寫論文的時(shí)候總是說，我們用pde來描述物理現(xiàn)象闷堡，但某些pde很難找到解析解隘膘，所以我們通過各種各樣的方法去模擬他的數(shù)值解。但我今天突然發(fā)現(xiàn)杠览，我自己并不完全理解背后的邏輯弯菊，就從頭記一點(diǎn)東西。

About physical phenonmenas

• 在中學(xué)踱阿，我們學(xué)到的物理現(xiàn)象基本處于一個(gè)理想狀態(tài)管钳，而且大部分是處于均勻的變化。
  例如如果想要求路程软舌，知道初速度才漆，穩(wěn)定不變的加速度和時(shí)長(zhǎng)，只要求速度變化直線的梯形面積就可以佛点，
  上底是v0醇滥，下底是v0+ at，高是t超营，面積S=1/2*（v0+vo+at）*t = v0t + 1/2at^2鸳玩。

• 但實(shí)際上的物理現(xiàn)象，速度就不是均勻變化的糟描，它是根據(jù)環(huán)境實(shí)時(shí)變化的怀喉，也就是加速度不是恒定的，雖然速度仍然可以用函數(shù)表示船响，但他從一條直線變成了有波動(dòng)的曲線躬拢，
  這個(gè)時(shí)候想要知道距離，就需要用到積分见间，想知道加速度聊闯，就用到微分。

• 而當(dāng)我們想在現(xiàn)實(shí)中描述一個(gè)現(xiàn)象米诉，一般來說是通過描述不同參數(shù)在時(shí)間和空間上的變化來表現(xiàn)這一現(xiàn)象菱蔬，而描述參數(shù)的變化自然就會(huì)用到微分，可能是時(shí)間上的微分史侣，可能是空間上的微分拴泌，針對(duì)其中一個(gè)維度的微分就被稱為偏微分，用來表現(xiàn)在這個(gè)維度上此參數(shù)的變化情況惊橱。

• 然而這個(gè)變化一定要遵循某些物理基本定律的蚪腐，也就是參數(shù)的偏微分形式遵循某種或某些“守恒”定律，在流體力學(xué)中税朴，無論是多么復(fù)雜的流動(dòng)情況回季，其流動(dòng)都由三個(gè)基本的物理原理控制家制，即質(zhì)量守恒定律、牛頓第二定律泡一、能量守恒定律颤殴。這三個(gè)基本的物理原理分別對(duì)應(yīng)三個(gè)控制方程，即流體力學(xué)的控制方程（連續(xù)性方程鼻忠、動(dòng)量方程涵但、能量方程），這三個(gè)方程即是相應(yīng)物理原理的數(shù)學(xué)描述粥烁，由這三個(gè)控制方程可以導(dǎo)出描述不同流體場(chǎng)的不同偏微分方程組（PDEs）贤笆。

About PDEs

• 既然有了方程組（也就是很詳細(xì)的需求），我們想到的就是要盡量求出滿足方程組的解（解決方案）讨阻，
  通常來說我們需要一個(gè)通用的解決方案，同性質(zhì)的需求都能用篡殷，也就是解析解钝吮，能表達(dá)明確的因果關(guān)系，
  但很多復(fù)雜的物理問題板辽，求出通用的解析解存在相當(dāng)大的困難奇瘦，
  針對(duì)具體問題和參數(shù)，數(shù)值解也就取而代之成為了此偏微分方程組的“解”劲弦。

• 在許多情形下我們所研究的復(fù)雜事物在我們現(xiàn)有的理論框架下是不存在或是無法得到解析解的耳标。

例如在N-S方程問題上，
· 首先邑跪，流體不可壓縮的假定就是偏離真實(shí)的次坡。
這就導(dǎo)致NS方程本身并非描述該真實(shí)流體的真實(shí)情況的絕對(duì)精確的數(shù)學(xué)模型。

· 關(guān)于對(duì)上述這個(gè)問題的理解画畅，還有一個(gè)反向思維的方法：
即如果得到了某種情形下甚至任意情形下的NS方程的純粹數(shù)學(xué)上的解析解近范，難道真實(shí)的流體的運(yùn)動(dòng)情形會(huì)僅僅符合這一種解析解的這一種計(jì)算結(jié)果骡送？

· 而如果我們回到實(shí)際的物理世界，我們可以肯定的是：實(shí)際情況下，僅僅是邊界條件在某處的某一個(gè)細(xì)微的變化忘渔，都會(huì)導(dǎo)致該流體后續(xù)的形態(tài)結(jié)構(gòu)上的巨大變化，而這種邊界條件在NS方程本身里是完全沒有體現(xiàn)的溪胶，要體現(xiàn)也必須是體現(xiàn)在一個(gè)包括了NS方程在內(nèi)的一套要復(fù)雜得多的大型甚至巨型方程組里才會(huì)出現(xiàn)對(duì)邊界條件的變化的考量阔拳。

· 其次，更為重要的是雳灵，對(duì)真實(shí)流體過程的模擬計(jì)算棕所，必須要考慮該真實(shí)流體的初值條件、邊界條件和環(huán)境條件细办，

· 而實(shí)際的流場(chǎng)雖然我們可以做各種簡(jiǎn)化和概化橙凳，但這種簡(jiǎn)化和概化后的計(jì)算局面（即不同的初值蕾殴、不同的邊界條件和環(huán)境條件）通常仍然會(huì)是很復(fù)雜的，因此同樣在理論上是得不到解析解通式的岛啸。

