? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 論本科階段的理工科教育

（一）關(guān)于理工科學(xué)習(xí)屁柏，一個(gè)需要厘清的問題的大背景是：我們周圍同學(xué)的天賦、思維能力大概可以區(qū)分為普通與很好兩個(gè)基本層次砾隅；以當(dāng)年我所在的復(fù)旦數(shù)學(xué)系為例(復(fù)旦大學(xué)是中國最好的大學(xué)之一)唬滑，其中的大部分學(xué)生集中在“普通”層次澈圈，我大概屬于這個(gè)層次；而另外一小部分則屬于天資優(yōu)異巴帮、稟賦豐厚的層次溯泣，如沈維孝、吳文俊等榕茧。兩個(gè)層次之間的學(xué)生在思維能力上存在著巨大的差別垃沦，“很好”的學(xué)生與“普通”學(xué)生在學(xué)習(xí)效率上能夠相差數(shù)十倍以上。（我們周圍都有少數(shù)一些每天只學(xué)3、4個(gè)小時(shí)即能將全部課程學(xué)的很好的學(xué)生）不同個(gè)人的思維能力在具體知識層面的表現(xiàn)是：面對同樣的知識、同樣的內(nèi)容豆巨，兩個(gè)思維能力不同的個(gè)人在理解深度、掌握的熟練程度以及創(chuàng)造性運(yùn)用的程度這三個(gè)主要方面都有著很大的差異池充。從主動解決課后題和掌握具體知識的角度來看（這兩件事大體是同一件事），在本科畢業(yè)時(shí)缎讼，“普通”層次的學(xué)生只是掌握了很小一部分的知識要點(diǎn)收夸，因而只能解出很少部分課后題，而“很好”層次的學(xué)生大概能解出全部課后題血崭，即他們大致熟練地掌握了本科時(shí)接觸到的全部知識卧惜。

本科四年的求學(xué)期間，由于我對數(shù)學(xué)抱有的巨大熱情夹纫，學(xué)習(xí)較為刻苦咽瓷，可謂夜以繼日，白天除了聽課舰讹、用餐的時(shí)間以外茅姜，其他時(shí)間主要是在第二、三教等自習(xí)室全力自修月匣，晚間又分秒必爭地在第四钻洒、五教學(xué)樓自修奋姿，從早晨8點(diǎn)到深夜12點(diǎn)，每天繁忙的學(xué)習(xí)計(jì)劃都安排得很緊湊航唆。為了加深對課程的理解、做出家庭作業(yè)和準(zhǔn)備期末考試這三個(gè)目的院刁，我鉆研過很多習(xí)題集糯钙，比如針對高等代數(shù)認(rèn)真研習(xí)了兩三本習(xí)題集，針對數(shù)學(xué)分析也研究過很多習(xí)題集退腥，關(guān)于復(fù)變函數(shù)在圖書館也參考過若干習(xí)題集任岸。為了應(yīng)付作業(yè)，我們不得不投入大量的時(shí)間狡刘、精力在學(xué)習(xí)上享潜，我至今仍然記得為了按時(shí)交付作業(yè)在自習(xí)室苦讀泛函分析、代數(shù)拓?fù)湫崾摺⑵⒎址匠毯臀⒎謳缀蔚日n程時(shí)的緊張情形剑按。本科期間，我們上課時(shí)間在認(rèn)真聽老師授課澜术，下課的時(shí)間則反復(fù)閱讀教材以便能夠解答出作業(yè)題艺蝴，學(xué)習(xí)始終是我們大學(xué)四年的基調(diào)旋律；我想鸟废，大部分的理工科學(xué)生大體都經(jīng)歷了類似的生活狀態(tài)猜敢。但是，即便經(jīng)歷了如此刻苦的學(xué)習(xí)盒延，最后本科畢業(yè)之時(shí)缩擂，我的學(xué)習(xí)效果仍然很糟糕；當(dāng)時(shí)添寺，對數(shù)學(xué)分析而言我只能解出10%左右的最簡單的課后題胯盯，偏微分方程等課程也基本沒有入門（從今天較高的觀點(diǎn)來看），相關(guān)的課后題大部分我都不會做计露≡赡郑總之，在整個(gè)本科階段薄坏，我都對自己無法主動解題這一個(gè)核心問題感到很苦惱趋厉。造成這一基本現(xiàn)象的原因是很復(fù)雜的；其中胶坠，最核心的基本原因是思維境界太低君账，造成對知識的理解非常膚淺，學(xué)過一遍知識之后在頭腦中留下的只是模糊膚淺的印象沈善。整體而論乡数，我的本科階段學(xué)習(xí)效果不佳的本質(zhì)原因是我的思維能力較差椭蹄，處在“普通”的層次。我的這一學(xué)習(xí)狀態(tài)應(yīng)當(dāng)不是個(gè)例净赴，我想大部分理工科學(xué)生都與我有著相似的思想經(jīng)歷绳矩，即本科畢業(yè)之時(shí)對核心專業(yè)課程的掌握很不到位。

本科第四年期間（由于中國大學(xué)的特殊課程設(shè)置玖翅，我們在本科除了寫作畢業(yè)論文和實(shí)習(xí)之外翼馆，第四年期間沒有新的課程需要學(xué)習(xí)），我并沒有像某些學(xué)生一樣放松自娛金度，而是繼續(xù)保持著認(rèn)真學(xué)習(xí)的狀態(tài)应媚；此時(shí)，由于有了大量的閑暇時(shí)間猜极，因而中姜，我進(jìn)行了復(fù)習(xí)本科課程的工作；我重復(fù)學(xué)習(xí)的課程包括實(shí)變函數(shù)跟伏、偏微分方程以及復(fù)變函數(shù)等丢胚，當(dāng)時(shí)，我都在特定的教室里重新旁聽教師們授課受扳，因此嗜桌，我的知識、獨(dú)立見解還在不斷積累辞色，思維能力還在日益增強(qiáng)骨宠；但是，仍然沒有達(dá)到太理想的效果相满，我還是無法主動解題层亿，從今天的角度來看，我當(dāng)時(shí)的理解仍然十分零碎立美、淺顯匿又。在很長一段時(shí)間內(nèi)，這種無法主動解題的困擾所產(chǎn)生的焦慮感都是我面對數(shù)學(xué)的主要心理狀態(tài)建蹄。

一直到大學(xué)本科畢業(yè)碌更，我對一些常見函數(shù)的泰勒展開都沒有很好掌握，對置換群洞慎、偏微分方程的分離變量法等最基本的內(nèi)容有的也只是非常膚淺痛单、混亂和模糊的印象，雖然這是令人很羞愧的一件事情劲腿，但確實(shí)是一個(gè)基本事實(shí)旭绒。

研究生階段時(shí)情況發(fā)生了質(zhì)的變化，我并沒有像幾乎所有其他同學(xué)那樣將精力集中在research上，而是用在了重新學(xué)習(xí)本科生時(shí)的課程上挥吵，這一總體戰(zhàn)略起到了良好的效果重父。（我所以采取這個(gè)策略，是因?yàn)闊o法主動解決課后題這件事令我非澈鲂伲苦惱房午，而且我認(rèn)為這是一個(gè)無法回避的本質(zhì)性問題）研究生階段的前一年半，為了準(zhǔn)備qualifying exam,丹允，我在抽象代數(shù)郭厌、數(shù)值PDE和泛函分析這三門基礎(chǔ)課程上重復(fù)了10遍以上；從研究生二年級的春季學(xué)期（即2013年1月）開始嫌松，我在數(shù)學(xué)分析（微積分和它的理論原理）沪曙、一半左右的高等代數(shù)奕污、2/3左右的抽象代數(shù)萎羔、狹義相對論、2/3左右的偏微分方程碳默、C++語言以及數(shù)值PDE這4贾陷、5門課程上都重復(fù)了四五十遍（這些課程的重復(fù)過程我是同時(shí)進(jìn)行的）。重新學(xué)習(xí)本科課程的主要目的有三個(gè)基本方面：其一嘱根，知識的積累和擴(kuò)展髓废；其二，能力的提升该抒；其三慌洪，積累大量關(guān)于相關(guān)課程的經(jīng)由獨(dú)立思考產(chǎn)生的觀念。這三個(gè)目標(biāo)是高度統(tǒng)一凑保、互相交織的冈爹。經(jīng)過2013年后三年多時(shí)間的重復(fù)，到2016年夏天欧引，我的能力終于由“普通”這個(gè)層次有了較大的提升频伤，這是質(zhì)的突破。期間芝此，我的能力所以有了質(zhì)的突破憋肖，是因?yàn)槲业乃季S能力有了很大的提升；思維境界是每天不斷升華的過程婚苹，從短程時(shí)間來看每天的提升雖然較小岸更，但確實(shí)能感覺到；而從長程時(shí)間來看膊升，我能很明顯坐慰、真實(shí)地體會到自己思維境界的巨大飛躍。比如，從本科一年級到三年級這三年结胀，我的思維能力一直在不斷提升赞咙，雖然今天看來當(dāng)時(shí)的思維境界很不理想，但這個(gè)思維能力不斷增強(qiáng)的過程是很真實(shí)的糟港；從研究生一年級到研究生五年級又經(jīng)過了五年攀操，我的思維能力仍然在每天不斷提升，到了本科畢業(yè)五年之后的夏天秸抚，我的思維能力終于提高到了較佳的境界速和。

對于本科畢業(yè)后的五年沒有進(jìn)行重復(fù)的課程，我的印象非常朦朧模糊剥汤，比如代數(shù)拓?fù)洌ㄖT如映射提升定理等要點(diǎn)）颠放、高等代數(shù)（諸如Jordan標(biāo)準(zhǔn)型等關(guān)鍵內(nèi)容）等課程；這就充分證明我當(dāng)時(shí)的思維能力太差吭敢，對知識的內(nèi)在理解力存在著比較嚴(yán)重的問題碰凶。我想這種智力狀態(tài)也是大部分同學(xué)共有的基本經(jīng)驗(yàn)，大家本科學(xué)習(xí)知識的時(shí)候都感到一片朦朧鹿驼，似是而非欲低。

到了2016年夏天（8月末），經(jīng)過本科畢業(yè)以后五年時(shí)間的不斷重復(fù)學(xué)習(xí)畜晰，我終于感覺微積分等課程已經(jīng)較為簡單砾莱，思考其中的問題也變得更加自然，其中三分之二以上的習(xí)題我已都能夠自主解答（以往這些題目我都感覺很困難凄鼻，無從入手腊瑟，現(xiàn)在我意識到它們都只是較為基本的問題）。這一段艱辛而又收益豐潤的學(xué)習(xí)經(jīng)歷帶給我的深刻啟迪是：如果我們花大量的時(shí)間不斷重復(fù)块蚌，最終都能夠很好地掌握一門課程闰非，使之成為我們的看家本領(lǐng)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中匈子，復(fù)雜與簡單河胎、抽象與具體等都是相對的；在我們掌握程度不佳的時(shí)候虎敦，自然感覺眾多的理論游岳、題目都較為抽象、困難其徙，但整體掌握程度提升以后胚迫，又會感覺它們很具體而親切。

回顧這個(gè)漫長的過程唾那，我可以肯定地說對于數(shù)學(xué)分析等課程即使重復(fù)到了第49遍访锻，我還是大部分的課后習(xí)題都無法解決，直到第50遍（2016年1月時(shí)）我才能做出一小部分的題目；后面每重復(fù)一遍仍然都有較大的飛躍期犬，到第55遍（2016年8月時(shí)）就感覺我重復(fù)的那4河哑、5門課程已經(jīng)掌握得比較深刻、條理龟虎、透澈（能夠做出來三分之二以上的課后題璃谨，而且，感覺這些題目都很自然親切）鲤妥。而重復(fù)到第55遍時(shí)佳吞，我不僅感覺能解出大部分的題目，更感覺到相關(guān)章節(jié)的主要知識要點(diǎn)我已經(jīng)融會貫通棉安，此時(shí)面對具體問題底扳，自己的思路清晰了很多，也感覺這些問題簡單了很多贡耽，有一種分外輕松的感覺衷模；而且，這種感受是一種整體性的現(xiàn)象菇爪。因此算芯，之前我聽物理系的某些同學(xué)說他們在理論力學(xué)這門課程中學(xué)的很痛苦柒昏，絕大部分課后題都無法解決凳宙，這個(gè)基本現(xiàn)象是可以容易理解的，因?yàn)樗麄兛赡苤皇侵貜?fù)了20遍职祷，距離50遍還相當(dāng)遙遠(yuǎn)氏涩，所以自然無法解答題目，因而比較痛苦有梆。大家都知道閱讀文獻(xiàn)的時(shí)候是尖，會感覺讀第二遍就像讀第一遍完全沒有讀過一樣，而我在重復(fù)本科課程時(shí)的心智體驗(yàn)也是類似的泥耀，甚至更嚴(yán)重很多饺汹；因?yàn)椋?dāng)我重復(fù)第50遍的時(shí)候仍然感覺前49遍像完全沒學(xué)過一樣痰催，直到第51遍才感覺以前掌握了一些內(nèi)容兜辞。這個(gè)過程里的很多中間階段，我重復(fù)教材感覺怎么還有如此眾多的知識要點(diǎn)以前完全沒有注意到夸溶，當(dāng)時(shí)真不知道這個(gè)無窮無盡的重復(fù)過程何時(shí)才是終點(diǎn)逸吵，很多次我都懷疑自己究竟能不能徹底掌握這些課程，當(dāng)然缝裁，重復(fù)五十多遍之后我最終心里有底了扫皱。總結(jié)而言，我只是重復(fù)數(shù)學(xué)分析等4門本科時(shí)的課程就花費(fèi)了三年多的時(shí)間韩脑。（需要指出的是氢妈，只是解決三分之二以上的課后題是不夠的，我們必須要能大體解決全部課后題段多，特別是其中的難題允懂，只有這樣才能達(dá)到重復(fù)本科課程的真正目的；因?yàn)轳孟唬挥写篌w解決所有難題蕾总，我們才能夠?qū)σ婚T課程形成足夠的理解深度。）??????

