一吨掌，非對(duì)角線上的元素是相應(yīng)兩個(gè)頂點(diǎn)之間的邊的權(quán)重，如果沒有邊則該元素為零乓搬。

歐拉路徑（Eulerian Path）：在一個(gè)圖的歐拉路徑中思犁，所有頂點(diǎn)都必須被訪問一次且僅一次昔字。

歐拉回路（Eulerian Cycle）：在一個(gè)圖的歐拉回路中谭羔，所有頂點(diǎn)和邊都必須被訪問一次且僅一次。

哈密爾頓回路（Hamiltonian Cycle）：在一個(gè)圖中叁温，哈密爾頓回路是指訪問所有頂點(diǎn)一次且僅一次并回到起始點(diǎn)的路徑江掩。

二分圖最大匹配（Maximum Bipartite Matching）：在二分圖中找到最大的匹配數(shù)量学辱，即找到最多可以連接的沒有公共頂點(diǎn)的邊。

最大流問題（Maximum Flow Problem）：在一個(gè)有向圖中找到從一個(gè)源點(diǎn)到另一個(gè)匯點(diǎn)的最大流量环形，即在圖中找到可以通過的最大的流量策泣。

七解析幾何

圓錐曲線：圓錐曲線是平面上一條動(dòng)直線繞一定直線旋轉(zhuǎn)一周，與平面內(nèi)一定點(diǎn)及其遠(yuǎn)處定點(diǎn)的距離的比是常數(shù)e（即離心率抬吟，范圍是0<e<1）所形成的曲線萨咕，包括圓、橢圓火本、拋物線危队、雙曲線等聪建。

參數(shù)方程：參數(shù)方程是一種描述曲線的方法，通過引入?yún)?shù)來表示曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)茫陆。

極坐標(biāo)：極坐標(biāo)是一種描述點(diǎn)和直線的幾何方法金麸，通過角度和距離來描述點(diǎn)的位置。

仿射幾何：仿射幾何是一種研究在仿射變換下不變的幾何性質(zhì)的幾何學(xué)分支簿盅。

仿射變換（Affine Transform）是指在幾何中挥下，一個(gè)向量空間進(jìn)行一次線性變換并接上一個(gè)平移，變換為另一個(gè)向量空間桨醋。在有限維的情況棚瘟，每個(gè)仿射變換可以由一個(gè)矩陣和一個(gè)向量給出。

八實(shí)變函數(shù)

九復(fù)變函數(shù)

復(fù)變函數(shù)：以復(fù)數(shù)作為自變量和因變量的函數(shù)讨盒。

復(fù)平面：用于表示復(fù)數(shù)的平面解取，其中實(shí)軸表示實(shí)數(shù)，虛軸表示虛數(shù)返顺。

零點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)處的值為零禀苦。

極點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)處的左右極限存在但不相等。

留數(shù)：在無窮遠(yuǎn)處的極限值遂鹊，用于計(jì)算某些復(fù)數(shù)函數(shù)的積分振乏。

全純函數(shù)：復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在整個(gè)復(fù)平面上處處存在。

共軛函數(shù)：復(fù)變函數(shù)的共軛復(fù)數(shù)秉扑。

解析函數(shù)：全純函數(shù)的實(shí)部和虛部也是全純函數(shù)慧邮。是一個(gè)能展開為冪級(jí)數(shù)的復(fù)函數(shù)，通常在復(fù)平面的全純函數(shù)中尋找舟陆。解析函數(shù)的一些重要性質(zhì)包括：柯西積分公式误澳、柯西-黎曼方程、唯一性定理和魏爾斯特拉斯定理等秦躯。這些性質(zhì)在復(fù)變函數(shù)理論中有重要的地位忆谓，并被廣泛應(yīng)用于物理、工程和其他科學(xué)領(lǐng)域踱承。

