對(duì)這一證明過(guò)程的理解能讓我們對(duì)三段論系統(tǒng)有更深的認(rèn)識(shí)。而且對(duì)于那些從三段論分析的復(fù)雜性中獲取樂(lè)趣的人而言策幼，這應(yīng)是一種雖有難度但令人愉悅的挑戰(zhàn)窍帝。
直言三段論的15個(gè)有效形式的演繹推導(dǎo)過(guò)程并不非常容易理解稻艰，我們必須對(duì)以下兩點(diǎn)非常明確：
第一點(diǎn)：三段論的規(guī)則 6.4中闡述的六條基本規(guī)則是演繹推導(dǎo)的必要工具。
第二點(diǎn)：三段論的四個(gè)格
我們已經(jīng)知道有256個(gè)可能的三段論形式锋边，在每個(gè)格中有64個(gè)式通過(guò)排除違反了三段論基本規(guī)則即無(wú)效的三段論皱坛，我們來(lái)進(jìn)行15個(gè)直言三段論有效形式的證明。
任何一個(gè)三段論的結(jié)論都是一個(gè)直言命題豆巨，是A剩辟、E、I往扔、O之一贩猎。根據(jù)結(jié)論的不同形式（即A、E萍膛、I吭服、O），我們首先把三段業(yè)務(wù)學(xué)習(xí)的所有可能形式分為四組蝗罗。任何一個(gè)三段論都必然屬于這四組中的某一組艇棕。據(jù)此可以分四種情形考察一個(gè)有效的三段論需要具備什么特性，即可以這樣提問(wèn)：如果結(jié)論是A命題串塑，通過(guò)某一條或者幾條規(guī)則能夠排除什么形式沼琉；如果結(jié)論是E命題可以排除什么形式，依此類推拟赊。下面我們就逐個(gè)進(jìn)行考察刺桃。
排除了所有無(wú)效三段論之后，留下來(lái)的就是有效的三段論形式。
情形 1：如果三段論的結(jié)論是 A 命題
在這種情況下瑟慈，前提不可能是 E 命題桃移，也不可能是 O 命題，因?yàn)槿绻疤釣榉穸}的話葛碧，結(jié)論就應(yīng)該是否定的（規(guī)則5）借杰。所以，兩個(gè)前提必定是 A 命題或 I 命題进泼。
小前提不能是I命題蔗衡，因?yàn)樾№?xiàng)（結(jié)論的主項(xiàng)，也就是一個(gè)A命題的主項(xiàng)）在結(jié)論中是周延的乳绕，如果小前提是 I 命題 绞惦，那么在前提中不周延的項(xiàng)在結(jié)論中周延，違反了規(guī)則3洋措。
兩個(gè)前提济蝉，即大前提和小前提，不能是 I 和 A菠发，因?yàn)槿绻堑脑捦趼耍袃煞N可能，或都是在結(jié)論中周延的項(xiàng)在前提中不周延滓鸠，違反規(guī)則3雁乡，或者是中項(xiàng)兩次不周延，違反規(guī)則2糜俗。所以兩個(gè)前提（結(jié)論是A命題時(shí)）必須都是 A 命題踱稍。這意味著唯一有效的形式是 AAA 式。
對(duì)于AAA式悠抹，第二格的 AAA-2 式會(huì)使中項(xiàng)兩次不周延寞射，第三格 AAA-3 和第四格 AAA-4 都會(huì)造成前提中不周延的項(xiàng)在結(jié)論中周延的錯(cuò)誤。所以锌钮，如果三段論的結(jié)論是 A 命題桥温，唯一的有效開(kāi)式就是第一格的 AAA 式，即 AAA-1梁丘，傳統(tǒng)上稱這個(gè)有效形式為Barbara侵浸。
情形 1 總結(jié)：如果三段的結(jié)論是 A 命題，只能有一個(gè)有效式 AAA-1——Barbara氛谜。
情形 2：如果三段式的結(jié)論是 E 命題
E 命題的主項(xiàng)和謂項(xiàng)都是周延的掏觉，因此，如果結(jié)論為 E 命題值漫，三段論前提中的三個(gè)項(xiàng)也都必須至少周延一次（根據(jù)規(guī)則2澳腹、3），這只有當(dāng)前提之一也是 E 命題時(shí)才有可能。但不能兩個(gè)前提都是 E 命題酱塔，因?yàn)椴荒茉试S兩個(gè)否定前提（規(guī)則4）沥邻，同理可知另一個(gè)前提也不能是 O 命題。另一個(gè)前提也不能是 I命題羊娃，否則在結(jié)論中周延的項(xiàng)在前提中不周延唐全，違返規(guī)則3。這樣蕊玷，另一個(gè)前提必須是 A 命題邮利，兩個(gè)前提的組合可能是 AE 或 EA。因此垃帅，在結(jié)論是 E 的情況下延届，可能的正確形式為 AEE 或 EAE。
如果是AEE式贸诚，它不能是第一格祷愉，也不能是第三格。因?yàn)槿绻沁@兩個(gè)格的話赦颇，結(jié)論中周延的項(xiàng)在前提中不周延。所以赴涵，有效的 AEE 式只能是第二格媒怯，即 AEE-2（傳統(tǒng)上稱為Camestres），或者是第四格的髓窜，即 AEE-4 （傳統(tǒng)上稱為Camenes）扇苞。