理工科知識所以要重復(fù)55遍以上是因?yàn)槔砉た浦R具有四個(gè)基本的特點(diǎn)：1信息量極大琅捏，每門課程都包含幾十萬條信息生百，每頁紙上也包含了高度濃縮的大量信息；2各種知識點(diǎn)之間相互聯(lián)系柄延，相互交織蚀浆，彼此影響，是一個(gè)有機(jī)的思想體系搜吧；3知識點(diǎn)過于細(xì)致市俊，眾多細(xì)節(jié)其實(shí)很關(guān)鍵；4知識有相當(dāng)深度滤奈，較為抽象摆昧，不易掌握。由于這四個(gè)特點(diǎn)蜒程，特別是第一個(gè)特點(diǎn)绅你，所以理工科知識才比較難于掌握，因而昭躺，理工科學(xué)習(xí)忌锯、創(chuàng)造永遠(yuǎn)是一個(gè)慢工出細(xì)活的過程。（當(dāng)然领炫，隨著我們整體思維能力的很大提升偶垮，我想后續(xù)課程可能只需要重復(fù)10遍以下就已足夠）在人文社科領(lǐng)域，如歷史學(xué)等雖然信息量也極大帝洪，但不需要重復(fù)太多遍數(shù)似舵，政治哲學(xué)等著作（如羅爾斯的《正義論》）如果要把握透徹可能也需要重復(fù)20遍以上，但自然不至于在起始階段需要重復(fù)55遍以上碟狞。理工科中的各個(gè)知識點(diǎn)之間相互聯(lián)系這一基本特征決定了對于任何一部分知識（比如狹義相對論等）啄枕，我們必須將其中的知識點(diǎn)全部掌握，不遺留下內(nèi)在的知識缺環(huán)族沃，才能夠?qū)⑺鼈冋莆盏轿黄底＃灰虼嗣诓危砉た频膶W(xué)習(xí)對我們有著很高的要求。

在重復(fù)大學(xué)課程的過程中常空，我的指導(dǎo)原則有以下五條：1（如很多同學(xué)所體會到的）整體思維能力每天的不斷升華沽一。2少而精，我不想一下子重復(fù)10門課程漓糙，而是首先重復(fù)了4铣缠、5門課程，不把它們徹底掌握我不會學(xué)習(xí)其他的課程昆禽，容易理解的是蝗蛙，只有把一門課程學(xué)到簡單透徹、清澈明凈的境界才說明較為掌握到位醉鳖；少而精的最主要標(biāo)準(zhǔn)即是每門課程的所有課后題要能夠大體全部解出捡硅；并且，由于理工科知識的精細(xì)性這一基本特征盗棵，因而壮韭，在解決問題的過程中，只有整體的思路是很不夠的纹因，必須要能得到精確的結(jié)果或者描述清楚的證明喷屋。3深度，對課程的理解需要達(dá)到足夠的深度瞭恰，這就必須做一定量的難題屯曹，只有大量的難題才能夠訓(xùn)練我們的很多高層次專業(yè)素質(zhì)。4不斷重復(fù)寄疏、熟練是牢，最開始階段重復(fù)55遍以上僵井。5格羅滕迪克的主要哲學(xué)思想：解題依靠的是整體功底陕截、直覺，只有我們感覺這些題目非常顯然批什，思路能夠自然涌現(xiàn)出來农曲，才說明我們已經(jīng)掌握到位，解題需要分解為一系列細(xì)小而自然的步驟驻债。（這句話大概可以回答很多學(xué)生的疑問：為什么我不會做題乳规？答案就是重復(fù)的遍數(shù)不夠，掌握的深度欠缺合呐，熟練程度不足暮的；因此，解題的直覺不能自然地閃現(xiàn)淌实。我們所以做不出題目的本質(zhì)原因就在于一整塊知識學(xué)得不太好冻辩，整體功底存在著一定程度的缺失）

總結(jié)而言猖腕，世界各國的本科生，無論是美國恨闪、歐洲倘感、日本亦或巴西等國的學(xué)生，所以做不出題目來咙咽、所以面對考試很畏懼大致可以區(qū)分為兩種情形：其一老玛，天賦較高，思維能力較強(qiáng)钧敞，但基本功太差蜡豹，這可以通過短時(shí)間補(bǔ)充高中、初中的基本功來加以解決溉苛；其二余素，天賦較差，思維能力較差炊昆，這個(gè)問題的解決則需要花費(fèi)很長的時(shí)間桨吊，至少需要8、9年的時(shí)間凤巨。其中视乐，第二種情形在理工科教育里無疑占主流。以我來說敢茁，我持續(xù)學(xué)習(xí)了9年時(shí)間佑淀，在數(shù)學(xué)分析等課程中投入了巨大精力之后，到本科畢業(yè)五年的末期彰檬，才共計(jì)徹底掌握了4門課程（如果包括我對數(shù)學(xué)的思想性伸刃、獨(dú)立性認(rèn)識，這一思維方式可以將課程信息量擴(kuò)充一倍的話逢倍，掌握的課程容量會更大一些）捧颅，這一投入昔案、產(chǎn)出比自然是比較低的英支，但這恐怕是理工科學(xué)習(xí)的客觀現(xiàn)實(shí)。

對于美國很多的本科生來說鸵熟，微積分沒有掌握自然是一個(gè)基本問題亮蒋；其中的一部分學(xué)生只是微積分沒有牢固掌握扣典，而另一部分本科生的問題則在于他們的高中、初中的基本功不夠堅(jiān)實(shí)慎玖；因而贮尖，為了掌握足夠的專業(yè)技能，這些學(xué)生可能還需要重復(fù)高中階段的基礎(chǔ)知識趁怔。

（二）總結(jié)我們的上述分析湿硝，我們能夠意識到闰蛔，中國大部分的理工科本科畢業(yè)生（中國最頂尖的學(xué)校包括在內(nèi)）的基本功仍然非常堪憂图柏，這些學(xué)生在本科基礎(chǔ)課程上的大部分課后習(xí)題都不會做序六。因此，我們需要特別留意本科基礎(chǔ)課程蚤吹，諸如計(jì)算機(jī)例诀、機(jī)械工程、電子工程裁着、統(tǒng)計(jì)繁涂、航空航天工程、土木工程二驰、石油工程扔罪、通信工程、化學(xué)工程桶雀、物理矿酵、化學(xué)等專業(yè)的本科畢業(yè)生都需要在必要的時(shí)候重復(fù)本科課程。我的個(gè)人觀點(diǎn)是矗积，中科院電子工程專業(yè)的研究生中的很大一部分個(gè)體在本科的課程上一是具體知識掌握的比較糟糕全肮，二是這些課程的大部分習(xí)題他們并不會做，這在外人看來可能有些難以相信棘捣，但事實(shí)是一半以上的學(xué)生都存在著這個(gè)基本問題辜腺。

以很多工作了多年的教授而言更能充分體現(xiàn)這一點(diǎn)的基本重要性，無論是在中國還是在美國乍恐，一些35歲左右的青年教師基本功仍然比較糟糕评疗，甚至最基本的數(shù)學(xué)分析里的難題都無法解答；所以他們必須重復(fù)本科課程茵烈，多掌握幾門看家本領(lǐng)百匆。在目前的大學(xué)研究生院里，很多學(xué)生在通過qualifying exam之后的博士二瞧毙、三年級就開始了獨(dú)立研究胧华，而此時(shí)他們的本科基礎(chǔ)課程仍然很不牢固，其中的大部分習(xí)題都無法主動解答宙彪，因而，我們認(rèn)為有巧，這樣的方式只能做出一些不太重要的結(jié)果释漆。

以我個(gè)人而言，盡管我在本科期間的成績在全部學(xué)生的前15%左右篮迎，研究生期間的十幾門專業(yè)課程的最終成績也都是A（這些課程都是實(shí)變函數(shù)男图、偏微分方程等具體的課程示姿，而不是research、directed study等性質(zhì)的課程逊笆，我主要在研究生階段的前兩年修讀了這些課程）栈戳，但這些課程其實(shí)我學(xué)得都不是很好；舉例來說难裆，關(guān)于點(diǎn)集拓?fù)溥@門課子檀，我本科三年級上過一遍課，研究生一年級和二年級又分別上過一遍乃戈，但即使上過三遍課褂痰，點(diǎn)集拓?fù)溥@門課我學(xué)得仍然很糟糕，幾乎所有課后題都不會做症虑，也就是說大部分精髓都沒有學(xué)懂（我學(xué)習(xí)實(shí)變函數(shù)的經(jīng)歷也是類似的缩歪，也在本科和研究生階段上過三遍課，同樣學(xué)得也很差）谍憔，這種經(jīng)驗(yàn)自然有著比較普遍的意義匪蝙。大概從本科二年級開始我就意識到了兩個(gè)基本問題：其一，我們學(xué)到的課程里的很多內(nèi)容我學(xué)不太懂习贫；其二骗污，我們學(xué)習(xí)的課程中大部分課后題我都不會做。

對哈佛沈条、普林斯頓需忿、MIT等頂尖學(xué)校的相當(dāng)比例的博士生來說，也存在著類似的情況蜡歹；如我們所熟知屋厘，大部分學(xué)得較好的統(tǒng)計(jì)系博士生都有了4、5篇優(yōu)質(zhì)論文月而，電子工程等專業(yè)好的博士生亦有了很多論文汗洒，而一些統(tǒng)計(jì)系、電子工程系博士生則一篇論文都沒有父款，這自然說明他們的基礎(chǔ)課程學(xué)得不太好溢谤；即關(guān)于本科的基礎(chǔ)課程，他們一是具體知識學(xué)的比較糟糕憨攒，二是其中的大部分課后題都不會做世杀。總之肝集，本文所討論的基本問題對他們而言亦是適用的瞻坝。

（三）打好基本功，我們才能更好地理解后續(xù)課程杏瞻，比如數(shù)學(xué)分析[1]對實(shí)變函數(shù)的深層影響至少包涵：1Riemann可積函數(shù)的種類并沒有澄清所刀，在實(shí)變中則得到了徹底解決衙荐；2函數(shù)項(xiàng)級數(shù)部分一致收斂要求過高，在實(shí)變函數(shù)中的要求則有了較大程度的降低浮创；3交換積分次序的定理要求過高忧吟，在實(shí)變函數(shù)的Fubini定理中得到了改進(jìn)。數(shù)學(xué)分析對泛函分析的影響包括：1Baire綱定理可以解決函數(shù)間斷點(diǎn)集的特征斩披、Fourier級數(shù)的收斂性等問題溜族，所以Baire綱定理不僅對后續(xù)的泛函中的主要定理影響深遠(yuǎn)，而且在數(shù)學(xué)分析中也有著深厚的基礎(chǔ)雏掠；2Fourier級數(shù)的知識在泛函分析的Hilbert空間中得到了推廣斩祭，F(xiàn)ourier級數(shù)的最佳平方逼近性質(zhì)、Parseval等式等性質(zhì)是Hilbert空間相應(yīng)性質(zhì)的最重要的特例乡话；3數(shù)學(xué)分析中的序列收斂摧玫、拓?fù)湫再|(zhì)、微分算子绑青、積分算子等核心主題在泛函分析中也得到了全面的深化诬像。再以對統(tǒng)計(jì)學(xué)影響深遠(yuǎn)的概率論而言，如所周知闸婴，概率論中需要計(jì)算大量的概率分布坏挠，而這些概率分布的計(jì)算與數(shù)學(xué)分析中的重積分、級數(shù)等知識往往有著密切的關(guān)聯(lián)邪乍。至于數(shù)學(xué)分析對點(diǎn)集拓?fù)涞日n程在概念降狠、方法上的直接啟發(fā)性更是我們所熟知的。在重復(fù)本科課程55遍之前庇楞，我只是模糊膚淺地了解到數(shù)學(xué)分析對于上述課程的基本重要性榜配，等到有了知識和題目的雙重堅(jiān)實(shí)功底以后，我才有了深刻而自然的體驗(yàn)吕晌，比如Taylor展開對有限差分誤差估計(jì)的重要性蛋褥，留數(shù)定理在計(jì)算畸形積分上的價(jià)值等只有在做了數(shù)學(xué)分析中大量的Taylor展開題目、積分題目后我才有了深刻體驗(yàn)睛驳，類似的例子是大量存在的烙心。數(shù)學(xué)分析對后續(xù)課程的深遠(yuǎn)影響可以區(qū)分為直接和間接兩個(gè)層面，直接影響是我們可以較為容易地列舉出來的大量具體例子乏沸，間接影響則滲透在數(shù)學(xué)素養(yǎng)淫茵、意識等方面，雖然難以用語言表達(dá)屎蜓，我們也日用而不知痘昌，但同樣是非常重要的。正如惲之瑋所正確指出的炬转，數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)的影響可以一直延伸到研究生的課程辆苔，學(xué)好這兩門課程以后后續(xù)的課程就不會太艱難；基礎(chǔ)課程是整個(gè)現(xiàn)代數(shù)學(xué)有機(jī)思想體系的基石扼劈，如果掌握不佳驻啤，我們對數(shù)學(xué)的理解自然會有很多原始性的缺陷。我的切身體驗(yàn)是荐吵，當(dāng)在微積分中的功底深厚了以后骑冗，我在學(xué)習(xí)偏微分方程、數(shù)值PDE等相關(guān)課程時(shí)先煎，感覺分外輕松贼涩，對于其中的大量繁復(fù)推導(dǎo)都感覺很嚴(yán)格和自然。

