機(jī)械動(dòng)力學(xué)（一）：剛體動(dòng)力學(xué)

前言

機(jī)械動(dòng)力學(xué)系列文章蟆湖，初衷是整理研究生課程《機(jī)械動(dòng)力學(xué)》主干知識(shí)宛裕。每篇文章最前會(huì)給出本部分在國(guó)內(nèi)的課程名稱(chēng)，以及所需要的前修知識(shí)先蒋。

剛體動(dòng)力學(xué)

對(duì)于剛體動(dòng)力學(xué)，本部分的講授內(nèi)容實(shí)際為理論力學(xué)（二）：剛體的一般運(yùn)動(dòng)（三維運(yùn)動(dòng)）宛渐。因此竞漾，學(xué)習(xí)這部分所需的前修課程有：理論力學(xué)（質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)、剛體的平面運(yùn)動(dòng)）皇忿、矢量分析基礎(chǔ)畴蹭。

本部分的具體可以參考：Hibbeler R C. Engineering Mechanics: Dynamics (12th) (Chap.20 21)

剛體運(yùn)動(dòng)的分類(lèi)

從運(yùn)動(dòng)維度來(lái)分坦仍，剛體可分為平面運(yùn)動(dòng)（二維）和一般運(yùn)動(dòng)（三維）鳍烁。平面運(yùn)動(dòng)內(nèi)有平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)兩種特殊形式，組合在一起即為平面運(yùn)動(dòng)繁扎。而對(duì)于一般運(yùn)動(dòng)幔荒，有一些特殊的一般運(yùn)動(dòng)比如定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（陀螺）等。因此梳玫，如何用物理方程描述這些運(yùn)動(dòng)爹梁，便是后續(xù)討論的內(nèi)容。

剛體的一般運(yùn)動(dòng)：運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

描述剛體一般運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系（以平面為例）

$XYZ$ ：全局坐標(biāo)系提澎，固定坐標(biāo)系姚垃。以下簡(jiǎn)稱(chēng)定系。
$xyz$ ：局部坐標(biāo)系盼忌，旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系积糯。以下簡(jiǎn)稱(chēng)動(dòng)系掂墓。

位置關(guān)系： $\vec{r}_B = \vec{r}_A + \vec{r}_{B/A}$

上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得到速度關(guān)系： $\vec{v}_B = \vec{v}_A + \frac{{\rm d}}{{\rm d}t }\vec{r}_{B/A}$ 看成。對(duì)于旋轉(zhuǎn)矢量（ $\vec{r}_{B/A}$ 在全局固定坐標(biāo)系下與局部動(dòng)坐標(biāo)系固結(jié)君编，隨著動(dòng)系旋轉(zhuǎn)），求旋轉(zhuǎn)矢量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)川慌，可以使用如下公式計(jì)算：

$\frac{{\rm d}}{{\rm d}t }\vec{r}_{B/A} = (\vec{v}_{B/A})_{xyz} + \vec{\Omega} \times \vec{r}_{B/A}$

平面中理解即為絕對(duì)速度=相對(duì)速度（相對(duì)導(dǎo)數(shù)）+牽連速度吃嘿。稍加整理，便可以得到速度關(guān)系： $\vec{v}_B = \vec{v}_A + \vec{\Omega} \times \vec{r}_{B/A} +(\vec{v}_{B/A})_{xyz}$

繼續(xù)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)梦重，注意旋轉(zhuǎn)矢量對(duì)時(shí)間求導(dǎo)的計(jì)算兑燥，即可得到加速度關(guān)系：

$\vec{a}_B = \vec{a}_A +\dot{ \vec{\Omega}} \times \vec{r}_{B/A} + \vec{\Omega} \times (\vec{\Omega} \times \vec{r}_{B/A}) + 2\vec{\Omega} \times \vec{v}_{B/A} + (\vec{a}_{B/A})_{xyz}$

平面中理解即為絕對(duì)加速度=牽連加速度（切向+法向）+科氏加速度+相對(duì)加速度。

剛體的一般運(yùn)動(dòng)：動(dòng)力學(xué)方程

對(duì)于平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程具體形式這里不再展開(kāi)敘述琴拧。

經(jīng)典力學(xué)中贪嫂，最基本的動(dòng)力學(xué)方程為： $\sum \vec{F} = m \vec{a}_G$ $\sum \vec{M}_O = \dot{\vec{H}}_O$
第一式為牛頓方程，可以在直角坐標(biāo)艾蓝，極坐標(biāo)力崇，自然坐標(biāo)系下列出投影式。
第二式為歐拉方程赢织，上式為針對(duì)固定點(diǎn)的歐拉方程亮靴。若對(duì)剛體的質(zhì)心列歐拉方程，形式上與固定點(diǎn)的歐拉方程類(lèi)似（推導(dǎo)略過(guò)）： $\sum \vec{M}_G = \dot{\vec{H}}_G$
歐拉方程中 $\vec{H}$ 為剛體的角動(dòng)量（動(dòng)量矩）：

對(duì)固定點(diǎn) $O$ 的角動(dòng)量： $\vec{H}_O = \int_m \vec{r}_O \times (\vec{\omega} \times \vec{r}_O) \,\mathrm8iyum64m$
對(duì)質(zhì)心 $G$ 的角動(dòng)量： $\vec{H}_G = \int_m \vec{r}_G \times (\vec{\omega} \times \vec{r}_G) \,\mathrm86i6k2am$
對(duì)任意點(diǎn) $A$ 的角動(dòng)量： $\vec{H}_A = \int_m \vec{r}_{G/A} \times m \vec{v}_G + \vec{H}_G$