如果是 EAE 式，它不能是第三格寄纵，也不能是第四格鳖敷，因?yàn)槟且捕紝?dǎo)致結(jié)論中周延的項(xiàng)在前提中不周延。所以程拭，有效的 EAE 式只能或者是第一格的定踱，即 EAE-1（Celarent），或者是第二格的恃鞋，即 EAE-2 （傳統(tǒng)上稱為Cesare）崖媚。
情形 2 的總結(jié)：如果三段論的結(jié)論是 E 命題，只能有四個(gè)有效形式：AEE-2——Camestres恤浪、AEE-4——Camenes畅哑、EAE-1——Celarent、EAE-2——Cesare水由。
情形 3：如果三段論的結(jié)論是 I 命題
在這種情形下荠呐，前提不能是 E 或 O 命題，因?yàn)槿绻幸粋€(gè)否定前提的話，結(jié)論也應(yīng)該是否定的泥张。兩個(gè)前提也不能都是 A 命題呵恢，因?yàn)榻Y(jié)論為特稱的三段論其前提不能都是全稱的（規(guī)則6）。同樣的圾结，兩個(gè)前提不能都是 I 命題瑰剃，因?yàn)橹许?xiàng)必須至少在一前提中周延（規(guī)則2）。這樣筝野，前提的結(jié)合必須是 AI 或者 IA晌姚，因而結(jié)論為 I 命題的三段論可能的有效式為 AII 和 IAI。
如果是 AII式歇竟， 在第二格和第四格中不可能有效挥唠，因?yàn)橹许?xiàng)至少要周延一次。因此保留下來(lái)的 AII 式就是 AII-1（Darii）和 AII-3 （Datisi）焕议。
如果是 IAI 式宝磨，它不能是 IAI-1 和 IAI-2， 因?yàn)檫@兩個(gè)形式違反中項(xiàng)至少在一個(gè)前提中周延的規(guī)則盅安。剩下的有效形式就是 IAI-3（Disamis）和 IAI-4 （Dimaris）唤锉。
情形 3 總結(jié)：如果三段的結(jié)論是 I 命題，只能有四個(gè)有效形式：AII-1——Darii别瞭、AII-3——Datisi窿祥、IAI-3——Disamis、IAI-4——Dimaris蝙寨。
情形 4：如果三段論的結(jié)論是 O 命題
在這種情形下晒衩，大前提不能是 I 命題，因?yàn)榻Y(jié)論中擊延的項(xiàng)在前提中也必須周延墙歪。所以大前提可能是 A 命題听系、E 命題、O 命題虹菲。
假設(shè)大前提為 A 命題靠胜。這樣，小前提就不能是 A 命題和 E 命題毕源，因?yàn)榻Y(jié)論為特稱時(shí)髓帽，前提不能都是全稱的（規(guī)則6）。小前提也不能是 I 命題 脑豹，如果小前提是 I 命題郑藏，就違反了中項(xiàng)一次也不周延（違反規(guī)則2），或者結(jié)中周延的項(xiàng)在前提中不周延瘩欺。因此必盖，如果大前提是 A 命題拌牲，小前提必須是 O 命題，結(jié)果就是 AOO式歌粥。對(duì)于 AOO式塌忽，在第一格和第三格不可能有效，因?yàn)榻Y(jié)中周延的項(xiàng)（P）在前提中不周延失驶。在第四格土居，AOO 式不可能有效，因?yàn)橹许?xiàng)兩次不周延嬉探。因此在前提是 A 命題時(shí)擦耀，AOO 式保留下來(lái)的有效形式只有第二格 AOO-2（Baroko）。
再假設(shè)大前提是 E 命題涩堤。在這種情況下眷蜓，小前提將不能是 E 命題或 O 命題，因?yàn)椴辉试S兩個(gè)否定前提（規(guī)則4）胎围。小前提也不能是 A 命題吁系，因?yàn)榻Y(jié)論如果特稱的，前提就不能是兩個(gè)全稱的（規(guī)則６）白魂。而剩下的EIO 式四個(gè)格都是有效的汽纤。因此，當(dāng)大前提是 E 命題時(shí)福荸，有效式有四個(gè)分別是 EIO-1——Ferio蕴坪、EIO-2——Festino、EIO-3——Ferison逞姿、EIO-4——Fresison。
最后捆等，假設(shè)大前提是 O 命題滞造。同樣小前提不能是 E命題和 O 命題，因?yàn)椴辉试S出現(xiàn)兩個(gè)否定前提（規(guī)則4）栋烤。小前提也不能是 I 命題谒养，因?yàn)槿绻∏疤崾?I 命題的話，就會(huì)出現(xiàn)或者中項(xiàng)一次都不周延明郭，或者結(jié)論中周延的項(xiàng)在前提中不周延买窟。因此，如果大前提是 O 命題薯定，小前提必須是 A 命題始绍，即必為 OAO式。對(duì)于 OAO式话侄，第一格 OAO-1 中項(xiàng)兩次都不周延亏推，第二格和第四格都會(huì)使結(jié)論中周延的項(xiàng)在前提不周延学赛。于是只剩下一個(gè)有效形式 OAO-3（Bokardo）。
情形 4 總結(jié)：如果結(jié)論是 O 命題吞杭，則有六個(gè)有效式盏浇，分別是AOO-2——Baroko、 EIO-1——Ferio芽狗、EIO-2——Festino绢掰、EIO-3——Ferison、EIO-4——Fresison童擎、OAO-3——Bokardo滴劲。