基礎(chǔ)課程中一個(gè)具體的知識點(diǎn)薯蝎，譬如遥倦，群論中的同態(tài)基本定理，對我們的啟發(fā)可以分為三個(gè)層面：第一占锯，該定理能夠具體解決的問題袒哥；第二，該定理在抽象代數(shù)整門課程中的意義消略、價(jià)值堡称；第三，該定理對于整體數(shù)學(xué)而言衍生的豐富內(nèi)涵艺演。當(dāng)然却紧，數(shù)學(xué)中所有的知識點(diǎn)可能都具備上述的三重價(jià)值√コ罚總之晓殊，我們打好基本功一是為了提高整體能力（譬如，使自己的思維能力從“普通”向上提升）哩照，二是為了從思想層面形成對整個(gè)學(xué)科思想體系的有序性挺物、原始性的深厚理解，第三則是大家所熟知的具體知識的積累飘弧；整個(gè)過程是三者的有機(jī)統(tǒng)一识藤。

我們可以舉出更多的具體例子，如復(fù)變函數(shù)中的光滑曲線上的復(fù)積分與微積分中的第一類曲線積分有著直接的思想淵源次伶，我們?nèi)绻P(guān)于后者的基本功堅(jiān)實(shí)的話痴昧，接觸、學(xué)習(xí)前者時(shí)會感覺分外自然冠王；再如抽象代數(shù)中有多項(xiàng)式的相關(guān)理論赶撰，而在高等代數(shù)中則有著非常相近的理論，高等代數(shù)中討論過多項(xiàng)式的余式定理、唯一因子分解性質(zhì)豪娜、最大公因式等問題餐胀，在抽象代數(shù)中的相關(guān)討論則既有思想的沿襲又有新的變化（因?yàn)榇藭r(shí)有了更為寬廣、抽象的理論架構(gòu)）瘤载，如果我們關(guān)于高等代數(shù)中的多項(xiàng)式理論非常熟悉的話否灾，學(xué)習(xí)抽象代數(shù)中的對應(yīng)理論會感覺很輕松。類似的情況是無以數(shù)計(jì)的鸣奔，即基礎(chǔ)課程中的相關(guān)理論與思想對后繼課程有著直接墨技、全面而強(qiáng)烈的影響，前者包含了大量的原始思想根芽挎狸，這一事實(shí)充分證明了基本功底的重要性扣汪。

（四）如何解題自然是本科期間的一個(gè)核心問題，這個(gè)問題在本科四年期間一直困擾著我锨匆；不止如此的是崭别，到了研究生四年級末，這個(gè)問題仍然困擾著我统刮，我當(dāng)時(shí)還是不會主動解題紊遵，尤其是難題；我想化學(xué)工程侥蒙、物理等專業(yè)的很多博士生也面臨著類似的困擾暗膜。直到本科畢業(yè)五年以后，經(jīng)過9年漫長時(shí)間的掙扎摸索鞭衩，我才逐漸克服了這個(gè)中心問題学搜，不會解題的核心原因是對課程的理解深度不夠，思維境界太差（上文已經(jīng)反復(fù)提示過這個(gè)關(guān)鍵要點(diǎn)）论衍；由于對知識的理解比較膚淺瑞佩，根本抓不住課程中的精華、中心精神和深層脈絡(luò)坯台，所以自然無法解題炬丸。以我的個(gè)人經(jīng)歷來說，本科畢業(yè)四年之后蜒蕾，確切地說是2015年10月以前稠炬，我對多元隱函數(shù)的計(jì)算、含參變量積分的分析性質(zhì)咪啡、重積分首启、第一類曲面積分等部分的題目都不會做，感覺這些問題都遙不可及撤摸；但是毅桃，當(dāng)我重復(fù)到第51遍的時(shí)候終于能夠做出其中部分的相關(guān)問題褒纲，而且做出來之后意識到它們只是最簡單、最基本的問題钥飞，這重心理體驗(yàn)我想具有很大的普遍性莺掠。當(dāng)我鉆研到第51遍的時(shí)候，才明白到諸如第二類曲面積分的理論基礎(chǔ)和具體例題兩個(gè)方面代承，自己以前根本沒有掌握汁蝶；在知識層面都沒有掌握到位的情況下渐扮，我自然不可能解出該部分的題目论悴。解題是由三個(gè)方面支撐起來的：知識要點(diǎn)（是一種整體性的現(xiàn)象）、思維方式和思想深度墓律，很多情況下對一道具體的題目膀估，如果我們相關(guān)的知識點(diǎn)掌握不到位（如上極限、確界等概念無法做到靈活運(yùn)用）或者思想深度不夠耻讽，亦或相關(guān)的數(shù)學(xué)思維方式不具備察纯，那么即使我們思考一整年的時(shí)間也是無法解決它的。在我重復(fù)到第50遍左右的時(shí)候针肥，只是能零零碎碎地做出一些課后題饼记，到第55遍左右的時(shí)候（2016年8月期間），我已經(jīng)能夠大面積地解決眾多的課后題慰枕；此時(shí)我所以能解決這些問題具则，一方面源于基本功的深化，另一方面在于思維境界的提升具帮，即此時(shí)自己的思維能力大大提高了博肋，忽然感覺這些題目的整體思路、關(guān)鍵細(xì)節(jié)等已經(jīng)分外清楚蜂厅；即我們的解題依靠的是堅(jiān)實(shí)的整體性知識功底和較高的思維境界這兩個(gè)基本條件匪凡，兩者疊加在一起，才能夠使我們解出問題掘猿。

很多人都有的兩種感觸是：其一病游，很多時(shí)候，我們解不出題目稠通，看了答案之后衬衬，間隔了若干天，再做一遍還是無法解答采记；再看一遍答案佣耐，等到再經(jīng)過一段時(shí)間以后，我們會認(rèn)為自己的功力已經(jīng)能夠解決這個(gè)問題唧龄，可是實(shí)際一做還是做不出兼砖。（閱讀書籍時(shí)奸远，面對書中的知識點(diǎn)也會存在類似的感觸）其二，對于我們能做出的題（或者自己已經(jīng)掌握的概念讽挟、方法等知識要點(diǎn)）再看一遍也會有嶄新的感觸懒叛，一是更加熟練，二是把握更加深刻耽梅、深厚薛窥，三是對它們的理解嵌入到了知識體系的有機(jī)整體之中。整體來講眼姐，我們解決問題會經(jīng)過三個(gè)階段：首先诅迷，不會做某道題；其次众旗，能解決這道題罢杉，但較為勉強(qiáng)，感覺較為艱難贡歧；最后滩租，能輕松自如地解出某道題。這三個(gè)階段是每個(gè)人都會自然而然經(jīng)歷的過程利朵。

在這里律想，我們必須回答一個(gè)基本問題：解題（problem solving）為何具有一定的重要性？原因大概可以分為三點(diǎn)：1課程中的知識一般較為抽象绍弟，而課后題則較為具體技即，包含了大量的例子，這些例子可以擴(kuò)展我們對于課程知識的理解晌柬；學(xué)習(xí)的目的在于運(yùn)用姥份，課后題是一種很好的運(yùn)用知識的場合，能夠使得我們對于知識的運(yùn)用有初步的體會年碘。2要解決一些問題澈歉，通常需要一定的思想深度，某些同學(xué)自以為自己已經(jīng)掌握了某部分知識屿衅，但是課后題無法解決埃难，這自然證明他們的理解并不到位；即如果我們做題時(shí)只有模糊的直覺而不能得到清晰而精細(xì)的思路與準(zhǔn)確的結(jié)果涤久，這無疑是知識掌握不到位的直接標(biāo)志涡尘；某些情況下，我們以為自己懂了响迂，其實(shí)并沒有真懂考抄，離真懂還差了很遠(yuǎn)，因而蔗彤，難題是對我們理解程度的一個(gè)檢驗(yàn)川梅。一個(gè)適當(dāng)?shù)睦邮欠杓妫卸螘r(shí)間，我認(rèn)為自己關(guān)于一致收斂這個(gè)概念的理解已經(jīng)足夠透徹了贫途，我認(rèn)為教材中的理論和例題我都已經(jīng)熟練掌握了吧彪；但是，當(dāng)我做這部分內(nèi)容的相關(guān)習(xí)題時(shí)丢早，我發(fā)現(xiàn)有些題目我確實(shí)能夠做出來姨裸，但是有些題目我仍然不會做，總之怨酝，這個(gè)概念的相關(guān)內(nèi)容比我原本理解的要復(fù)雜傀缩、深刻一些。簡言之凫碌，解決種類多樣的問題需要大量的概念扑毡、思想、方法盛险、技巧的積累，很多問題需要一些概念層面的理解或者技巧層面的掌握勋又，當(dāng)我們對概念苦掘、技巧的掌握到位以后，自然能夠解決相關(guān)的問題楔壤。3難題常常涉及到多個(gè)知識點(diǎn)鹤啡，這些知識點(diǎn)常常超出某個(gè)章節(jié)而涉及其他章節(jié)甚至其他課程，而且非常靈活和強(qiáng)韌蹲嚣，這對于提高我們的綜合能力递瑰、深化我們對一門課程的整體理解具有根本的重要性∠缎螅總之抖部，解題（尤其是一定量的難題）在理工科學(xué)習(xí)中是一個(gè)較為基本的環(huán)節(jié)。

容易觀察到的一個(gè)事實(shí)是议惰，理工科題目具有五個(gè)基本特點(diǎn)：1強(qiáng)韌性慎颗、復(fù)雜性，很多題目都需要經(jīng)過繁復(fù)曲折的計(jì)算言询。2深度俯萎。大量課后習(xí)題都有一定的思想深度，需要我們對相關(guān)知識的理解達(dá)到足夠的深度才能解決运杭。3高度靈活性夫啊，很多相關(guān)習(xí)題需要高度的技巧，非常靈活辆憔，充滿變化撇眯，并非模式化谆趾、標(biāo)準(zhǔn)化的流程即能解決的。4多樣性叛本，課后習(xí)題考察的通常是一個(gè)章節(jié)的所有重要知識點(diǎn)沪蓬，并非只針對某些個(gè)別的知識點(diǎn)，因而来候，會呈現(xiàn)出豐富多樣的特征跷叉；通常的情況是，幾乎每道課后習(xí)題都有自己的特性营搅，需要特定的概念或技巧云挟，即任何不同的兩道習(xí)題都會運(yùn)用不同的解題方法。5細(xì)致性转质，大量題目都涉及到細(xì)致的信息园欣，需要精細(xì)的分析技巧；有經(jīng)驗(yàn)的理工科從業(yè)人員都較為了解休蟹，高等教育階段的幾乎每一道課后習(xí)題都很細(xì)致沸枯。容易理解闹伪，理工科題目的這五個(gè)基本特點(diǎn)常常是相互交織的浦辨。（理工科題目的這些基本特點(diǎn)與上文分析的理工科知識的基本特征間的內(nèi)在聯(lián)系自然是很有趣的）

