最近重溫了一些關(guān)于動(dòng)態(tài)力學(xué)的基礎(chǔ)概念侨歉，對于自己來說比較燒腦。當(dāng)理論用的多時(shí)处铛，經(jīng)驗(yàn)變得重要饲趋；當(dāng)經(jīng)驗(yàn)用的多時(shí)，理論變得重要撤蟆。
關(guān)鍵詞：線性運(yùn)動(dòng)與旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)二者的不同和公式上的相似篙贸、簡單轉(zhuǎn)動(dòng)分析中的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、轉(zhuǎn)動(dòng)與線性運(yùn)動(dòng)公式的相似性（公式枫疆、守恒律）、復(fù)雜轉(zhuǎn)動(dòng)分析中出現(xiàn)的慣性矩陣（張量）敷鸦、慣性矩息楔、慣性積
如果已研究動(dòng)力學(xué)或?qū)ι婕靶D(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的任何事物建模寝贡，就會(huì)遇到慣性矩的概念。最常用的方程是T =Iα的形式值依，該方程描述為作用在物體上的轉(zhuǎn)矩T等于物體角加速度α乘以其慣性矩I圃泡。可以這樣快速理解，其和線性運(yùn)動(dòng)的方程F =mα的結(jié)構(gòu)類似愿险，但是因?yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng)存在位置因素從而二者量綱不同颇蜡。
這種轉(zhuǎn)矩和角加速度圍繞單個(gè)軸起作用，而此慣性矩指的是圍繞單一軸的慣性矩辆亏。
慣性矩（轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Moment of inertia）從本質(zhì)上描述了對象的質(zhì)量對施加轉(zhuǎn)矩的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的抵抗风秤，它是質(zhì)量屬性的一種旋轉(zhuǎn)模擬。但如前所說扮叨，僅僅使用單一的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量值只是旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)中的簡化情況缤弦。如果要處理三維空間的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，就需要用到慣性張量或慣性矩陣的概念彻磁，其中包含了物體三軸坐標(biāo)系（如笛卡爾坐標(biāo)系）所對應(yīng)的慣性矩（Moment of inertia）和慣性積(Products of inertia)碍沐，前提是確定好坐標(biāo)系的位置。
這里將推導(dǎo)慣性張量中的慣性矩和慣性積來自何處衷蜓，試圖從中獲得直覺累提。因?yàn)閷@些物理概念除了死記硬背外，具有直覺的理解也很重要磁浇。
需要的知識儲備前提：需要了解微積分斋陪、向量和矩陣運(yùn)算（如叉乘和矩陣乘法），行列式運(yùn)算扯夭。公式的推導(dǎo)中有很多值為向量值（具備方向?qū)傩憎⒓郑虼擞眉^上標(biāo)標(biāo)出），只有質(zhì)量和確定好了坐標(biāo)方位的值為標(biāo)量交洗。嘗試過繞開數(shù)學(xué)去理解骑科，但是越繞越亂。构拳。咆爽。這部分真的是不能指望繞過公式運(yùn)算通過通俗理解的。
關(guān)于下面的公式的定義和推導(dǎo)過程置森，是通用的理論知識和定理的羅列斗埂，是從網(wǎng)上和書上獲悉的通用寫法和表達(dá)。礙于本人數(shù)學(xué)能力有限凫海，公式的解釋比較啰嗦呛凶。。行贪。
接下來是大致的推導(dǎo)過程
基礎(chǔ)是牛頓第二定律漾稀，力等于質(zhì)量乘以加速度：
因?yàn)榧铀俣仁撬俣鹊淖兓誓Ｏ校源硕煽梢宰優(yōu)榱硪粋€(gè)形式：
由于線動(dòng)量（linear momentum。動(dòng)量的英文用momenta的也比較多崭捍，但是因?yàn)榭s寫后和質(zhì)量mass相同尸折，所以用拉丁語的p表示)的定義是
，因此作用在質(zhì)點(diǎn)上的力等于其線動(dòng)量的微分（變化率）：
然后從質(zhì)點(diǎn)系向剛體上衍生殷蛇，作用在整個(gè)系統(tǒng)上的力等于剛體內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量微分的總和：