唯一性定理：復(fù)變函數(shù)的解在無窮遠(yuǎn)處唯一確定倡缠。

柯西積分公式：用于計(jì)算復(fù)平面上某個(gè)簡(jiǎn)單閉曲線內(nèi)部的積分。

最大模原理：如果一個(gè)全純函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)不為零茎活，那么它在該點(diǎn)處的模是最大的昙沦。

魏爾斯特拉斯定理：如果一個(gè)全純函數(shù)在某一點(diǎn)處連續(xù)，那么它在該點(diǎn)處解析载荔。

解析延拓：通過解析延拓盾饮，可以將一個(gè)在某個(gè)區(qū)域解析的函數(shù)擴(kuò)展到更大的區(qū)域上。

單連通域與多連通域：根據(jù)復(fù)平面上的區(qū)域進(jìn)行分類，如果區(qū)域中任何簡(jiǎn)單閉曲線的內(nèi)區(qū)域中每一點(diǎn)都屬于該區(qū)域丐谋，則稱為單連通域芍碧，否則稱為多連通域煌珊。

柯西積分公式：用于計(jì)算復(fù)平面上某個(gè)簡(jiǎn)單閉曲線內(nèi)部的積分号俐，與曲線內(nèi)部的點(diǎn)有關(guān)。

共軛函數(shù)：復(fù)變函數(shù)的共軛復(fù)數(shù)定庵。

泰勒級(jí)數(shù)：將復(fù)變函數(shù)在某一點(diǎn)處展開為無窮級(jí)數(shù)的形式吏饿，其中包含該點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值。

洛朗茲級(jí)數(shù)：將解析函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處展開為無窮級(jí)數(shù)的形式蔬浙。

十抽象代數(shù)

群（Group）：群是一個(gè)由集合以及其上的一個(gè)二元運(yùn)算所組成的系統(tǒng)猪落。二元運(yùn)算指的是集合中的元素之間的運(yùn)算。

環(huán)（Ring）：環(huán)是一個(gè)由集合以及其上的兩個(gè)二元運(yùn)算所組成的系統(tǒng)畴博，這兩個(gè)二元運(yùn)算是加法和乘法笨忌。

域（Field）：域是一個(gè)由集合以及其上的兩個(gè)二元運(yùn)算所組成的系統(tǒng)，這兩個(gè)二元運(yùn)算是加法和乘法俱病，同時(shí)域中的乘法有逆元官疲。

向量空間（Vector Space）：向量空間是一個(gè)由集合以及其上的加法和標(biāo)量乘法所組成的系統(tǒng)。

模（Module）：一個(gè)模是一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)亮隙，包含一個(gè)集合和兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算（加法和乘法）途凫，其中加法滿足交換律和結(jié)合律，乘法滿足結(jié)合律溢吻。模的元素包括零元和單位元维费，加法和乘法都有逆運(yùn)算。

理想（Ideal）：在環(huán)或模中促王，一個(gè)理想是一個(gè)加法或乘法封閉的子集犀盟，滿足一定的性質(zhì)。

同態(tài)（Homomorphism）：在抽象代數(shù)的不同結(jié)構(gòu)之間（例如群蝇狼、環(huán)阅畴、模等），同態(tài)是一個(gè)保持結(jié)構(gòu)的映射题翰。同態(tài)可以用于研究原結(jié)構(gòu)和目標(biāo)結(jié)構(gòu)之間的相似性恶阴。

同構(gòu)（Isomorphism）：在抽象代數(shù)的不同結(jié)構(gòu)之間，同構(gòu)是一個(gè)雙射同態(tài)豹障，它建立了原結(jié)構(gòu)和目標(biāo)結(jié)構(gòu)之間的雙射關(guān)系冯事。同構(gòu)表示這兩個(gè)結(jié)構(gòu)在某種程度上是等價(jià)的。