· 即使也許我們可以在進(jìn)行分段或分情形簡(jiǎn)化后得到不同段或不同情形下的解析解通式钓觉，但在真實(shí)的運(yùn)用情景中，這種解析解的適用面同樣往往會(huì)非常狹窄坚踩，
· 因?yàn)檎鎸?shí)的初值荡灾、邊界條件和環(huán)境條件通常都不會(huì)那么簡(jiǎn)單，通常都會(huì)有大量的復(fù)雜且不可輕易忽視的具體細(xì)節(jié)瞬铸，
· 這就最終會(huì)導(dǎo)致不得不仍然是進(jìn)行分段/分區(qū)域計(jì)算的批幌，而這種分段/分區(qū)域計(jì)算，本質(zhì)上仍然是一種數(shù)值解法嗓节，只是將解析解和數(shù)值解進(jìn)行了融合而已荧缘。

• 關(guān)于解析解與數(shù)值解：錢學(xué)森《對(duì)吳仲華作“燃?xì)廨啓C(jī)研究報(bào)告”之意見》里寫到：“因?yàn)樽髡卟捎昧藬?shù)值計(jì)算法，只能對(duì)一個(gè)選定的問題作了解答拦宣；不能對(duì)一般的截粗、全面的燃?xì)廨啓C(jī)問題作方向性的指示，故不能全面地領(lǐng)導(dǎo)燃?xì)廨啓C(jī)的發(fā)展鸵隧〕衤蓿”
  謝力教授評(píng)論：這就是學(xué)院派和企業(yè)陣營(yíng)的分歧。
  · 錢作為CIT的冠名教授豆瘫，他追求的是寬泛的珊蟀、解析的 (gengeral, analytic) 、數(shù)學(xué)上美麗的結(jié)果外驱；將“能全面地領(lǐng)導(dǎo)燃?xì)廨啓C(jī)的發(fā)展”的工作“列為技術(shù)科學(xué)研究之最高成就”育灸，這就是學(xué)術(shù)界的“道”。
  · 而吳的工作與方法則來自于解決實(shí)際問題的需求略步，他之所以取得當(dāng)時(shí)的結(jié)果描扯，沒有達(dá)到錢眼里的“最高要求”，也是實(shí)際問題所限趟薄。理論求真绽诚，工程求實(shí)，不斷接近真和實(shí)

Reference:

物理或化學(xué)方程為什么往往是偏微分方程杭煎？
物理現(xiàn)象的描述為什么多用微分方程恩够？
一階微分方程的物理意義_物理現(xiàn)象的描述為什么多用微分方程？
[雜談] 解析解與數(shù)值解--楊正瓴
為何有許多情形下是不存在解析解的羡铲？兼論NS方程的解析解--鐘定勝

Answer from ChatGPT:

We use Partial Differential Equations (PDEs) to describe physical phenomena because they allow us to capture the complex dynamics of these systems. PDEs are mathematical equations that involve partial derivatives of a function with respect to time and space, and they describe how the function changes over time and space. // 寫了一大篇不如chatgpt說三行通透蜂桶。。也切。

Physical phenomena are often characterized by complex interactions between multiple variables that change over time and space. For example, fluid flow involves interactions between velocity, pressure, and viscosity, and these variables change continuously in space and time. Heat transfer involves interactions between temperature, thermal conductivity, and heat generation, and these variables also change continuously in space and time. Electromagnetic waves involve interactions between electric and magnetic fields, and these fields change continuously in space and time.//復(fù)雜的物理學(xué)現(xiàn)象由多種參數(shù)在時(shí)間和空間上的交互以及變化來確定并描述

PDEs allow us to capture these complex interactions and describe them mathematically. By solving these equations, we can predict how physical systems will behave under different conditions. This can help us to design more efficient engines, develop better materials, and understand the behavior of natural phenomena such as weather patterns and ocean currents.// 偏微分方程用數(shù)學(xué)的方法來表示這些參數(shù)交互扑媚，解pdes可以讓我們明白它的運(yùn)行機(jī)理腰湾，并依照其對(duì)不同條件下的結(jié)果進(jìn)行預(yù)測(cè)。

Another advantage of using PDEs to describe physical phenomena is that they are amenable to numerical methods. These equations can be discretized and solved using numerical algorithms on a computer, allowing us to simulate and analyze complex systems that would be impossible to study analytically. This has revolutionized our ability to study and understand physical phenomena, and has led to numerous technological advancements in fields such as aerospace engineering, materials science, and climate science.//另一個(gè)優(yōu)勢(shì)在于偏微分方程所依賴的數(shù)學(xué)方法可以通過計(jì)算機(jī)輔助解決疆股。

In summary, we use PDEs to describe physical phenomena because they allow us to capture the complex interactions between multiple variables that change continuously in time and space. By solving these equations, we can predict how physical systems will behave under different conditions, and this can help us to design more efficient systems and develop a deeper understanding of the natural world.

p.s. 近幾年做助教费坊，發(fā)現(xiàn)一個(gè)好老師真的很會(huì)引導(dǎo)學(xué)生，他可以把邏輯完全捋順旬痹，讓學(xué)生一步一步走的很踏實(shí)附井，從最基礎(chǔ)最根本甚至是通識(shí)的事物來入手，講清痛點(diǎn)两残，要解決什么永毅，想怎么解決，用什么工具人弓，這工具有什么優(yōu)勢(shì)沼死，有什么缺陷，為什么他能解決問題票从，拆開了漫雕，揉碎了，一口一口喂峰鄙，生怕學(xué)生噎著。但這樣教學(xué)的成本也是很高的太雨，首先需要上課的人已經(jīng)對(duì)這個(gè)東西掌握的融會(huì)貫通之后吟榴，再化繁為簡(jiǎn)的講授，還要有很大很大的耐心囊扳，因?yàn)閷W(xué)生不是ai吩翻，ai真學(xué)而學(xué)生不一定。锥咸。狭瞎。我要嘗試著把東西說明白，邏輯捋清楚搏予。