關(guān)于這一要點(diǎn)侍筛，我們可以舉出一些具體士八、生動的例證硕旗。譬如乡范，對Taylor展開這一具體內(nèi)容困后，眾所周知豆胸，其中包涵著許多證明題杨耙；當(dāng)我重復(fù)到第35遍（2015年1月）時(shí)赤套，我即意識到該部分有很多的利用對稱思想來證明不等式的問題，但是當(dāng)時(shí)我感覺這些證明題雜亂無章珊膜、沒有頭緒容握，缺乏內(nèi)在規(guī)律，而且遇到新的類似問題時(shí)我也不會證明辅搬；當(dāng)重復(fù)到第55遍時(shí)唯沮，由于熟練和獨(dú)立思考的結(jié)果，此時(shí)我已經(jīng)將這部分內(nèi)容梳理出了清晰的內(nèi)在脈絡(luò)堪遂，認(rèn)識也全面介蛉、成熟了許多；我意識到這部分內(nèi)容其實(shí)并不是由單一的證明技巧所組成的溶褪，而是很多種證明思想的組合币旧；此時(shí)，這些證明思路我終于都全部掌握了猿妈。類似的例子也發(fā)生在PDE中的分離變量法這一部分知識吹菱，以往我解該部分的課后題時(shí)并不是很自信巍虫，而且運(yùn)算思路很混亂；后來當(dāng)我真正理解了這個(gè)方法的全部細(xì)節(jié)以后鳍刷，我才搞懂了這類問題的解決方法占遥，此時(shí)我再面對類似的問題已經(jīng)有了成熟的自信心，因?yàn)槲抑榔渲械闹饕枷胛乙呀?jīng)全部搞懂了（雖然具體計(jì)算仍然可能會出現(xiàn)一些錯(cuò)誤输瓜，但整個(gè)思路瓦胎、關(guān)鍵環(huán)節(jié)我確實(shí)已經(jīng)掌握了）。

（五）如我們大多都能感受到的尤揣，在大學(xué)期間的學(xué)長經(jīng)驗(yàn)交流會等思想交流的場合搔啊，有兩個(gè)核心問題會被反復(fù)提出：1如何學(xué)好專業(yè)課程？2如何規(guī)劃未來北戏？應(yīng)該參加哪些社會實(shí)踐活動负芋？應(yīng)該如何平衡學(xué)習(xí)與生活經(jīng)驗(yàn)積累之間的關(guān)系？由于本文主題的限制嗜愈，我們主要回答第一個(gè)問題：

整體而言旧蛾，我們可以肯定地說大學(xué)本科四年無論如何刻苦努力，大家的專業(yè)能力都不會有實(shí)質(zhì)性的提高芝硬，因?yàn)槲一?年的時(shí)間才完成了從“普通”層次的向上提升蚜点，這是我們討論本科學(xué)習(xí)問題的大背景。記得大二期間參加的一次學(xué)長經(jīng)驗(yàn)交流會中拌阴，有一位同學(xué)問道：“抽象代數(shù)很艱澀，學(xué)不大懂奶镶，有什么好的應(yīng)對辦法迟赃？”學(xué)長答曰“做題”，但問題其實(shí)并沒有那么簡單厂镇，事實(shí)是無論苦思多少題目纤壁，無論我們當(dāng)時(shí)如何認(rèn)真勤奮，由于思維境界太低捺信，我們大二期間都很難理解所做題目的精髓酌媒，即使做了很多題目其實(shí)絕大部分還是無法主動做出來，盡管付出很多迄靠，但收效甚微秒咨；因此，我們還是無法較好地掌握這些課程掌挚，這種認(rèn)識雖然尷尬卻是難以逃避的雨席。大家都知道本科剛開始的時(shí)候?qū)W習(xí)專業(yè)課完全不入門，所以學(xué)習(xí)非常痛苦吠式，但是陡厘，到大三以后情況就會有一定程度的改善抽米，不再過分痛苦煎熬；所以糙置，學(xué)習(xí)是一個(gè)越來越不痛苦的過程云茸。對于學(xué)習(xí)意愿不夠積極、動機(jī)不夠強(qiáng)烈的同學(xué)而言谤饭，我們可以說标捺，學(xué)習(xí)是一個(gè)熬的過程，開始的三年最艱難一些网持，即使不愿意學(xué)習(xí)宜岛，也要多投入精力在學(xué)習(xí)中，即便是硬著頭皮功舀、無精打采地學(xué)習(xí)也會無意識地促進(jìn)思維能力的提升萍倡，熬到后續(xù)的階段，思維能力提高之后學(xué)習(xí)就會愈發(fā)輕松自如辟汰。當(dāng)然列敲，對大部分同學(xué)來說，我們的專業(yè)能力在本科階段雖然會有一定的提高帖汞，但不會有質(zhì)的提升戴而。

（六）各位可能會問，為何我重復(fù)本科課程55遍之后能夠主動解題了呢翩蘸？原因是較為簡單的所意，因?yàn)榇藭r(shí)我對相關(guān)內(nèi)容的思想、概念催首、方法扶踊、技巧等真正掌握了。舉例來說郎任，有一段時(shí)間秧耗，我感覺自己做不出抽象代數(shù)中域論方面的問題，后來我意識到是因?yàn)殛P(guān)于域特征舶治、域擴(kuò)張分井、代數(shù)擴(kuò)張等方面的很多思想、概念霉猛、方法尺锚、技巧自己都沒有真正理解，并沒有掌握到位韩脏，因而缩麸，自然無法做出相關(guān)的題目。留數(shù)定理的情況也是類似的，本科時(shí)期我無法主動地解決這部分的相關(guān)問題杭朱，而到研究生五年級的下半年時(shí)阅仔，我已經(jīng)能解出大部分的相關(guān)題目；這時(shí)我才明白到以前所以解決不了這些問題是因?yàn)楫?dāng)時(shí)我沒有真正學(xué)懂這部分知識弧械；從這個(gè)意義上說八酒，主動解題與真正理解是同一事情。

當(dāng)我重復(fù)數(shù)學(xué)分析刃唐、抽象代數(shù)等幾門課程到第49遍的時(shí)候羞迷，還是感覺幾乎所有的題目都不會做，后來我才意識到画饥，這是因?yàn)榇藭r(shí)這些課程中的大部分思想衔瓮、概念、方法抖甘、技巧等我都沒有真正掌握热鞍。

同時(shí)，需要注意的是衔彻，這些思想薇宠、概念、方法艰额、技巧等常常是整塊存在的澄港，常常是相互聯(lián)系的；因而柄沮，只有當(dāng)我們將一整塊的概念回梧、思想、技巧等都掌握了以后才能夠解決相關(guān)的問題祖搓，只是孤立地掌握一些概念漂辐、方法的話我們往往還是解不出某些問題；通常情況下棕硫，我們只有在對整個(gè)章節(jié)乃至整門課程的內(nèi)容有了深厚理解以后，才能自然而然地解決該章節(jié)的相關(guān)課后題袒啼。即知識的積累和問題的解決大多都是一種整體性現(xiàn)象哈扮。

（七）整體來說，重復(fù)本科課程55遍的過程是一個(gè)具體內(nèi)容蚓再、細(xì)節(jié)（它們包括大量的思想滑肉、概念、方法摘仅、技巧等）逐漸被掌握的過程靶庙，也是一個(gè)理解深度逐漸加深的過程，這兩個(gè)過程是完全交織在一起的娃属；粗略地講六荒，重復(fù)這些課程的過程是一個(gè)不斷積累思想护姆、方法、概念掏击、技巧的復(fù)雜過程卵皂，也是一個(gè)將混亂的知識領(lǐng)域梳理成兼具深度、廣度砚亭、細(xì)致度和有機(jī)聯(lián)系的思想體系的過程灯变。

?因?yàn)槲覀冊趯W(xué)習(xí)一部分知識的時(shí)候會不斷地思考該部分的題目、技巧捅膘、方法添祸、思想、定理寻仗、框架刃泌、概念等方方面面的內(nèi)容，對它們的思考會呈現(xiàn)出混合愧沟、交織的復(fù)雜狀態(tài)（我們實(shí)際的學(xué)習(xí)過程自然并非按照知識點(diǎn)出現(xiàn)的順序依次掌握相關(guān)的定理蔬咬、問題、概念沐寺、技巧林艘，而會是一種逐漸滲透的半有序過程），隨著對這些定理混坞、問題狐援、技巧等具體信息的掌握，會導(dǎo)致我們對一部分內(nèi)容整體理解的不斷深化究孕。同時(shí)啥酱，在剛開始接觸一部分知識時(shí)，由于其中包涵著大量的信息厨诸，各種思想镶殷、技巧、細(xì)節(jié)微酬、概念等混合交錯(cuò)在一起绘趋，因而，常常會給我們一種混亂錯(cuò)雜的感覺颗管；隨著不斷地重復(fù)陷遮，我們能夠逐漸理清頭緒，對其中內(nèi)在思路的理解會愈益清楚垦江，這些知識也會逐漸變得條理有序帽馋。

（八）理工科課程的廣度也是一個(gè)值得分析的重要問題。學(xué)得較好的從業(yè)者都比較了解，高等教育階段的每門理工科課程都包涵了數(shù)以萬計(jì)的思想绽族，數(shù)以千計(jì)的概念以及無數(shù)的細(xì)節(jié)姨涡、技巧、方法等项秉；而這些具體的概念绣溜、細(xì)節(jié)等都只能一點(diǎn)一滴地逐步掌握，因?yàn)樗鼈儽舜酥g都是互不相同的娄蔼。由于每個(gè)理工科專業(yè)都有著幾十門課程怖喻，因而，即使對于好學(xué)生來說岁诉，面對現(xiàn)代數(shù)學(xué)锚沸、物理學(xué)等也會產(chǎn)生一種過于廣大的感覺；當(dāng)然涕癣，如果我們學(xué)得足夠好哗蜈，還是能夠較好地駕馭這些廣闊精細(xì)的內(nèi)容的。

由于理工科每門課程的內(nèi)容一方面都很廣坠韩，另一方面又都很復(fù)雜和細(xì)致距潘，這兩個(gè)基本特征的疊加決定了我們需要投入大量的時(shí)間來學(xué)習(xí)相關(guān)知識，一天只學(xué)2個(gè)小時(shí)是掌握不了它們的只搁。我們都較為了解音比，理工科工作需要每天投入8小時(shí)以上的時(shí)間持續(xù)地學(xué)習(xí)10年以上才能學(xué)好，因?yàn)樗锹こ黾?xì)活的過程氢惋，無法速成洞翩，只有投入足夠的時(shí)間才能使得我們在某一門理工科上學(xué)有所成。（從2007年進(jìn)入本科階段起到現(xiàn)在的2018年焰望，這10年間我大概每天都會用8個(gè)小時(shí)左右的時(shí)間來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)）

（九）現(xiàn)在我想細(xì)致地分析一下我重復(fù)55遍本科課程時(shí)經(jīng)歷的復(fù)雜的心理和智力體驗(yàn)骚亿。面對這些本科課程，當(dāng)2015年1月熊赖，我重復(fù)到第35遍時(shí)来屠，我仍然處在一種朦朧模糊、云里霧里震鹉、似是而非的妖、支離破碎的整體狀態(tài)中，事后（重復(fù)完第55遍時(shí)）我才明白到產(chǎn)生這一狀態(tài)的原因有兩個(gè)基本方面：第一足陨，我的理解深度不夠，此時(shí)我對各種具體知識娇未、思想的理解都較為膚淺墨缘，對整門課程的理解也較為膚淺；第二，我的具體積累也不夠镊讼，其中主要的思想宽涌、方法、概念蝶棋、技巧等我都掌握得似是而非卸亮，沒有太學(xué)懂，并沒有將這些具體內(nèi)容真正掌握玩裙。[2]當(dāng)我重復(fù)到第55遍兼贸，整體功底真正深厚以后，我再做重積分吃溅、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)溶诞、多元微分學(xué)等部分的習(xí)題時(shí)終于有了一種基礎(chǔ)深厚的感覺，我清楚地感覺到自己此時(shí)終于擁有了深厚的知識和思想功底决侈；而之前的階段螺垢，比如說重復(fù)到第30遍時(shí)，由于自己的知識結(jié)構(gòu)是零碎而膚淺的赖歌，因而做這些問題時(shí)主要是靠碰運(yùn)氣和胡亂猜測枉圃、嘗試；而當(dāng)2016年8月庐冯，我重復(fù)到第55遍時(shí)孽亲，由于自己已經(jīng)擁有了大量的相關(guān)知識、思想和經(jīng)驗(yàn)積累肄扎，因而墨林，我解決這些問題時(shí)，感覺思路犯祠、直覺旭等、具體細(xì)節(jié)、技巧等方方面面都清晰了很多衡载；總之搔耕，在做題時(shí)，基礎(chǔ)深厚和膚淺所分別產(chǎn)生的解題心態(tài)是兩種很不相同的思想狀態(tài)痰娱。

以重積分這一具體內(nèi)容為例弃榨，自本科一年級開始，我即對求解二重積分梨睁、三重積分鲸睛、n重積分等問題不是很有自信，這種心理狀態(tài)一直持續(xù)到2013年我開始重新學(xué)習(xí)本科課程的時(shí)候坡贺。而到2016年1月官辈，我重復(fù)了50遍本科課程之時(shí)箱舞，對于重積分相關(guān)的理論和例題我已經(jīng)反復(fù)鉆研了許多遍，但我的認(rèn)識仍然不夠清楚拳亿；到2016年8月時(shí)晴股，在深厚功底的基礎(chǔ)上，我終于能夠解出重積分的大部分相關(guān)問題肺魁，此時(shí)我也終于明白到之前我的認(rèn)識并沒有到位（因而我之前不太自信的心理狀態(tài)是正確的电湘，它是我的具體知識沒有真正掌握的一種自然的反映）：事實(shí)上，柱面坐標(biāo)鹅经、球面坐標(biāo)的使用要比我原本想象中的復(fù)雜一些（何時(shí)選擇何種坐標(biāo)變換并非很顯然寂呛、直接，需要一定的精細(xì)分析）瞬雹，重積分的變量代換的技巧也比我理解的更為豐富昧谊、靈活；對球面酗捌、拋物面呢诬、錐面等常見的曲面我也有了更清晰的認(rèn)識。