與線性運(yùn)動(dòng)不同的是实夹，旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)需要加入力矩Torque的概念，通俗理解的力矩為力乘以距離粒梦，嚴(yán)格意義來說是位置矢量與力矢量的叉積（在公式中的“X”符號指的是叉積亮航，不是數(shù)值上的乘法。同時(shí)要注意矢量叉積的前后順序是位置矢量在前力矢量在后谍倦，否則會(huì)產(chǎn)生方向的錯(cuò)誤）塞赂。作用在剛體的總力矩等于剛體所有質(zhì)點(diǎn)的位置矢量和其動(dòng)量微分矢量的叉積（向量叉積）的總和
該方程的右側(cè)是角動(dòng)量（angular momentum）的微分，因此力矩等于角動(dòng)量的微分（類比線性運(yùn)動(dòng)：力是線動(dòng)量的微分）
角動(dòng)量公式為：
因?yàn)榫€速度和角速度的公式為
因此角動(dòng)量公式進(jìn)一步為
注意由于是分析剛體的運(yùn)動(dòng)昼蛀，剛體所有質(zhì)點(diǎn)的角速度相同（這是剛體的本質(zhì)屬性）宴猾，因此角速度沒有下標(biāo)。
下一步需要計(jì)算上述公式中的叉積結(jié)果叼旋。
由于力仇哆、速度和位置都是向量，先將位置和速度的向量用笛卡爾坐標(biāo)系表示為
其中i夫植，j讹剔，k為三個(gè)坐標(biāo)軸的單位向量。
然后根據(jù)叉乘運(yùn)算用笛卡爾坐標(biāo)行列式表達(dá)我們得到
對行列式進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算推導(dǎo)出
將距離值再次與該向量結(jié)果進(jìn)行叉乘详民，得出
其結(jié)果可以用矩陣和向量的乘法簡化表示為
從而剛體質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量總和的公式推導(dǎo)為
=
進(jìn)一步的延欠，由于剛體的質(zhì)點(diǎn)實(shí)際是連續(xù)的，將離散的求和替代為連續(xù)的積分可得到
此公式等號右側(cè)靠左的矩陣就是剛體的慣性矩陣沈跨，或者叫慣性張量由捎。矩陣的對角線元素稱為“慣性矩”也就是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 為了方便起見饿凛，慣性矩縮寫為：
矩陣的非對角線元素稱為“慣性積”狞玛。 盡管有六個(gè)非對角元素，但只有三個(gè)不同的慣性積涧窒。 這是因?yàn)榫仃囀菍ΨQ的心肪，慣性積縮寫為：
使用縮寫定義重寫慣性張量（慣性矩陣）I可得到：
進(jìn)而簡化角動(dòng)量的公式得到：
轉(zhuǎn)矩是角動(dòng)量的微分，所以可繼續(xù)推導(dǎo)
轉(zhuǎn)矩向量可用笛卡爾坐標(biāo)系的矢量表示為：
為角加速度纠吴，其也是三維向量硬鞍，用笛卡爾坐標(biāo)表示為
由此可以直接看到力矩在三個(gè)坐標(biāo)軸分量上的公式，如x軸：
慣性矩陣上對角線的“慣性矩”可以理解為當(dāng)在某一軸線上施加扭矩時(shí)，對象會(huì)如何圍繞這個(gè)軸線旋轉(zhuǎn)固该，例如如果繞x軸線施加扭矩碑隆，則告訴我們這會(huì)如何產(chǎn)生剛體繞x軸線的角加速度(成為廣義的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量概念)。由于物體的質(zhì)量分布原因蹬音，慣性矩陣上非對角線的“慣性積”出現(xiàn)，理解為在圍繞某一軸施加扭矩時(shí)休玩，剛體會(huì)如何圍繞另一軸來旋轉(zhuǎn)著淆，例如慣性積
告訴我們施加在x軸上的轉(zhuǎn)矩如何使剛體產(chǎn)生出圍繞y軸的角加速度。 類似地拴疤，
告訴我們施加在x軸的轉(zhuǎn)矩如何使剛體產(chǎn)生圍繞z軸的角加速度永部。
總結(jié)的說，不論慣性矩或慣性積呐矾， （其中的i可以是x苔埋，y或z，j可以是x蜒犯，y或z）告訴我們施加到軸i的轉(zhuǎn)矩如何影響圍繞軸j的角加速度组橄。
慣性矩和慣性積的值完全取決于對象剛體相對于旋轉(zhuǎn)軸的質(zhì)量分布，因此罚随，如果剛體的質(zhì)量分布發(fā)生改變玉工，或?qū)ο蟮膞yz軸旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系發(fā)生改變時(shí)，慣性矩陣也會(huì)改變淘菩。 對于任何物體都可以找到一組質(zhì)量分布關(guān)于每個(gè)軸都對稱的坐標(biāo)系遵班。 其被稱為“主坐標(biāo)系”，也就是質(zhì)心坐標(biāo)系潮改。當(dāng)使用該坐標(biāo)系計(jì)算剛體的慣性張量中的元素時(shí)狭郑，慣性積全部等于零：
