從變換觀點(diǎn)看幾何
克萊因把各種度量幾何歸納為射影幾何后蛉顽，開始尋求區(qū)分各種幾何的特征尤筐，不只是基于非度量、度量的性質(zhì)以及各種度量的區(qū)分日熬，而是基于更廣泛的觀點(diǎn)：幾何要完成的目標(biāo)棍厌，來刻畫它們的特征。他在1827年進(jìn)入埃爾朗根大學(xué)教授會(huì)時(shí)發(fā)表的演講中給出了這種刻畫，這次演講的觀點(diǎn)后來被稱為埃爾朗根綱領(lǐng)耘纱。
克萊因的基本觀點(diǎn)是敬肚，每種幾何都由變換群所刻劃，且每種幾何所做的就是在這個(gè)變換群下考慮其不變量束析，一個(gè)幾何的子幾何是在原變換群的子群下的一族不變量帘皿，在此定義下給定變換群的幾何定理仍是子群幾何中的定理。
雖然克萊因未在論文中使用解析式陳述他討論的變換群畸陡，但以下將使用解析式進(jìn)行說明鹰溜。根據(jù)他的幾何概念，射影幾何（比如二維的）是研究從一個(gè)平面上的點(diǎn)到另一個(gè)平面上的點(diǎn)或者到同一平面上的點(diǎn)（直射變換）的變換群下的不變量丁恭，變換形式如x1'=a11x1+a12x2+a13x3（齊次坐標(biāo)）或x'=(a11x+a12y+a13)/(a31x+a32y+a33)（非齊次坐標(biāo)曹动，y'是把a(bǔ)1i改成a2i），系數(shù)行列式必須不為0牲览。射影變換群下的不變量有：線性墓陈、共線性、交比第献、調(diào)和集贡必、保持為圓錐曲線不變等。
攝影群的一個(gè)子集是一族仿射變換庸毫，這個(gè)子群定義如下：設(shè)在射影平面上固定任一直線l∞仔拟，l∞上的點(diǎn)稱為理想點(diǎn)或無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，l∞稱為無窮遠(yuǎn)直線飒赃，射影平面上的其它點(diǎn)稱為尋常點(diǎn)利花。直射變換仿射群是攝影群使l∞不變的子群（但該線上的點(diǎn)無需保持不變），仿射幾何是在仿射變換下不變的性質(zhì)與關(guān)系载佳，二維齊次坐標(biāo)的仿射變換炒事，其代數(shù)表示為以上方程，但其中a31=a32=0蔫慧，并有相同行列式條件挠乳。非齊次坐標(biāo)的仿射變換為x'=a11x+a12y+a13,y'=a21x+a22y+a23，且a33的余子式不為0姑躲，在仿射變換下睡扬，直線變到直線，平行直線變到平行線肋联，然而長度和大小發(fā)生改變威蕉。仿射幾何首先由歐拉注意到，而后由莫比烏斯在《重心坐標(biāo)計(jì)算》一書中指出橄仍。它在形變力學(xué)的研究中有用。
任何度量幾何群，除了上面行列式值必須為±1外侮繁，其它和仿射群相同虑粥。第一個(gè)度量幾何是歐氏幾何，要定義這種幾何群宪哩，從l∞開始娩贷，假設(shè)在l∞上有固定的對合變換，要求這個(gè)對合變換沒有實(shí)的二重點(diǎn)锁孟，而以∞處虛圓點(diǎn)作為二重點(diǎn)彬祖。考慮射影變換使l∞不變品抽，且把對合的任何點(diǎn)變?yōu)閷系娜魏吸c(diǎn)储笑，即每個(gè)虛圓點(diǎn)變到自身，歐幾里得群這些變換的非齊次二維坐標(biāo)的代數(shù)表達(dá)為x'=ρ(xcosθ-ysinθ+α),y'=ρ(xsinθ-ycosθ+β)圆恤，ρ=±1.不變的是長度突倍、角的大小，任何圖形的大小和形狀盆昙。
用這種分類法的術(shù)語講羽历，歐氏幾何就是在旋轉(zhuǎn)、平移淡喜、反射變換下的一組不變量秕磷。要得到關(guān)于相似形的不變量，我們引進(jìn)的仿射群子群稱為拋物度量群炼团，定義是使l∞上對合不變的一族射影變換跳夭，即每一對相應(yīng)的點(diǎn)變到相應(yīng)的另一對點(diǎn)。非齊次坐標(biāo)的拋物度量群的變換具有形式x'=ax-by+c,y'=bex+aey+d们镜，币叹。這些變換保持角的大小不變。