另一個(gè)令我印象深刻的例子是關(guān)于傅里葉級數(shù)的逐項(xiàng)積分定理胖缤、逐項(xiàng)微分定理以及最佳平方逼近性質(zhì)尚镰。自2015年1月起，幾乎每隔2個(gè)月我就會重復(fù)讀一遍相關(guān)的理論或者觀看一遍相關(guān)的視頻（當(dāng)然哪廓，之前我就已經(jīng)重復(fù)看過很多次該部分內(nèi)容）狗唉，很多次我都以為自己終于徹底地掌握了這部分知識，但是到2016年9月時(shí)涡真，我才明白到自己之前其實(shí)都沒有真正理解這些定理分俯，因?yàn)樗鼈兊淖C明和結(jié)論其實(shí)有著豐富的內(nèi)涵；而到此時(shí)哆料，我對這幾個(gè)定理的理解才終于達(dá)到了較為合理缸剪、透澈的狀態(tài)；背后的原因包括三個(gè)方面：第一东亦，我對傅里葉級數(shù)這一整塊知識(包括其中的這幾個(gè)具體定理)的理解深厚了很多杏节；第二，我對數(shù)學(xué)分析的整體理解也大為深厚了典阵；第三奋渔，我的整體數(shù)學(xué)素養(yǎng)也有了很大的提升∽嘲。總之嫉鲸，由于三方面基本原因的疊加，我對這個(gè)定理的理解才較為熟練和到位歹啼。

我學(xué)習(xí)多元微分學(xué)的內(nèi)容時(shí)的經(jīng)歷亦是類似的充坑。從2013年春天開始我就反復(fù)地看這部分的知識减江，中間也有很多次我都誤以為自己已經(jīng)完全學(xué)懂了，但直到2016年8月我才真正掌握了無條件極值捻爷、多元函數(shù)Taylor公式、條件極值份企、偏導(dǎo)數(shù)在幾何中的應(yīng)用也榄、隱函數(shù)定理等基本內(nèi)容，直到此時(shí)我才將眾多的信息碎片融合成為一個(gè)有機(jī)的思想整體司志；的確甜紫，這些知識并不是很抽象，因而不是很難骂远，但是囚霸，它們也很復(fù)雜，相關(guān)的理論激才、問題拓型、定理、結(jié)論等都包涵了大量瘸恼、細(xì)致的信息劣挫。

在重復(fù)到第20遍的時(shí)候，我當(dāng)時(shí)能解決出一部分問題东帅，但只是最為簡單的一些問題压固，而且即便能解決一部分問題，也有誤打誤撞的嫌疑靠闭，即靠的不是自己整體功底的深厚理解帐我，因而只能解決零碎的問題；這也證明愧膀，小聰明只能解決局部問題拦键，要整體性解決所有的問題必須依靠深厚、細(xì)致的功底扇调。到重復(fù)到第55遍時(shí)矿咕，我已經(jīng)能夠整體性地解決大部分問題，而且深刻地感受到這些課后題與課程中的具體概念狼钮、思想碳柱、方法、技巧的有機(jī)聯(lián)系熬芜，即此時(shí)我所掌握的一些孤立的知識信息開始匯聚成整體的知識功底莲镣，而自己所解決的一些孤立的課后題也融入了某一章節(jié)的總體功底之中；總之涎拉，只有重復(fù)到相當(dāng)遍數(shù)瑞侮、熟練到相當(dāng)程度之后的圆，我們對具體知識和具體問題這兩大方面的理解才能由孤立走向整體。

同時(shí)半火，直到這個(gè)階段越妈，我才能夠真正辨別這些課程中哪些內(nèi)容是困難的，同時(shí)哪些內(nèi)容是簡單的钮糖；之前我錯(cuò)誤的認(rèn)為很多知識很困難（如質(zhì)心坐標(biāo)）梅掠，現(xiàn)在我發(fā)現(xiàn)它們只是最簡單的概念；的確店归，一門課程中確實(shí)包含著較為困難的一些內(nèi)容（如重積分變量替換公式的證明）阎抒，但只有到了這個(gè)高度熟練的階段，我才能夠真正辨識出哪些是困難的知識消痛。在開始學(xué)習(xí)一門課程的最初階段且叁，我感覺幾乎所有的知識點(diǎn)都很困難，但當(dāng)我重復(fù)了55遍以后秩伞，我才發(fā)覺大量的內(nèi)容都是比較簡單的（如微積分中的計(jì)算曲線的法平面逞带、曲面的切平面，偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算稠歉，Euler積分的計(jì)算等掰担，它們只是需要遵循標(biāo)準(zhǔn)化的解題方法）；但是怒炸，有部分內(nèi)容則很困難带饱。關(guān)于此點(diǎn)，我們還可以舉出很多其他的例子阅羹，如關(guān)于微積分里的“Legendre多項(xiàng)式是正交多項(xiàng)式列”這一知識點(diǎn)勺疼，在2015年之前我感覺較為復(fù)雜而困難，到2016年8月時(shí)捏鱼，我已經(jīng)感覺它其實(shí)比較簡單而自然执庐。但是關(guān)于抽象代數(shù)中的“若A是UFD，則A[x]也是UFD”這一具體的知識點(diǎn)导梆，等到我將它完全掌握以后轨淌，我則發(fā)現(xiàn)它確實(shí)具有一定的深度。同時(shí)看尼，在這個(gè)時(shí)候递鹉，即使是很困難的部分內(nèi)容，由于整體功底的深化藏斩，我對它們的掌握也比之前輕松了不少躏结；如含參變量積分部分的某些計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜，但此時(shí)我也清楚地掌握了它們的主要思想狰域、技術(shù)細(xì)節(jié)和精神實(shí)質(zhì)媳拴』崎伲總之，無論是簡單的內(nèi)容亦或困難的內(nèi)容屈溉，我的理解都有了大幅度的增強(qiáng)塞关。

（十）值得指出的重要一點(diǎn)是，當(dāng)2016年1月在數(shù)學(xué)分析等課程上重復(fù)到第50遍的時(shí)候我仍然發(fā)現(xiàn)大部分題目都不會做子巾，到此時(shí)我的心態(tài)已經(jīng)達(dá)到了很沮喪的程度描孟；當(dāng)2016年5月重復(fù)到第52、53遍時(shí)盡管我終于能解出部分題目砰左，但仍然感覺認(rèn)識不夠透徹；直到2016年8月重復(fù)到第55遍的時(shí)候场航，我才有了一種透徹掌握的感覺缠导，也是到此時(shí)我才真正感受到了這些數(shù)學(xué)知識的美妙與趣味，才有了一種真正掌握了部分知識的心態(tài)上的成熟與自信溉痢。即對理工科知識來說僻造，只有我們學(xué)到非常好的程度才能體會到它們的真正內(nèi)涵，才能體會到它們的精妙之處孩饼，而這往往需要經(jīng)過一定時(shí)間的積累髓削。

總之，在重復(fù)本科課程的大部分時(shí)間內(nèi)镀娶，我都處在一種比較挫敗的心理狀態(tài)中立膛；直到最后的2、3個(gè)月梯码，由于真實(shí)地感受到自己終于熟練掌握了大量確切的知識宝泵，并且意識到自己終于接近徹底掌握相關(guān)課程讲婚，同時(shí)自己的綜合能力也有了很大提升洛心，我才產(chǎn)生了一種欣喜的心態(tài)。進(jìn)一步地梗醇，在最后的2鳄抒、3個(gè)月里闯捎，我不僅掌握了所重復(fù)的課程的大部分思想、方法许溅、題目等瓤鼻，而且感覺它們都變得分外的淺易和清楚，理解它們也變得比較輕松闹司，這時(shí)我有了一種輕松愉快的心態(tài)娱仔，與前50遍時(shí)的壓抑狀態(tài)是一種很強(qiáng)烈的對比∮巫總之牲迫，就學(xué)習(xí)這3耐朴、4門課程的整個(gè)過程來說，在最初的很長一段時(shí)間內(nèi)盹憎，由于薄弱的基本功筛峭，我思考很多的知識要點(diǎn)、技巧陪每、問題等感覺都很困難影晓；但在最后的2、3個(gè)月檩禾，由于整體功底的深化挂签、細(xì)化以及熟練程度的提高，我思考其中的大部分思想盼产、概念饵婆、題目等開始變得比較輕松，這是一種非常真實(shí)和愉快的感覺戏售，而且侨核，我相信真正掌握了幾門課程的從業(yè)者都會有這種熟練、簡單和穩(wěn)定的總體感受灌灾。即在這段漫長的旅程中搓译，經(jīng)過了陰云密布的前面大半段路程以后，我到最后的階段才接觸到了燦爛的陽光锋喜。簡言之些己，對理工科知識而言，只有學(xué)得非常好才能體會到真正的樂趣跑芳，才能充分轴总、靈活地對它們加以運(yùn)用，學(xué)得半生不熟則不會有太大的意義博个。

所以產(chǎn)生上述現(xiàn)象的深層原因在于怀樟，理工科的每部分內(nèi)容都包含了大量的思想、技巧盆佣、細(xì)節(jié)等復(fù)雜信息往堡，每多重復(fù)一遍我們就能多積累一些思想、細(xì)節(jié)等具體信息共耍，同時(shí)理解深度也會相應(yīng)地加深一些虑灰；當(dāng)我重復(fù)到第30遍時(shí)，相關(guān)的所有思想痹兜、技巧穆咐、細(xì)節(jié)等我只掌握了40%，因而，此時(shí)我自然會產(chǎn)生似懂非懂的感覺对湃，而且大部分題目都無法解決崖叫；而當(dāng)重復(fù)到第51遍時(shí)，所有的思想拍柒、技巧心傀、細(xì)節(jié)等我已經(jīng)掌握了80%，因而拆讯，此時(shí)我才大體學(xué)懂了一部分內(nèi)容的主要實(shí)質(zhì)脂男，并且能解決部分問題；當(dāng)重復(fù)到第55遍時(shí)种呐，相關(guān)的思想宰翅、概念、技巧等我大概已經(jīng)掌握了95%以上爽室，而且總體理解也具備了足夠的深度堕油，所以自然會產(chǎn)生清澈明了的整體感覺。這也充分證明肮之，理解深度是建立在大量的概念、技巧卜录、細(xì)節(jié)等具體信息基礎(chǔ)上的戈擒，在具體信息沒有真正掌握的時(shí)候，一個(gè)人是不太有資格談所謂的深刻理解的艰毒。

相應(yīng)地筐高，這也自然地解釋了我們在解決問題時(shí)出現(xiàn)的普遍狀況；如所周知丑瞧，在最初解題時(shí)我們往往只能解決一些最簡單的問題柑土，這是因?yàn)樵摬糠謨?nèi)容的大部分方法、技巧绊汹、細(xì)節(jié)等我們都還沒有真正掌握稽屏；隨著思想、概念西乖、技巧狐榔、細(xì)節(jié)等的進(jìn)一步積累，理解程度的進(jìn)一步深化获雕，我們才能夠逐漸解決比較困難的問題和很困難的問題薄腻。

(十一)如果以能解決的課后題的比例來作為一個(gè)較為清晰的指標(biāo)，當(dāng)2014年9月届案，我重復(fù)到第30遍時(shí)庵楷，我只能主動解出20%左右的課后題，它們自然是最簡單的20%的題目；當(dāng)2016年1月尽纽，我重復(fù)到第50遍時(shí)咐蚯，我能主動解出60%左右的課后習(xí)題；而當(dāng)2016年9月蜓斧，我重復(fù)到第55遍時(shí)我已經(jīng)能主動解出80%以上的課后題仓蛆，而且包含了大部分困難的題目。當(dāng)我能主動解出80%的課后題目時(shí)挎春，這表明我對這門課程的理解已經(jīng)比較穩(wěn)定和成熟看疙；而對一些學(xué)生來說，如果一門課程只能主動解出20%左右的題目直奋，自然說明掌握地較為膚淺能庆、粗糙和很不穩(wěn)定〗畔撸總之搁胆，能主動解決的課后習(xí)題(比例以及難易程度等)是衡量掌握程度的一個(gè)很好的標(biāo)尺。

