????????取定局部坐標修己，切叢限制在流形的該局部，我們有二元運算迎罗。任何線性的二元運算睬愤，在固定一個位置，缺省一個位置的情況下縮并為一個線性空間自同態(tài)纹安，稱由二元運算縮并而來的自同態(tài)稱為(關(guān)于這個二元運算的)內(nèi)自同態(tài)尤辱。（這在李代數(shù)里是標準的術(shù)語，只不過那時不強調(diào)是關(guān)于Lie括號[ ]的內(nèi)自同態(tài)）
????????點態(tài)的看厢岂，配備二元運算的線性空間(V光督，< >)的內(nèi)自同態(tài)InnEnd構(gòu)成代數(shù)，可以討論其交換子咪笑。
????????交換子作為End中的元素可帽，在基下有一個矩陣表示，
????????其中的定義為黎曼曲率張量窗怒，是一個四階張量映跟。
問題提出：
????????縱觀整個過程，交換子[·扬虚，·]只是代數(shù)中的一種運算努隙，如果構(gòu)造一個包含更多內(nèi)自同態(tài)的表達式，考慮他作為自同態(tài)的表示矩陣辜昵，可以得到更高階的張量嗎荸镊？比如
我隨手就根據(jù)S3中置換的奇偶性寫了一個看似很有道理的表達式，他顯然是一個End(TM_loc)中的元素，令它作用在向量e_l身上躬存，考慮其矩陣表示：
????????我可以聲稱H是一個五階張量嗎张惹？如果是，我們這樣下去是不是可以做出無窮無盡的有意思的張量來岭洲？為什么黎曼幾何的教材只寫到4階張量呢宛逗？
? ? ? ? 猜測：或許是因為后面這些高階的東西不是張量，或許是因為它們并不有意思盾剩。為了考察到底是哪個原因雷激，使得黎曼幾何不研究4階以上的張量，讓我們逐個去考察這兩個問題告私。
子問題1：什么樣的量是張量呢屎暇？
不是張量，而
是張量驻粟，這是如何達成的根悼？
下，考察Christofel符號的變化格嗅。
依定義有
番挺，其中A是坐標變換的雅可比矩陣之逆。
代入有
依第一變元的函數(shù)線性+對第二變元Lebniz性展開化簡屯掖，
得
即
為了對比系數(shù)，重置指標襟衰，
對比系數(shù)得?????????????????????????(? #? )
可悲贴铜，加法都干出來了，確實不是張量瀑晒。
????????加法是一次Lebniz律導(dǎo)致的绍坝，很難搞，但是如果希冀一個很棒很棒的消元法苔悦，把很多個(? #? )式相互做運算轩褐，類似消參一樣，最后消掉加法帶來的非張量性玖详，就可以得到張量了把介。
? ? ? ? 課本告訴我們有一個很好的量叫黎曼曲率張量。這相當于告訴我們蟋座，如果依Riemann曲率張量去構(gòu)造形如的量拗踢，則得到一種成功的消去加法的障礙、得到張量的一種消去法向臀。還有其他得到張量的方法嗎巢墅？是不是這就是為了得到張量所需進行的最少消元運算，使得其他所有理論上可能的張量都是黎曼曲率以某種標準的張量構(gòu)造方式生成的呢？立刻回想起前天吃午飯的時候看到的定理君纫。
（Weyl's Theorem 1929）
黎曼流形上逐點的保距變換不變量都可以用黎曼曲率張量及其協(xié)變導(dǎo)數(shù)來表示驯遇。
????????縱觀我們的結(jié)果叉庐，可以把一個與坐標有關(guān)的非張量通過運算達成一個“最簡”張量、使得所有其他張量都factor through最簡張量的過程双吆，叫做張量化眨唬。張量化的實質(zhì)困難在于用消元處理多指標和Lebiz律，Lebniz律理解為線性運算之外的一個形式運算好乐，（形式是無需考慮其是否由一個微分實現(xiàn)）匾竿，在形式張量理論中是一個實質(zhì)性困難。我們或許需要關(guān)于Lebiz律參與的抽象張量代數(shù)蔚万，以使得計算機來處理這個任務(wù)岭妖。
Weyl定理也解決了問題2，其他的更高階張量并不有意思反璃，因為我們已經(jīng)找到了所有張量的參數(shù)化張量昵慌。但是卻引發(fā)了
引申問題：
黎曼度量gij本身是張量，一同及其復(fù)雜的運算得到了R_ijkl是張量淮蜈，R本身是gij的函數(shù)斋攀。用R反解gij似乎是不可能的。用R表達出的東西也可以用g表達梧田，但是weyl定理說沒必要淳蔼！所有東西都是以R為單位打包好的！沒有特別特別碎的部分以至于必須把R再劈開成gij裁眯。
這就引發(fā)另一個問題：在郭帥老師課上鹉梨，我們見過Virasoro代數(shù)，Heisenberg代數(shù)穿稳，那時我們是用一個交換關(guān)系定義整個代數(shù)的存皂。。其中c我忘記了逢艘，也不重要旦袋。
當時就疑惑：為什么交換子關(guān)系就定義了整個代數(shù)呢？埋虹？其實對于一般的代數(shù)猜憎，這是不對的。只不過這里特殊代數(shù)的生成關(guān)系只由交換子來體現(xiàn)搔课。
而在我們的場景中胰柑，黎曼曲率張量在所有張量中有一個最原初的張量的地位截亦，而其構(gòu)造則是作為的結(jié)構(gòu)系數(shù)出現(xiàn)的，交換子在定義某些代數(shù)時的根本地位柬讨，和交換子的結(jié)構(gòu)系數(shù)Riemann張量在張量表示中的根本地位崩瓤，是有關(guān)聯(lián)的事情嗎？
