2_1-3 導數(shù)

常數(shù)的導數(shù)為 0

$(3)' = 0$

$x^n$ 的導數(shù)為 $nx^{n-1}$

$(x^3)' = 3x^2$

個數(shù)的負次方即為這個數(shù)的正次方的倒數(shù)

$\frac {1} {x}$ = $x^{-1}$
$( \frac {1} {x} )'$ = $( x^{-1} )'$ = $-x^{-2}$ = $-\frac {1} {x^2}$

正弦函數(shù)的導數(shù)是余弦函數(shù)

$(sinx)' = cosx$

余弦函數(shù)的導數(shù)是負正弦函數(shù)

$(cosx)' = - sinx$

$a^x$ 導數(shù) $a^x \ln a$

$(3^x) = 3^x \ln 3$
特殊的以e為底
$(e^x)' = e^x$

$\log a^x$ (a > 0, a ≠ 1) 的導數(shù) $\frac {1} {x \ln a}$

$(\log a^x)' = \frac {1} {x \ln a}$

特殊
$(\ln x)' = \frac{1} {x}$

二霎俩、函數(shù)的求導法則

1烤惊、函數(shù)的和差積商求導法則

$[u(x) ± v(x)]' = u'(x) ± v'(x)$

$[u(x) v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$

$[ \frac{u(x)} {v(x)}]' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)} {v^2(x)}$

三涕癣、復合函數(shù)求導

$\frac{d_y}{d_x} = f'(u)·g(x)$ 或 $\frac{d_y}{d_x} = \frac{d_y}{d_u}·\frac{d_u}{d_x}$

例1： $y = e^{x^3}$

$y = e^u , u = x^3$

$\frac{d_y}{d_x} = \frac{d_y}{d_u}·\frac{d_u}{d_x} = e^u · 3x^2 = 3x^2e^{x^3}$

例2： $y = \ln sin x$

$y = \ln u , u = sinx$

$\frac{d_y}{d_x} = \frac{d_y}{d_u}·\frac{d_u}{d_x} = \frac{1}{u}· cosx = \frac{cosx}{sinx} = cotx$

例3: $y= \sqrt[3]{1-2x^2}$

$y = u^{\frac{1}{3}} , u =1-2x^2$

$\frac{d_y}{d_x} = \frac{d_y}{d_u}·\frac{d_u}{d_x} = \frac{1}{3}(1-2x^2)^{-\frac{2}{3}}·-4x = \frac{-4x}{ 3\sqrt[3]{(1-2x^2)^2} }$

高階導數(shù)

例1 $y = ax+b$ 求 $y''$
$y' = a$ $y'' = 0$

例2 $y = \sqrt{2x-x^2}$ 求證 $y''y^3+1 = 0$
$y' = \frac{1}{2} \frac{1}{ \sqrt{2x-x^2}}·(2-2x) = \frac{1-x}{ \sqrt{2x-x^2}}$

$y'' = \frac{-\sqrt{2x-x^2} - (1 - x)\frac{2-2x}{2\sqrt{2x-x^2}}} {2x-x^2}$
$= \frac{-2x+x^2 - (1 - x)^2} {(2x-x^2)(\sqrt{2x-x^2})}$
$= -\frac{1}{(\sqrt{2x-x^2})^\frac{3}{2}} = -\frac{1}{y^3}$

正弦余弦n階導數(shù)

冪函數(shù)的n階導數(shù)

隱函數(shù)的導數(shù)

$y = sinx$ 完慧， $y = \ln x$ 阔逼， $y = 3x+1$ 這種叫做顯函數(shù)

$x + y^3 - 1 = 0$ 叫做隱函數(shù)

把隱函數(shù)化成顯函數(shù) 叫做 隱函數(shù)顯化

$x + y^3 - 1 = 0$ 顯化： $y = \sqrt[3]{1-x}$

例1 求方程 $e^y + xy -e = 0$ 所確定的隱函數(shù)的導數(shù) $\frac{ d_y }{d_x }$
$y' = \frac{ d_y }{d_x }$
方程左邊：
$e^yy' + x'y + xy' + e' = e^y \frac{ d_y }{d_x } + y + x \frac{ d_y }{d_x }$

方程右邊：
$0' = 0$

$e^y \frac{ d_y }{d_x } + y + x \frac{ d_y }{d_x } = 0$

$\frac{ d_y }{d_x } = - \frac{y}{x+e^y}$

例2 求方程 $y^5 + 2y - x - 3x^7 = 0$ 所確定的隱函數(shù)在x = 0 處的導數(shù) $\frac{ d_y }{d_x }\vert_{ x = 0}$
$5y^4\frac{ d_y }{d_x } + 2\frac{ d_y }{d_x } -1 - 21x^6 = 0$

$\frac{ d_y }{d_x } = \frac{1+21x^6}{ 5y^4+2 }$

因為當x = 0時原方程 y = 0
所以 $\frac{ d_y }{d_x }\vert_{ x = 0} = \frac{1}{2}$

擴展 (6-3_2隱函數(shù)求導)

$F_x = -1-21x^6$

$F_y = 5y^4+2$

$\frac{ d_y }{d_x } =- \frac{F_x}{F_y} = \frac{1+21x^6}{ 5y^4+2 }$

最后編輯于：2020.03.14 14:41:47

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