（十二）在此邮绿，對真正掌握一些課程時(shí)產(chǎn)生的思想渠旁、心理狀態(tài)進(jìn)行一番闡述是有些意義的。當(dāng)2016年9月船逮，我重復(fù)到第55遍時(shí)顾腊，我終于產(chǎn)生了一種思想上的穩(wěn)定感。以前數(shù)學(xué)分析挖胃、抽象代數(shù)杂靶、C++等課程的知識讓我很焦慮，因?yàn)槲也粫幚硐嚓P(guān)的問題酱鸭，而且無論是面對具體的知識亦或整體的理解我都不夠自信吗垮，當(dāng)時(shí)的整體感覺是對這些課程學(xué)的云里霧里、支離破碎凹髓、似懂非懂烁登；而2016年8月時(shí)，面對這些課程蔚舀，我終于有了一種熟練防泵、輕松的整體感覺，我也終于能夠駕馭它們中包含的大量知識蝗敢，此時(shí)捷泞，我有了一種居高臨下的輕松感，因?yàn)槲抑肋@些課程中的大部分思想寿谴、概念锁右、定理、方法、技巧自己都真正掌握了咏瑟，而且我也做過許多難題拂到，所以我知道自己真正學(xué)懂了這些課程，不再有一種云里霧里码泞、似懂非懂的混亂感受兄旬。同時(shí)，當(dāng)我們真正掌握了一門課程的絕大部分內(nèi)容時(shí)余寥，由于清晰领铐、透徹地掌握了如此廣闊的信息，會帶給我們一種心理上的充實(shí)感宋舷、喜悅感以及成就感绪撵。

也是在這個(gè)時(shí)候，當(dāng)我翻閱這些課程的教材時(shí)祝蝠，面對印入我眼簾的每一個(gè)定理音诈、每一道例題、每一道習(xí)題绎狭，我都有了熟練的感覺细溅，對它們包含的眾多細(xì)節(jié)也都了然于胸；面對這些課程儡嘶，我也產(chǎn)生了較為成熟的自信谒兄；我意識到盡管自己可能還有些具體信息沒有掌握，但是主要的部分我都已經(jīng)熟練掌握了社付。也是在這個(gè)時(shí)候，我才感覺對相關(guān)課程的幾乎每一個(gè)定理邻耕、概念鸥咖、習(xí)題等的具體細(xì)節(jié)和思想實(shí)質(zhì)這兩個(gè)方面我都熟練掌握了；我也深切地體會到兄世，我們只有對一部分知識的所有細(xì)節(jié)達(dá)到十分熟練的程度才能真正將它們學(xué)精啼辣，如果我們對一些題目、定理等掌握得還不夠熟練御滩，則說明這部分知識其實(shí)我們還是沒有真正掌握到位鸥拧；總之，對于一部分特定內(nèi)容削解，只有對其中的每一個(gè)思想富弦、概念、技巧氛驮、細(xì)節(jié)等都達(dá)到熟練掌握的程度才說明學(xué)得較好腕柜。

以往我對一些課程的很多定理、困難的習(xí)題等都有一種畏懼感和些許的神秘感，感覺它們一方面很困難盏缤，其次砰蠢，又有些遙不可及，似乎有著高深莫測的內(nèi)涵唉铜；但是台舱，當(dāng)我真正熟練掌握了它們以后，我吃驚地發(fā)現(xiàn)原來它們其實(shí)比較簡單潭流，其中的技巧竞惋、思想原來很清楚，此時(shí)我產(chǎn)生了一種不過如此的感覺幻枉；當(dāng)然碰声，這種感覺是整體性的，即我對一門課程的所有內(nèi)容同時(shí)達(dá)到了類似的分外輕松的狀態(tài)（這也再次證明一部分知識往往都是整體性的熬甫，想孤立地掌握幾道題目是不太可能的胰挑，即使我們只想解決幾道有限的問題，我們也必須將相關(guān)的整塊內(nèi)容都掌握下來）椿肩。也正是在這個(gè)時(shí)候瞻颂，我才第一次體會到對高等教育階段的某門理工科課程學(xué)透、學(xué)精是一種怎樣的心理狀態(tài)郑象，籠罩在這門課程上的較為神秘的整體感覺才被簡單感贡这、熟練感以及相當(dāng)程度的自信所取代了。此時(shí)厂榛，面對這些課程中的內(nèi)容我產(chǎn)生了一種與面對高中時(shí)期的數(shù)列盖矫、函數(shù)等內(nèi)容類似的感受，感覺它們一方面都很熟悉击奶，同時(shí)也都很簡單辈双，這兩種基本感受是互為因果的：因?yàn)閷σ徊糠謨?nèi)容的每一個(gè)概念、技巧柜砾、細(xì)節(jié)等都高度熟練了湃望，自然會產(chǎn)生很簡單的感覺；同時(shí)痰驱，也只有我們對一部分內(nèi)容學(xué)到感覺很簡單的程度证芭，才說明這部分知識我們已經(jīng)掌握得足夠熟練了。

（十三）在大學(xué)階段担映，我們面臨的一個(gè)基本問題是學(xué)習(xí)時(shí)間的緊張废士；在大學(xué)時(shí)期，知識的容量是巨大的蝇完，僅僅微積分一門課程包涵的信息量就超過了高中數(shù)學(xué)的總和湃密，并且難度也有了較大增加诅挑，何況大學(xué)階段有十幾門課程需要學(xué)習(xí)；因此泛源，大家當(dāng)時(shí)的學(xué)習(xí)狀態(tài)是被動地跟著課程往前趕拔妥，疲于應(yīng)付接踵而至的全新課程，根本沒有時(shí)間去重復(fù)學(xué)習(xí)這些課程达箍；因此没龙，本科課程的整體學(xué)習(xí)狀況自然很糟糕。

同時(shí)缎玫，與高中知識相比硬纤，大學(xué)學(xué)習(xí)的另一個(gè)很大區(qū)別在于高中時(shí)候我們當(dāng)時(shí)的抽象思維能力不夠強(qiáng)，還沒有太多自己的獨(dú)立思想赃磨，因而當(dāng)時(shí)并非自己主動地解題筝家；而大學(xué)解題靠的則是直覺、對知識內(nèi)容的深刻理解邻辉，思想性也大為增強(qiáng)溪王。相應(yīng)地，就所需要解決的課后習(xí)題而言值骇，由于基礎(chǔ)教育階段的知識點(diǎn)較少莹菱，因而，對一個(gè)具體的知識點(diǎn)往往會有好幾道問題進(jìn)行重復(fù)地考察吱瘩，而高等教育階段的習(xí)題則幾乎每道題目都有自己獨(dú)特的內(nèi)涵道伟。即對理工科各專業(yè)來說，從高中階段進(jìn)入到高等教育階段使碾，在不知不覺間蜜徽，我們需要學(xué)習(xí)的知識內(nèi)容、需要予以創(chuàng)造性解決的問題都發(fā)生了巨大的變化票摇。

一個(gè)較為明顯的基本事實(shí)是拘鞋，大學(xué)知識的復(fù)雜性、抽象性兄朋、困難性等主要的基本特征與高中知識相比也有了很大的提高。（舉例來說怜械，高等代數(shù)中的二次型部分的知識即比高中數(shù)學(xué)的數(shù)列要復(fù)雜颅和、抽象、細(xì)致得多）面對本科階段的復(fù)雜知識缕允，我們往往沒有做好心理和思想上的準(zhǔn)備峡扩；同時(shí)，在本科階段障本，我們才真正開始了對生活的思考教届，生活中的各種問題也會要求我們不斷思考响鹃。總之案训，在學(xué)習(xí)和生活兩個(gè)方面买置，本科階段與高中階段相比都發(fā)生了質(zhì)的變化，這是需要我們明確的基本事實(shí)强霎。

總之忿项，由于學(xué)習(xí)時(shí)間的緊張以及知識難度的增加，我們被迫跟隨著課程進(jìn)度前進(jìn)而沒有充分的時(shí)間消化城舞、吸收課程中的信息轩触，這是本科學(xué)習(xí)中很多學(xué)生面臨的一個(gè)基本問題。（需要指出的是家夺，事實(shí)上脱柱，由于思維能力處在較低的水平，因而拉馋，我們即便有充分的時(shí)間來學(xué)習(xí)榨为，其實(shí)還是掌握不了這些具體知識；我直到本科畢業(yè)5年以后才掌握了數(shù)學(xué)分析等大一時(shí)期的課程）

（十四）對于已經(jīng)本科畢業(yè)或者研究生畢業(yè)步入社會的學(xué)生來說椅邓，如電子工程柠逞、機(jī)械工程等專業(yè)的畢業(yè)生，我們可以肯定地說他們中的大部分基本功都存在著比較嚴(yán)重的問題景馁；因而板壮，無論工作后的生活如何混亂復(fù)雜、動蕩不寧合住，他們可能都需要在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候重復(fù)55遍以上的本科課程以便提高自己的思維能力绰精、專業(yè)素養(yǎng)和解決實(shí)際問題的能力，只有這樣才能更好地勝任自己的工作透葛。由于本科階段我們的課程安排都很緊張笨使，都在疲于應(yīng)對各種接踵而至的考試，因而僚害，我們沒有時(shí)間在某些基礎(chǔ)課程上重復(fù)55遍以上硫椰；因此，這一關(guān)鍵性的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)可能必須要在本科畢業(yè)以后才能進(jìn)行萨蚕。同時(shí)靶草，雖然我們的思維能力在本科階段始終較低，我們面對具體的知識也會感覺難以消化岳遥，較為痛苦奕翔；但是，這一階段的大量時(shí)間投入也是必不可缺的浩蓉，因?yàn)檫@一個(gè)思維能力較低的階段時(shí)的積累是后續(xù)思維能力提升的必要前提派继。因而宾袜，在本科階段，我們也必須在學(xué)習(xí)上投入大量的精力驾窟，沒有這一段時(shí)間的持續(xù)積累庆猫，后續(xù)的學(xué)習(xí)也難以順利完成思維境界的升華。

（十五）在理工科學(xué)習(xí)的復(fù)雜過程中纫普，我們需要重視從獨(dú)立思考的角度審視所學(xué)到的知識阅悍，此點(diǎn)對理工科工作人員是至關(guān)重要的，如果我們從思想性昨稼、藝術(shù)性的角度來以自己的方式掌握這些具體信息节视，可以使我們的理解擴(kuò)充一倍；在這個(gè)過程中假栓，自己的獨(dú)立思考是極端重要的寻行，即我們需要以自身的思維方式去理解特定的知識，因?yàn)樨揖＃總€(gè)人都有不同的思維風(fēng)格拌蜘，所以需要以自身的獨(dú)立思考給掌握的知識打上自己的烙印，這樣的知識在自己的頭腦中才能具有長久的生命力牙丽，同時(shí)简卧，只有具備了大量的獨(dú)立思考我們才能對知識形成生動的理解，才有可能在未來做出創(chuàng)新烤芦；即一門課程包含了知識和思想兩個(gè)層次举娩，后者是必不可缺的一個(gè)基本方面。

在重新學(xué)習(xí)本科課程的過程中构罗，只有建立起自身大量的獨(dú)立見解铜涉，我們才能為以后的獨(dú)立研發(fā)做好準(zhǔn)備，獨(dú)立見解是日后進(jìn)行創(chuàng)造性工作的主要基石遂唧，如果只是掌握了具體的知識而沒有自身的獨(dú)立思考芙代，那么，獨(dú)立創(chuàng)造的質(zhì)量便難以保證盖彭。只有用自己的方式掌握相應(yīng)的知識纹烹，這些思想和信息在我們的頭腦中才能保持生氣勃勃，才能為日后的創(chuàng)造打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)召边，這是一個(gè)很明顯的基本事實(shí)铺呵。反過來講，在理工科領(lǐng)域掌实，如果缺少獨(dú)立思考層面的認(rèn)識陪蜻，未來做出重大創(chuàng)新的可能性是很低的邦马，因?yàn)樾畔⒘坎粔蜇S富贱鼻、深刻宴卖。

其中，獨(dú)立思考主要包括思辨層面和藝術(shù)層面兩個(gè)方面的獨(dú)立認(rèn)識邻悬。思辨層面的思考能夠使我們從思想的角度來理解特定的知識症昏；而藝術(shù)層面的思考則能使我們掌握的具體知識充滿創(chuàng)造性和新穎的活力，因?yàn)樗囆g(shù)需要?jiǎng)?chuàng)造力父丰，而創(chuàng)造力也需要藝術(shù)肝谭。舉例而言，ET Bell的<Men of Mathematics>是人們所熟知的蛾扇，貝爾的文筆無疑足夠優(yōu)美攘烛，但思辨深度則有所欠缺，因而镀首，他并沒有做出最杰出的具體貢獻(xiàn)（如同我們在其他地方[3]所指出的中心事實(shí)：在數(shù)學(xué)坟漱、物理界中，只有Laplace更哄、Dirac芋齿、Heisenberg等大師們的表達(dá)才同時(shí)具備了真正的思想性與藝術(shù)性，大部分諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)得主的文筆亦沒有達(dá)到這一層次成翩，畢竟數(shù)學(xué)觅捆、物理學(xué)界的大師人數(shù)是很少的）。需要補(bǔ)充的是麻敌，電子工程栅炒、統(tǒng)計(jì)、計(jì)算機(jī)等工科專業(yè)的從業(yè)者在一定程度上也需要用思想性和藝術(shù)性的方式來儲存自身的專業(yè)知識庸论，雖然不像數(shù)學(xué)和物理專業(yè)那么嚴(yán)格职辅，這些專業(yè)同時(shí)需要的則是另外的一些思想素質(zhì)。

