不等式

在學(xué)完“集合與常用邏輯用語(yǔ)”這一章后，我們進(jìn)入了對(duì)不等式的學(xué)習(xí)靡羡。這兩張看似毫不相干，實(shí)則密不可分俊性。因?yàn)橛泻芏嗟胤剑伎梢酝ㄟ^(guò)集合語(yǔ)言來(lái)表達(dá)不等式描扯，我們將在過(guò)程對(duì)其進(jìn)行連接定页。而這樣一個(gè)過(guò)程，正是對(duì)于高中課程“符號(hào)化”的一個(gè)轉(zhuǎn)變绽诚。

我們知道典徊，在研究“集合與常用邏輯用語(yǔ)”這一章中，是用“浪漫恩够、精確卒落、綜合、未來(lái)發(fā)展”這四個(gè)板塊進(jìn)行探索的蜂桶，那么對(duì)于不等式這一章儡毕，也讓我們從浪漫開(kāi)始吧。

首先我們要回顧一下以往知識(shí)扑媚，“三個(gè)二次”我們都學(xué)了什么腰湾？首先就是一元二次方程，它的一般式是 ax2 + bx + c = 0 （a≠0）疆股。而從一元二次方程到二次函數(shù)费坊，無(wú)非就是把等式右邊的0變?yōu)榱宋粗獢?shù)，從而形成了二次函數(shù)的一般式 y = ax2 + bx + c（a≠0）旬痹，而從二次函數(shù)到一元二次不等式附井，則是我們?cè)谟龅饺≈祮?wèn)題時(shí)需要關(guān)注的讨越。

同時(shí)，這三者間我們也可以用“數(shù)形結(jié)合”的方式去構(gòu)思永毅。二次函數(shù)圖像上圖象與x軸的交點(diǎn)把跨，便是一元二次方程的解。而二次函數(shù)與一元二次不等式卷雕，同樣也是可以通過(guò)數(shù)軸來(lái)宏觀觀察取值节猿。

其次就是浪漫感知，我們可以提出兩個(gè)問(wèn)題：一類比等式的性質(zhì)漫雕，不等式會(huì)有哪些性質(zhì)呢滨嘱？其次就是完全平方差公式的基礎(chǔ)上，我們又可以得到哪些新的結(jié)論浸间？

下面我們進(jìn)入精確板塊太雨。特別的是，這章的精確部分魁蒜，我們對(duì)一元二次不等式再次進(jìn)行了鞏固囊扳。首先是三個(gè)“二次”間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，因?yàn)槲覀円呀?jīng)學(xué)過(guò)了集合與常用邏輯用語(yǔ)這一章兜看，那么我們就可以用集合來(lái)表示“三個(gè)二次”間的對(duì)應(yīng)關(guān)系锥咸，如圖：

其次涉及到的就是該如何解不等式。過(guò)程如圖：

但我們會(huì)發(fā)現(xiàn)细移，這樣的解不等式有局限性搏予。因?yàn)樯厦娌坏仁降挠疫厼?，通過(guò)數(shù)形結(jié)合我們可以將其化成方程弧轧，與x軸相關(guān)聯(lián)雪侥。那么像-x2-3x+2＞4x2+5 這樣一個(gè)式子，又該如何解呢精绎？同樣我們可以用數(shù)形結(jié)合速缨，把其直接化成方程。但問(wèn)題就是代乃，此時(shí)的數(shù)形結(jié)合旬牲，參照物不再是x軸了，就會(huì)比較麻煩襟己。那么引谜，我們何不直接用“不等式的基本性質(zhì)”呢？當(dāng)然可以擎浴！只是我們證明過(guò)它嗎员咽？很顯然，并沒(méi)有贮预。那么下面讓我們進(jìn)入了對(duì)不等式的性質(zhì)的探索贝室。

再次要明晰一點(diǎn)契讲，我們研究性質(zhì)要從公理開(kāi)始，否則不斷的往前追問(wèn)滑频，就沒(méi)有勁頭了捡偏。那么研究不等式的性質(zhì)，有哪些已知公理呢峡迷？