大多數(shù)問題的分析都是這種慣性積為零的情況，因?yàn)橥ǔＲ幚砟切├@著穿過重心且對象對稱的軸的旋轉(zhuǎn)汇在。 然而翰萨，當(dāng)偏離這種情況時(shí)，如坐標(biāo)系產(chǎn)生偏離趾疚，或具有多剛體的約束運(yùn)動(dòng)整合分析時(shí)缨历，整體的慣性張量特別是慣性積的知識也會(huì)變得很重要。例如處理在路面上滾動(dòng)的車輪糙麦，除了車輪圍繞中心旋轉(zhuǎn)外辛孵，還有車輪繞接地點(diǎn)的地平線傾斜的情況，以及車輪轉(zhuǎn)向時(shí)車輪的擺動(dòng)軸線傾斜且偏離車輪質(zhì)心的情況赡磅，這都讓旋轉(zhuǎn)軸心不再處于車輪質(zhì)心（中心）魄缚，此時(shí)除了慣性矩外就用上慣性積以至于整個(gè)慣性張量來分析。當(dāng)系統(tǒng)的質(zhì)量分布不均勻時(shí)，或者系統(tǒng)中有多個(gè)剛體存在復(fù)雜的動(dòng)態(tài)關(guān)聯(lián)時(shí)冶匹，完整的慣性矩陣就非常必要习劫。其中的轉(zhuǎn)換和運(yùn)算可以依據(jù)質(zhì)心坐標(biāo)系的慣性矩陣通過平行軸定理、垂直軸定理以及坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣運(yùn)算得出（平行軸定理嚼隘、垂直軸定理以及坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)變換矩陣非常重要诽里，這里不延伸，先自行百度）飞蛹。
慣性矩陣是動(dòng)態(tài)分析的物理基礎(chǔ)部分谤狡，在動(dòng)力學(xué)方程中質(zhì)量矩陣是分析轉(zhuǎn)動(dòng)中關(guān)鍵的部分，比如與陀螺有關(guān)的分析理論（例如角動(dòng)量守恒卧檐、進(jìn)動(dòng)墓懂、章動(dòng)等）。從機(jī)電角度例如電機(jī)的力矩會(huì)產(chǎn)生怎樣的加速旋轉(zhuǎn)（例如能產(chǎn)生多少角加速度等霉囚、可能會(huì)出現(xiàn)的振動(dòng)等）肯定離不開慣性矩陣的分析捕仔。從傳感器角度例如運(yùn)動(dòng)物體中的IMU單元（它的全稱就是慣性測量單元，英文Inertial measurement unit）應(yīng)用來說盈罐，如何通過測量結(jié)果去分析物體的運(yùn)動(dòng)和外力狀態(tài)這部分的理論自然也是極其關(guān)鍵的榜跌，怎么對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理的算法離不開基礎(chǔ)理論（不然根本不能建立Matlab的模型）。CAE中的動(dòng)態(tài)分析和有限元分析FEA部分也是以動(dòng)力學(xué)方程作為基礎(chǔ)暖呕。對輪動(dòng)的車輛來說斜做，比如在前進(jìn)和操控過程中發(fā)生的側(cè)傾（通常用章動(dòng)角描述）、車身擺動(dòng)（通常用進(jìn)動(dòng)角描述）湾揽、以及一些避震懸架的運(yùn)動(dòng)等瓤逼，不同的速度下輪組發(fā)動(dòng)機(jī)的陀螺效應(yīng)會(huì)有怎樣的影響等，這些要素在車輛的行駛狀態(tài)中復(fù)雜耦合的兩輪車（自行車库物、摩托車）來說分析穩(wěn)定和操控性能比較重要霸旗，比如在Majaad、Shwalb和Sharp關(guān)于自行車和摩托車的經(jīng)典動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性能的一些理論分析的各種公式中戚揭，慣性矩陣就占了很大的比重诱告。至于汽車、航天的應(yīng)用更多了民晒。雖然運(yùn)動(dòng)的載體和對象高低有別精居，有簡有繁，但是無論哪種載體潜必，在相對論還遠(yuǎn)遠(yuǎn)用不上的速度范疇中靴姿，量子力學(xué)還遠(yuǎn)遠(yuǎn)用不上的體積范疇中，它們的動(dòng)態(tài)的本質(zhì)都離不開牛頓力學(xué)這種自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理磁滚，以及來自歐拉佛吓、拉格朗日宵晚、哈密頓的貢獻(xiàn)∥停回到文章的一開頭的話淤刃，當(dāng)理論有一定積累的時(shí)候，會(huì)發(fā)現(xiàn)越來越需要經(jīng)驗(yàn)吱型。當(dāng)經(jīng)驗(yàn)積累的越來越多時(shí)逸贾，理論的需求其實(shí)也越來越重要。重要的是讓二者一起提升津滞，而不是只重一派耕陷，自恃一邊不去探知另一邊。
2020-12-4