（十六）如我們所反復(fù)強(qiáng)調(diào)的聂示，在重復(fù)本科課程的過程中域携，知識的掌握是一方面，在知識掌握的過程中鱼喉，我們逐漸積累起來的大量獨(dú)立見解是第二個(gè)方面秀鞭，同時(shí)，在這個(gè)過程中扛禽，我們的思維能力的提升也是很重要的第三個(gè)方面锋边。思維能力的大幅度提升也是重復(fù)本科課程帶給我們的美好禮物；例如编曼，如果我們重復(fù)數(shù)學(xué)分析等本科基礎(chǔ)課程豆巨，重復(fù)幾十遍之后，我們的整體思維能力會有很大的提高掐场，這樣我們面對計(jì)算機(jī)領(lǐng)域中的知識（如算法往扔、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)等課程）時(shí)贩猎，吸收效率、理解深度會大為增強(qiáng)萍膛，會感覺這些特定的知識分外簡單吭服。即重復(fù)數(shù)學(xué)分析等課程會使得我們的思維能力發(fā)生本質(zhì)提高，使得我們學(xué)習(xí)其他領(lǐng)域的知識時(shí)效率也會有很大的提高蝗罗。而如果我們只是浮泛地艇棕、不停地閱讀前沿論文，我們的理工科思維能力雖然也會提升串塑，但不會太快沼琉；同時(shí)，這樣浮泛地學(xué)習(xí)會使得我們沒有徹底掌握任何一門課程的寶貴經(jīng)驗(yàn)桩匪，沒有對一門數(shù)學(xué)課程學(xué)深刺桃、學(xué)精的心智體驗(yàn)，這往往導(dǎo)致我們對計(jì)算機(jī)等領(lǐng)域之中某門具體課程的學(xué)習(xí)也很難學(xué)深吸祟、學(xué)精瑟慈。

在這里，我們可以舉一個(gè)具體的例證：2014年夏天以前屋匕，盡管我對C語言中的冒泡法重復(fù)閱讀了10遍左右葛碧，但是理解起來仍然感覺較為困難而抽象；但是过吻，到2016年春天時(shí)进泼，經(jīng)過了思維能力的不斷提升，此時(shí)我感覺理解冒泡法已經(jīng)很簡單纤虽，只看了1遍左右就輕松掌握了乳绕。上述例證其實(shí)從屬于一個(gè)更寬廣的例子，即對C語言整門課程而言逼纸，本科二年級（2008年秋天）時(shí)我曾經(jīng)學(xué)習(xí)過這門基本課程洋措，當(dāng)時(shí)學(xué)得較為痛苦、似是而非杰刽，感覺各種知識細(xì)節(jié)較為蕪亂菠发；但是，通過重復(fù)本科課程得到的思維能力的提升贺嫂，到2016年5月滓鸠，我只用2-3個(gè)小時(shí)的時(shí)間就掌握了本科時(shí)期耗費(fèi)了上百個(gè)小時(shí)也沒有掌握的大量知識，如字符數(shù)組第喳、二維數(shù)組糜俗、指針、結(jié)構(gòu)、鏈表悠抹、宏（帶參宏定義寞射、無參宏定義）、字符串處理函數(shù)锌钮、數(shù)組初始化等；此時(shí)我對上述大量具體知識的理解都清楚了很多引矩。概言之梁丘，思維能力的提高既會加快我們對局部信息的吸收、理解速度也會增強(qiáng)我們對知識整體的掌握效率旺韭，這兩個(gè)方面對我們的學(xué)習(xí)氛谜、工作都有著很大的價(jià)值。從這里我們其實(shí)也解釋了周圍天賦較高的人為何一天只學(xué)習(xí)3区端、4個(gè)小時(shí)即能將各種知識學(xué)得很好這一基本現(xiàn)象值漫，背后的原因就是他們的思維能力較強(qiáng)。

類似地织盼，關(guān)于實(shí)變函數(shù)中的“依測度收斂的函數(shù)列必有幾乎處處收斂的子序列”和高等代數(shù)中的“n階對陣矩陣必可通過合同變換對角化”這兩個(gè)命題杨何，本科期間我曾花費(fèi)很大精力仔細(xì)鉆研過，但當(dāng)時(shí)都沒有學(xué)懂沥邻；而到2016年6月時(shí)危虱，我在很短的時(shí)間內(nèi)只看了一遍就較好地掌握了它們。

總之唐全，思維能力的提升埃跷、知識基礎(chǔ)的完善化及獨(dú)立思想的大量積累是系統(tǒng)地重復(fù)本科課程能夠帶給我們的三個(gè)主要方面的思想財(cái)富。正如大部分理工科從業(yè)人員都能體會到的邮利，不同的理工科從業(yè)人員在思維能力上存在著巨大的差異弥雹，本文的基本結(jié)論之一就在于：這種思維能力上的差異是可以克服的（途徑即是在適宜的情況下重復(fù)本科課程），只是需要付出很大的努力延届。

如前所述剪勿，本文的基本出發(fā)點(diǎn)是學(xué)好基礎(chǔ)課程，打好基本功方庭，可能會有人爭辯說一些卓越的理工科工作者窗宦，如格羅騰迪克、斯梅爾等數(shù)學(xué)家基本功并不是太扎實(shí)二鳄，然而他們也做出了第一流的工作赴涵，在這里，我們不應(yīng)該忽略一個(gè)本質(zhì)問題：的確订讼，這些卓越的數(shù)學(xué)家的基本功可能不是太扎實(shí)髓窜，但他們的思維能力非常強(qiáng)洲胖，處在“很好”的層次，因而拔莱，他們很快即能學(xué)到大量的新知識進(jìn)而融會貫通癣籽；而大部分基本功不太扎實(shí)的從業(yè)人員的思維能力也不是太強(qiáng)，因而他們需要在重復(fù)本科課程的過程中提高自身的思維能力程拭，否則定踱，如果只是浮泛地閱讀前沿論文，則他們的思維能力直到40歲也無法實(shí)現(xiàn)本質(zhì)的飛躍恃鞋，而且直到40歲他們可能都沒有徹底掌握幾門本科課程崖媚。

（十七）在前文中，“思維能力”是一個(gè)總體性的概念恤浪，它被用來形容我們吸收具體知識時(shí)的速度和效率畅哑，由于這個(gè)概括較為籠統(tǒng)，下面我們有必要較為具體地剖析一下這個(gè)基本概念的豐富內(nèi)涵水由。

伴隨著重復(fù)本科課程導(dǎo)致的思維能力的不斷增強(qiáng)荠呐，我們的創(chuàng)造力會得到明顯提升。對我個(gè)人來說砂客，在以往薄弱的知識基礎(chǔ)上泥张，我具有的僅僅是微乎其微的創(chuàng)造力，無論是解決問題的創(chuàng)造力抑或提煉嶄新理論的創(chuàng)造力等鞠值；而伴隨著知識功底的深厚圾结、直覺的增強(qiáng)、技巧的豐富化等多個(gè)方面的基本變化齿诉，我的創(chuàng)造力有了明顯的提升筝野，我獲得了多種類型的創(chuàng)造力（創(chuàng)造性地解決問題、思考概念粤剧、提煉規(guī)律歇竟、推廣已有的知識等），并且抵恋，此時(shí)我的創(chuàng)造力有了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)焕议。

與此同時(shí)，我的抽象思維能力也有了很大提升弧关。一個(gè)較佳的例子是盅安，以往我認(rèn)為Baire綱定理無論是定理的證明還是定理的應(yīng)用等方面都很抽象，直到我反復(fù)閱讀了這個(gè)理論30遍之后世囊，我對它仍然懷有畏懼心理别瞭，仍然認(rèn)為它過于抽象，此時(shí)我甚至對我的整體的抽象思維能力夠不夠強(qiáng)也產(chǎn)生了一定程度的懷疑株憾；后來當(dāng)我重復(fù)閱讀50遍蝙寨，熟練掌握了它的所有相關(guān)細(xì)節(jié)以后晒衩，我才發(fā)現(xiàn)它其實(shí)很樸實(shí)、親切墙歪√担總之，在本科階段虹菲，好學(xué)生的抽象思維能力確實(shí)比普通學(xué)生強(qiáng)很多靠胜；而如果我們重新學(xué)習(xí)本科課程，由于我們能夠思考毕源、掌握越來越抽象的各種知識浪漠，我們的抽象思維能力會得到不斷提升。

在此期間脑豹，我們的抽象概括能力也會逐漸增強(qiáng)。對很多類似的問題衡查、類似的方法瘩欺、類似的概念等我們都會逐漸發(fā)現(xiàn)隱藏在它們背后的一般規(guī)律，我們綜合運(yùn)用多種知識拌牲、思想俱饿、技巧的能力會有顯著的提高，對一些課程的基本特征我們也會產(chǎn)生越來越多的整體概括塌忽。此時(shí)拍埠，我們會逐漸具備融會貫通的能力，會自然而然地發(fā)現(xiàn)越來越多的知識之間的關(guān)聯(lián)環(huán)節(jié)土居，并且逐步建立起對一門課程的有機(jī)理解枣购。總之擦耀，我們從多種類型的理論概括中會得到莫大的樂趣棉圈。

伴隨著這個(gè)復(fù)雜的過程，我們捕捉關(guān)鍵信息的能力眷蜓、具體思考特定內(nèi)容的能力也會不斷增強(qiáng)分瘾。當(dāng)我花費(fèi)3年7個(gè)月的時(shí)間，通過反復(fù)重復(fù)徹底掌握了本科階段的4吁系、5門課程以后德召，我明白到：在本科階段，思維能力“很好”的學(xué)生吸收到了大量的具體信息汽纤，而普通學(xué)生吸收到的則只是一些表層的上岗、比較簡單的知識；在此蕴坪，重新學(xué)習(xí)本科課程即能解決這一基本問題液茎。首先，隨著具體知識的大量積累，我們會逐漸意識到哪些技巧捆等、思想滞造、概念在某個(gè)證明或者某道題目中真正發(fā)揮了關(guān)鍵性作用。同時(shí)栋烤，我們對一門課程的理解也會由空泛谒养、籠統(tǒng)走向具體化；每門課程其實(shí)主要都是由大量的具體細(xì)節(jié)構(gòu)成的明郭，但是买窟，當(dāng)我們的思維能力較低、對一門課程的理解較淺時(shí)薯定，我們根本洞察不到很多重要的具體信息始绍，只有當(dāng)我們的思維能力增強(qiáng)、知識基礎(chǔ)深厚以后话侄，它們才會自然地涌入我們的視界亏推。總之年堆，伴隨著重復(fù)本科課程吞杭，我們的數(shù)學(xué)思維能力一方面會更加抽象，一方面會更加具體变丧，二者會互相增強(qiáng)芽狗、互相促進(jìn)——具體化思考能力的增強(qiáng)會使得我們的抽象概括能夠擁有更多、更詳盡痒蓬、更細(xì)致的材料童擎，而抽象思維能力的增強(qiáng)則會使我們能夠更容易地發(fā)現(xiàn)大量、多樣的具體信息攻晒。

在這個(gè)思維能力不斷提升的過程中柔昼，我們的計(jì)算能力也會有大幅度的提高。以往當(dāng)我們的基本功很薄弱炎辨、能力很差的時(shí)候捕透，我們即便對一些簡單的計(jì)算也會覺得較為費(fèi)力，而且即使算出來也會無法確定自己的結(jié)果是否正確（原因在于相關(guān)的一整塊知識我們其實(shí)都掌握的似懂非懂）碴萧；而隨著基本功的深化與能力的增強(qiáng)乙嘀，我們進(jìn)行簡單的計(jì)算會越發(fā)純熟自如；同時(shí)破喻，隨著我們廣泛接觸并熟練掌握了大量復(fù)雜的證明與問題虎谢，我們也能夠處理越來越繁雜的計(jì)算（此時(shí)的計(jì)算已經(jīng)混合著長時(shí)間積累起來的很多經(jīng)驗(yàn)、直覺曹质、概念婴噩、技巧等）擎场。

同時(shí)，我們的獨(dú)立思考能力也會不斷增強(qiáng)几莽、深化迅办。當(dāng)我們的知識基礎(chǔ)浮泛、薄弱之時(shí)章蚣，我們也會產(chǎn)生一些獨(dú)立思考站欺，但此時(shí)我們的獨(dú)立思考是過于空洞而缺乏有價(jià)值的思想實(shí)質(zhì)的；當(dāng)基本功底深化纤垂、能力提升以后矾策，我們的獨(dú)立思考才能獲得堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，此時(shí)（如果有強(qiáng)烈的獨(dú)立思考的意愿的話）我們會產(chǎn)生越來越多自己的觀點(diǎn)峭沦；并且由于我們具備了豐富而深刻的知識閱歷贾虽，這些獨(dú)立觀點(diǎn)會愈發(fā)合理、新穎而成熟吼鱼。