歐拉方程中于置， $\dot{\vec{H}} = \frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\vec{H}$ 茧吊，然而其具體形式依然不是很清楚，需要繼續(xù)推導(dǎo)八毯。顯然這里是旋轉(zhuǎn)矢量對(duì)時(shí)間求導(dǎo)搓侄，因此有：
$\sum \vec{M}_O = (\vec{H}_O)_{xyz} + \dot{\vec{\Omega}} \times \vec{H}_O$ $\sum \vec{M}_G = (\vec{H}_G)_{xyz} + \dot{\vec{\Omega}} \times \vec{H}_G$
其中， $xyz$ 為與剛體固結(jié)的坐標(biāo)系话速， $(.)_{xyz}$ 表示在動(dòng)坐標(biāo)系內(nèi)求相對(duì)導(dǎo)數(shù)讶踪。在這里 $\vec{\omega}$ 和 $\vec{\Omega}$ 分別表示剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角速度和局部（動(dòng)）坐標(biāo)系的角速度。但是實(shí)際運(yùn)用過(guò)程中一般將動(dòng)系與剛體固結(jié)泊交，即 $\vec{\Omega} = \vec{\omega}$ 乳讥。
下面具體討論 $\vec{\omega}$ 和 $\vec{\Omega}$ 大小關(guān)系不同時(shí)，歐拉方程的具體形式：

$\vec{\Omega} = \vec{\omega} = 0$
剛體做平面運(yùn)動(dòng)廓俭，方程退化為： $\sum \vec{M}_O = J \times \vec{\alpha}$ 云石，不在討論。其中 $J$ 為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（質(zhì)量主慣性矩）研乒。
$\vec{\Omega} = \vec{\omega} \neq 0$
這是最常用的情形：動(dòng)系與剛體固結(jié)汹忠。當(dāng)動(dòng)系的原點(diǎn)為固定點(diǎn) $O$ 或質(zhì)心 $G$ 時(shí)，角動(dòng)量對(duì)時(shí)間求導(dǎo)出現(xiàn)的質(zhì)量慣性積為0，即：
$\begin{bmatrix} I_{xx} & -I_{xy} & -I_{xz} \\ -I_{yx} & I_{yy} & -I_{yz} \\ -I_{zx} & -I_{zy} & I_{zz} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_{x} & 0 & 0 \\ 0 & I_{y} & 0 \\ 0 & 0 & I_{z} \\ \end{bmatrix}$
歐拉方程為：
$\sum \vec{M}_x = I_x \dot{\vec{\omega}}_x - (I_y - I_z)\vec{\omega}_y \vec{\omega}_z$ $\sum \vec{M}_y = I_y \dot{\vec{\omega}}_y - (I_z - I_x)\vec{\omega}_z \vec{\omega}_x$ $\sum \vec{M}_z = I_z \dot{\vec{\omega}}_z - (I_x - I_y)\vec{\omega}_x \vec{\omega}_y$
$\vec{\Omega} \neq \vec{\omega}$
不常用宽菜，有需要再展開(kāi)敘述奖地。

分析方法：運(yùn)動(dòng)學(xué)

建系

建立定系、動(dòng)系一般固結(jié)在剛體上赋焕，即 $\vec{\Omega} = \vec{\omega}$ 参歹。

運(yùn)動(dòng)分析

列出動(dòng)點(diǎn)、定點(diǎn)的速度隆判、加速度關(guān)系式犬庇，計(jì)算所需要的物理量：
$\vec{v}_B = \vec{v}_A + \vec{\Omega} \times \vec{r}_{B/A} +(\vec{v}_{B/A})_{xyz}$
$\vec{a}_B = \vec{a}_A +\dot{ \vec{\Omega}} \times \vec{r}_{B/A} + \vec{\Omega} \times (\vec{\Omega} \times \vec{r}_{B/A}) + 2\vec{\Omega} \times \vec{v}_{B/A} + (\vec{a}_{B/A})_{xyz}$

$\vec{\Omega} = \vec{\omega}$ ，則 $\dot{\vec{\Omega}} = (\dot{\vec{\omega}})_{xyz}$ 侨嘀。

$\vec{r}_A$ 入手臭挽，一般用動(dòng)系的基底表示比較方便。注意旋轉(zhuǎn)矢量對(duì)時(shí)間的求導(dǎo)計(jì)算咬腕。

$(\vec{r}_{B/A})_{xyz}$ 同理欢峰。

對(duì)應(yīng)分量相等，即可求解出未知量涨共。

分析方法：動(dòng)力學(xué)

受力分析

畫(huà)實(shí)例分析圖纽帖，建立定系、動(dòng)系一般固結(jié)在剛體上举反，即 $\vec{\Omega} = \vec{\omega}$ 懊直。

計(jì)算剛體對(duì)其旋轉(zhuǎn)軸（動(dòng)系軸）的質(zhì)量慣性積。

運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

對(duì)于 $\vec{\Omega} = \vec{\omega}$ 火鼻，有 $\dot{\vec{\Omega}} = (\dot{\vec{\omega}})_{xyz}$

列動(dòng)力學(xué)方程

6個(gè)方程6個(gè)未知數(shù)室囊，即可求解。

最后編輯于：2018.10.02 20:08:03

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