波動(dòng)方程的推廣
數(shù)學(xué)家一邊為弦振動(dòng)爭(zhēng)吵善炫，一邊研究樂器的振動(dòng)和聲音傳播笛园，這些問題都推動(dòng)了波動(dòng)方程懦胞。
Jean Phillippe Rameau（1688-1764肩豁，作曲家脊串，讓·菲利普·拉莫作品）1726年闡明樂音的和諧是由于：任意音調(diào)是基音音調(diào)的泛音，也就是說聲音頻率是基音頻率的整數(shù)倍清钥。但歐拉認(rèn)為只有合適樂器才有基調(diào)和諧的泛音琼锋，于是他力圖證明粗細(xì)可變弦或有不均勻密度及張力T的弦發(fā)出不和諧泛音。1762年歐拉得到了新的偏微分方程祟昭，斷言不能通過分析獲得通解缕坎，并給出特定質(zhì)量分布的一個(gè)解，相繼兩個(gè)頻率的比值和均勻弦一致篡悟，但基音頻率不再與長(zhǎng)度成反比谜叹。同時(shí)他考察了不同粗細(xì)(m,n)不同長(zhǎng)度(a,b)的兩段弦連接而成的振動(dòng)，推導(dǎo)了各個(gè)頻率的振動(dòng)方程搬葬，這些方程都是的解荷腊，因此該式也叫特征值或本征值，并可得特征頻率不是基頻的整數(shù)倍踩萎。
達(dá)朗貝爾也研究了粗細(xì)可變弦停局，他在研究弦振動(dòng)時(shí)引入了分離變量的思想，后來也用到了偏微分方程中香府，盡管他未完成解法董栽。后來他改寫了方程，給求常微分方程邊值或特征值提供了新步驟企孩。
歐拉研究連續(xù)水平有重繩的橫振動(dòng)锭碳，除產(chǎn)生了一個(gè)對(duì)稱拋物線圖像外，結(jié)果與無重量弦相同勿璃。1781年歐拉在鼓振動(dòng)研究中引入了全部第一類貝塞爾函數(shù)擒抛，他認(rèn)為貝塞爾函數(shù)的級(jí)數(shù)能表示任一運(yùn)動(dòng)（丹尼爾：那憑啥反對(duì)三角級(jí)數(shù)推汽？）
一直到18世紀(jì)末仍有很多人討論弦振動(dòng)和懸鏈，作者們意見相左歧沪，互相糾正歹撒，有時(shí)他們自己的想法和以前的想法相矛盾，因?yàn)樗麄儧]做出嚴(yán)密的論證诊胞，更多出于偏見和知見障下判斷暖夭。而且有的人吹捧達(dá)朗貝爾（拉普拉斯：是不是在報(bào)我身份證號(hào)？）是因?yàn)樗陔杼亓颐媲昂苡杏绊懩旃拢彩前亓挚茖W(xué)院的領(lǐng)導(dǎo)迈着。
前面提到的偏微分方程包含一個(gè)時(shí)間和一個(gè)空間變量，1759年歐拉研究矩形鼓時(shí)考慮了二維物體（即含三個(gè)變量）邪码，求出頻率裕菠。他接著研究圓形鼓，把方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)闭专， 但沒有成功求解奴潘。泊松獨(dú)立得出膜振動(dòng)理論，通常把成果歸功于他影钉。
歐拉萤彩、拉格朗日等人都研究了聲音在空氣中的傳播。先前說到空氣是可壓縮的流體斧拍，所以聲音在空氣中的傳播是流體力學(xué)的一部分（同時(shí)也是彈性力學(xué)的一部分，因?yàn)榭諝馐菑椥越橘|(zhì)）杖小，歐拉在處理聲音傳播時(shí)對(duì)水力學(xué)的一般方程組作了合理簡(jiǎn)化肆汹。1759年他發(fā)表了三篇論文，給出了聲音在一維予权、二維昂勉、三維傳播的波動(dòng)方程，并給出了球面波解和柱面波解扫腺。同年拉格朗日也對(duì)球面波和柱面波做了類似研究岗照。
1739年丹尼爾伯努利開創(chuàng)了對(duì)樂器發(fā)出音調(diào)的研究，并和歐拉笆环、拉格朗日寫了很多相關(guān)論文攒至。1762年丹尼爾伯努利證明在圓柱形管（風(fēng)琴管）開口端不發(fā)生空氣壓縮，閉口端空氣處于靜止?fàn)顟B(tài)躁劣。由此他認(rèn)為兩端封閉或兩端開口的管子與長(zhǎng)度減半一端封閉一端開口的管子有相同的基本模式迫吐。他還發(fā)現(xiàn)風(fēng)琴管泛音的頻率是基因頻率的奇數(shù)倍。他研究錐形管账忘，得到了錐形管單個(gè)音調(diào)的表達(dá)式志膀，并得出式子僅對(duì)無窮長(zhǎng)錐形管成立熙宇，對(duì)截下一段的錐形管不成立。他證明無窮長(zhǎng)錐形管的泛音和基音是和諧的溉浙。歐拉也研究了圓柱管和非圓柱管開口端和閉口端的反射烫止，他們研究了長(zhǎng)笛、管風(fēng)琴戳稽、喇叭馆蠕、小號(hào)、軍號(hào)等广鳍。
總之荆几，數(shù)學(xué)家在解三、四個(gè)變量的偏微分方程上遇到了困難赊时，因?yàn)榻庖硎境砂鄠€(gè)變量的級(jí)數(shù)吨铸，不知如何確定函數(shù)和系數(shù)，好在后來很快解決了這一問題祖秒。此外诞吱，歐拉在考慮鈴聲和桿振動(dòng)時(shí)引出了四階偏微分方程，不過沒有進(jìn)一步求解竭缝。