隨著重復(fù)遍數(shù)的不斷增加蓬豁，我們的思想深度此時(shí)也會有巨大的提升。容易明白蛉抓，在本科階段庆尘，好學(xué)生對一門課程的理解要比思維能力“普通”的學(xué)生深刻得多剃诅；當(dāng)我們的知識功底薄弱空洞巷送、思維能力差的時(shí)候，我們對一門課程的理解幾乎注定是是膚淺而空泛的矛辕，而當(dāng)我們的知識功底變得寬廣深厚之后笑跛，我們才能理解教材中一些深刻的思想，同時(shí)聊品，我們也才能逐漸理解前人和好學(xué)生的一些深度經(jīng)驗(yàn)飞蹂。此時(shí)，當(dāng)我們再去閱讀相關(guān)的書籍時(shí)翻屈，我們會有深刻的理解陈哑，而不像以往那樣只能產(chǎn)生淺層的認(rèn)識；由于已經(jīng)能夠辨別出一門課程中表層與深層的思想伸眶，我們會形成深刻的思維方式惊窖，能夠獨(dú)立解決大量困難的問題；同時(shí)厘贼，也為未來富有意義的創(chuàng)新打下了良好的知識與思想基礎(chǔ)界酒。

在這個(gè)過程中，我們分析問題嘴秸、綜合解決問題的能力也會有很大的提高毁欣。由于功底的增強(qiáng)與能力的提升庇谆，我們能夠更為深入地分析大量的定理與知識，面對嶄新的問題凭疮，我們也能夠通過分析饭耳、綜合等多種手段來創(chuàng)造性地發(fā)現(xiàn)一些解決問題的方法與路徑。此時(shí)哭尝，我們分析問題的深度哥攘、細(xì)致性等方面會明顯加強(qiáng)，也能夠愈發(fā)靈巧地綜合運(yùn)用許多相隔較遠(yuǎn)的部分的重要思想材鹦；總之逝淹，我們具體分析特定問題與知識的能力與綜合運(yùn)用多種手段、技能的能力都會得到顯著地提升桶唐。

總之栅葡，“思維能力”這個(gè)概念包涵兩層價(jià)值：首先，作為一個(gè)整體概念它是有意義的尤泽；對此欣簇，一個(gè)很適當(dāng)?shù)睦邮牵究破陂g我們數(shù)學(xué)系一百多位同學(xué)在同一間教室里聽講復(fù)變函數(shù)坯约、實(shí)變函數(shù)熊咽、泛函分析、代數(shù)拓?fù)涞日n程闹丐，但是當(dāng)時(shí)我們大部分思維能力“普通”的學(xué)生與思維能力“很好”的少部分學(xué)生之間的理解差距極大（當(dāng)然横殴，這是我在本科畢業(yè)5年，熟練掌握了4卿拴、5門本科課程以后才意識到的）衫仑，后者的理解深刻得多，掌握的具體信息量也豐富得多堕花，同時(shí)他們的抽象概括能力使得他們能夠建立起已有知識的豐富聯(lián)系文狱，而且他們對這些知識的掌握也熟練得多，解決課后習(xí)題的創(chuàng)造力也相應(yīng)地高得多（當(dāng)時(shí)那些好學(xué)生花一小時(shí)學(xué)到的知識缘挽，我們恐怕要花50個(gè)小時(shí)才能達(dá)到與之相當(dāng)?shù)睦斫獬潭让槌纾划?dāng)然，這個(gè)對比也不是很恰當(dāng)壕曼，因?yàn)樗昭校幢阄覀兺度?0倍的時(shí)間來學(xué)習(xí)這些課程，其實(shí)我們也要在進(jìn)入本科8窝稿、9年時(shí)間之后才能真正掌握它們）楣富。總之伴榔，這個(gè)概念確實(shí)可以用來較好地形容我們吸收知識的速度和效率纹蝴。其次庄萎，“思維能力”又至少是上述的8、9種具體能力的總稱塘安，這些具體能力其實(shí)代表了理工科需要的大部分的基本能力糠涛，它們中的每一種都是很富有意義的（同時(shí)，意味深長的是兼犯，它們也是緊密聯(lián)系忍捡、互相增強(qiáng)的）；好學(xué)生其實(shí)從進(jìn)入大學(xué)一年級的課堂開始就同時(shí)具備了這8切黔、9種重要的能力（其實(shí)從他們的初中砸脊、高中階段就逐漸具備這些能力了），因而纬霞，他們的學(xué)習(xí)效率才比思維能力“普通”的學(xué)生高出幾十倍凌埂。只有將這兩層思想結(jié)合起來，我們才能夠?qū)Α八季S能力”這個(gè)概念有較為合理的理解诗芜。

最后瞳抓，必須說明的是，我們重新學(xué)習(xí)本科課程的目的絕不僅僅是為了提升自己的思維能力伏恐，這個(gè)過程我們所掌握的大量具體知識也是極端重要的孩哑；那種認(rèn)為教育的目的只是培養(yǎng)能力的看法無疑是相當(dāng)錯(cuò)誤的，因?yàn)椋旱谝淮滂耄R與能力是統(tǒng)一的横蜒，沒有知識的具體積累就很難有這些思維能力的整體提升；第二秤掌，具體知識對每個(gè)專業(yè)的學(xué)生來說都是很重要的愁铺，比如鹰霍，微積分即很重要闻鉴，商業(yè)界的眾多領(lǐng)域都需要運(yùn)用它，有限元茂洒、有限差分也很重要孟岛，很多工科專業(yè)都需要使用它們；如果我們只有空洞的所謂的能力督勺，而沒有這些具體的知識積累渠羞，我們遇到實(shí)際工作中的具體問題時(shí)該如何創(chuàng)造性地加以解決呢？總之智哀，知識的積累是教育的基本組成部分次询，它的重要性不在提升學(xué)生的綜合能力、思維能力之下瓷叫。[4]

（十八）我們常常遇到的一個(gè)基本現(xiàn)象是屯吊，很多從業(yè)者認(rèn)為自己計(jì)算某些問題（如第二類曲面積分）時(shí)出錯(cuò)只是偶然的粗心所致送巡，這一看法在很多情況下是錯(cuò)誤的；大部分情形下盒卸，我們計(jì)算錯(cuò)誤并不是粗心的結(jié)果骗爆，而是理解深度不足所造成，即我們對某一整塊知識的理解都不到位蔽介。很多有經(jīng)驗(yàn)的教師都知道某些學(xué)生存在著眼高手低的問題摘投，對眾多問題只有思路，而不能實(shí)際得到最終精確的結(jié)果虹蓄，他們往往認(rèn)為這只是態(tài)度不夠嚴(yán)謹(jǐn)犀呼、細(xì)心不足的問題；其實(shí)實(shí)際情況是薇组，由于對某一塊知識的整體理解存在著嚴(yán)重問題圆凰，我們不僅無法得到正確的結(jié)果，而且整個(gè)思路都很混亂和模糊体箕。

舉例來說专钉，在2014年3月份時(shí)，我就以為自己已經(jīng)完全掌握了函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的分析性質(zhì)等內(nèi)容累铅；可是到2016年7月份跃须，有了兩年多的積累以后，我才意識到當(dāng)時(shí)自己其實(shí)并沒有真正掌握這些內(nèi)容娃兽；我以前的理解存在兩個(gè)基本缺陷：一是片面菇民，即沒有將這部分知識的理解有機(jī)地融入數(shù)學(xué)分析的整體框架；二是膚淺投储，即當(dāng)時(shí)對這些知識的理解缺少深度第练。在這里，我還可以舉出自己在學(xué)習(xí)過程中遇到的另外兩件經(jīng)歷：第一件事是2012年8月左右玛荞，我遇到一道抽象代數(shù)中關(guān)于極大理想和環(huán)的問題娇掏，當(dāng)時(shí)自己無法解答，為此我苦惱了一段時(shí)間勋眯；但是婴梧，四年之后，我才意識到即使當(dāng)時(shí)解出了那道問題客蹋，我對于環(huán)乃至于對抽象代數(shù)的整體理解仍然存在著很大問題塞蹭；因而，我的根本問題在于對這部分知識的整體理解存在著很大問題讶坯，即關(guān)于這部分知識的整體功底存在著嚴(yán)重的缺陷番电，而不僅是一道孤立的特定問題。第二件事發(fā)生在2015年秋天辆琅，我當(dāng)時(shí)解決狹義相對論中涉及能量漱办、動能担汤、速度和動量關(guān)系的一道問題時(shí)，感覺有些勉強(qiáng)洼冻，問題對我來說有些繁瑣崭歧；后來，當(dāng)我將狹義相對論又重復(fù)了幾遍以后（2016年8月）撞牢，才明白到當(dāng)時(shí)自己對狹義相對論的整體掌握即不太熟練率碾，對許多具體知識的理解存在著較大問題；當(dāng)我對狹義相對論的整體把握進(jìn)一步加強(qiáng)之后屋彪，我感覺此時(shí)自己解決那道以往感覺不太自信的問題已經(jīng)分外輕松所宰。（這一體驗(yàn)也充分證明我們要掌握一部分知識必須要達(dá)到大體解決全部課后問題時(shí)才能真正把握到位）總之，這些事例可以幫助我們澄清認(rèn)識上的一個(gè)誤區(qū)：我們解不出某些問題只是偶然的畜挥，算錯(cuò)某道題也是偶然的仔粥，其實(shí)這都是整體性現(xiàn)象；在對一部分知識似乎讀懂與真正透徹的理解之間其實(shí)隔著重復(fù)幾十遍的艱辛過程蟹但。

在重復(fù)本科課程之前的時(shí)候（2012年）躯泰，我有時(shí)感覺自己的數(shù)學(xué)分析學(xué)的并不差，好像主要內(nèi)容都學(xué)懂了华糖，后來等到我花費(fèi)了3年7個(gè)月的時(shí)間重復(fù)了這門課程之后麦向，我才意識到，當(dāng)時(shí)我掌握的其實(shí)非常差客叉，幾乎所有的精華其實(shí)都沒有學(xué)懂诵竭。這也充分證明，理工科課程的學(xué)習(xí)確實(shí)很容易出現(xiàn)似是而非的現(xiàn)象兼搏。

[1]在中國大學(xué)的數(shù)學(xué)系中卵慰，數(shù)學(xué)分析這一課程大約相當(dāng)于國外大學(xué)的微積分和數(shù)學(xué)分析原理兩門課程的綜合；即包括微積分和它的深層原理兩個(gè)部分佛呻。微積分包含的內(nèi)容是非常廣的裳朋，同時(shí)，它的理論基礎(chǔ)也較為復(fù)雜件相。

[2]本文所描述的經(jīng)驗(yàn)應(yīng)當(dāng)是一種普遍性的現(xiàn)象再扭，如調(diào)和分析大師Carleson曾經(jīng)詳細(xì)描述了他學(xué)習(xí)氧苍、研究數(shù)學(xué)的個(gè)人經(jīng)驗(yàn)夜矗，他寫道:“At 19 I got my BS. It all seemed very easy and I still had no idea what mathematics was all about.” “I got my degree in 1950 and a permanent position as a professor in 1954. Looking back, I can now say that I still did not know what serious mathematics or problem solving really meant. It would take me another four years, till 1958, at the age of 30, when I for the first time wrote a paper that I still consider of some interest.” 見One Hundred Reasons to be a Scientist里的文章< It would be Wonderful to Prove Something>, p. 61, ICTP, 2004。容易看出让虐，Carleson所描述的現(xiàn)象與本文所分析的基本問題是非常契合的紊撕。這自然是一個(gè)很富有啟迪的實(shí)例。

[3]?參看拙文《論理工科從業(yè)者的思想基礎(chǔ)》第（四）部分赡突。

[4]?對這一重要認(rèn)識对扶，著名思想家懷特海曾寫道：“但教會學(xué)生解二次方程的意義是什么呢区赵？對這個(gè)問題有一種傳統(tǒng)的回答，即人的大腦是一種工具浪南，你首先要使它鋒利笼才，然后再使用它；掌握解二次方程的本領(lǐng)便是一種磨礪大腦的過程络凿÷馑停”“（這一觀點(diǎn)是）迄今存在于教育理論中的最致命、最錯(cuò)誤因而也是最危險(xiǎn)的一種觀點(diǎn)絮记∷猓”“你不能延遲大腦的生命，像工具一樣先把它磨好然后再使用它怨愤。不管學(xué)生對你的主題有什么興趣派敷，必須此刻就喚起它；不管你要加強(qiáng)學(xué)生什么樣的能力撰洗，必須此刻就進(jìn)行篮愉；不管你的教學(xué)給予精神生活什么潛在價(jià)值，你必須現(xiàn)在就展現(xiàn)它差导。這是教育的金科玉律潜支，也是一條很難遵守的規(guī)律∈裂矗”見《教育的目的》中的同名論文冗酿，頁10、11络断，三聯(lián)書店裁替，2002年。