多項(xiàng)式環(huán)（Polynomial Ring）：在環(huán)論中血公，多項(xiàng)式環(huán)是一個(gè)包含一組元素和一組變量的代數(shù)結(jié)構(gòu)昵仅，可以對(duì)其進(jìn)行多項(xiàng)式運(yùn)算。

伽羅瓦理論（Galois Theory）：伽羅瓦理論是一個(gè)將域和群聯(lián)系起來的理論，用于研究域中的方程求解問題摔笤。伽羅瓦理論的主要結(jié)果是伽羅瓦定理够滑，它證明了域上的方程可以用根式求解當(dāng)且僅當(dāng)該方程對(duì)應(yīng)的群是可解群。

線性代數(shù)（Linear Algebra）：線性代數(shù)是研究線性方程組吕世、向量空間彰触、矩陣等問題的數(shù)學(xué)分支。線性代數(shù)中的主要概念包括矩陣命辖、行列式况毅、向量、線性變換等尔艇。

李群（Lie Group）：李群是一個(gè)連續(xù)群尔许，它的元素可以以連續(xù)的方式從一個(gè)群元素變換到另一個(gè)群元素。李群在幾何學(xué)和物理學(xué)中有廣泛的應(yīng)用终娃。

十一拓?fù)鋵W(xué)

拓?fù)淇臻g：由一個(gè)集合和一組滿足特定條件的開集組成的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)味廊。這些條件包括：空集和全集都是開集，有限個(gè)開集的交集仍然是開集棠耕，任意多個(gè)開集的并集仍然是開集余佛。拓?fù)淇臻g是拓?fù)鋵W(xué)研究的基本對(duì)象。

連通性：拓?fù)淇臻g是否能夠被分割為兩個(gè)非空的不相交的開集昧辽，這兩個(gè)開集的并集等于整個(gè)空間衙熔。如果一個(gè)拓?fù)淇臻g不能被分割成兩個(gè)非空的不相交的開集，那么它就是連通的搅荞。例如红氯，實(shí)數(shù)線就是連通的，而實(shí)數(shù)線上的有限區(qū)間[0, 1]不是連通的咕痛。

基：拓?fù)淇臻g的一組基本開集痢甘，它們可以生成整個(gè)空間≤怨保基中的每個(gè)元素都被稱為一個(gè)開覆蓋塞栅。

緊致性：拓?fù)淇臻g是否在任意一個(gè)無限逼近的條件下能夠被有限個(gè)開集所覆蓋。例如腔丧，有限區(qū)間[0, 1]是緊致的放椰，而實(shí)數(shù)線不是緊致的。

分離性：拓?fù)淇臻g中的兩個(gè)點(diǎn)是否能夠被兩個(gè)不交的開集所分離愉粤。T0砾医、T1和T2分離性是分離性的不同等級(jí)。

道路連通性：如果拓?fù)淇臻g中的任何兩點(diǎn)都可以通過一條連續(xù)的路徑相互到達(dá)衣厘，那么這個(gè)空間就是道路連通的如蚜。

基本群：在同胚（同構(gòu)）的意義下压恒，一個(gè)拓?fù)淇臻g的局部性質(zhì)可以用基本群來描述。

同胚：如果存在一個(gè)從拓?fù)淇臻gX到拓?fù)淇臻gY的連續(xù)映射f错邦，并且f有一個(gè)連續(xù)的逆映射g探赫，那么我們就說X和Y是同胚的。

同構(gòu)：如果存在一個(gè)從拓?fù)淇臻gX到拓?fù)淇臻gY的雙射映射f撬呢，并且f和它的逆映射都是連續(xù)的伦吠，那么我們就說X和Y是同構(gòu)的。

拓?fù)洳蛔兞浚和負(fù)洳蛔兞康幕舅枷胧乔阒ィ绻麅蓚€(gè)拓?fù)淇臻g在細(xì)節(jié)上有所不同（即它們的同胚或者同構(gòu)關(guān)系不同）讨勤，那么它們的基本幾何性質(zhì)也會(huì)有所不同。