首先是實(shí)數(shù)银伟，它的的基本事實(shí)有哪些呢？如圖：

其次是等式绘搞，它的基本性質(zhì)又有哪些呢彤避？如圖：

那么在知道了實(shí)數(shù)和等式的性質(zhì)后，基于實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)夯辖，類比等式的基本性質(zhì)琉预，不等式又有哪些性質(zhì)呢？如圖：

我們一共推出了9個(gè)有關(guān)不等式的性質(zhì)蒿褂。其中4和7是對(duì)不等式的加法性質(zhì)和乘法性質(zhì)的延伸圆米，我們稱其為疊加和疊乘。

而對(duì)于我們所推理的這些性質(zhì)啄栓，我們需要去證明它娄帖，使其真正變成我們的性質(zhì)。那在此我們就需要根據(jù)實(shí)數(shù)的性質(zhì)昙楚，去推算出不等式的性質(zhì)（在此我們只展示基礎(chǔ)前6個(gè)的過(guò)程）块茁，如圖：

那有了不等式的基本性質(zhì)，我們又該如何表示一般不等式呢呢桂肌？這就進(jìn)入到了對(duì)基本不等式的探索，如圖：

我們會(huì)發(fā)現(xiàn)a2+b2≥2ab這樣一個(gè)關(guān)系永淌，那在此崎场，我們肯定是需要限制? a > 0 ，b > 0的遂蛀，但當(dāng)我們轉(zhuǎn)化一下谭跨，其實(shí)這個(gè)式子就是完全平方差的式子，它具有非負(fù)性李滴，所以限制就變成了a∈R螃宙，b∈R。 而當(dāng)我們將 a2看成a 所坯，b2看成 b谆扎，便衍生出了a + b≥2√ab（a＞0，b＞0）這樣一個(gè)式子芹助。

同時(shí)堂湖，這個(gè)式子還可以用一個(gè)圖來(lái)推算闲先，如圖：

這就是其中直徑昂B和弦DE的關(guān)系，通過(guò)觀察无蜂，直徑肯定是大于弦的伺糠，那當(dāng)我們證明出來(lái)也得到了這個(gè)a + b≥2√ab（a＞0，b＞0）的式子斥季，而這個(gè)式子就是基本不等式训桶。

它還可以演算出a+b/2≥√ab，其中a+b/2是算術(shù)平均數(shù)酣倾，而√ab是幾何平均數(shù)舵揭。通過(guò)對(duì)事實(shí)的不斷推演，我們得到了“和定灶挟，積最大琉朽；積定，和最小”這樣一個(gè)概括稚铣。

接下來(lái)箱叁，讓我們進(jìn)入綜合應(yīng)用板塊，整體的內(nèi)容其實(shí)就是利用基本不等式做練習(xí)惕医。如圖：

我們想要將這道題做出來(lái)耕漱，需要幾個(gè)步驟呢？如圖：

“一正抬伺、二定螟够、三取等”。一正是因?yàn)槲覀円寈的部分都大于0峡钓；二定是看它是積定了還是和定了妓笙，像這道題它讓我們求的是最小值，那我們就可以利用積定和最小這個(gè)概念能岩；三取等則是我們要算出當(dāng)x到底為何值時(shí)寞宫，式子為等式，因?yàn)楫?dāng)?shù)忍?hào)時(shí)拉鹃，這個(gè)數(shù)的和是最小的辈赋。

而當(dāng)?shù)綄?shí)際應(yīng)用后，便是“一設(shè)膏燕、二正钥屈、三定、四取等”坝辫，四個(gè)步驟篷就。如圖：

最后是未來(lái)發(fā)展，那就很簡(jiǎn)單啦阀溶，我們可否探索更多函數(shù)的不等式呢腻脏？在函數(shù)上可否有更多的拓展鸦泳，用“純數(shù)”研究函數(shù)？