? ? ? ? 3月14日——圓周率日又要到了某弦，一起來探討一個有趣的問題。盡管在數(shù)學的各個分支里涣觉，圓周率pi都能以讓人意想不到的方式“合邏輯”地出現(xiàn)联喘，早就超出了數(shù)千年前的發(fā)現(xiàn)者們的想象，這次我們還是回眸最初的源頭载庭，從圓周談起趟佃。
? ? ? ? 試問三維空間是否能分成一個一個的圓？也就是說昧捷，無窮多個圓能否既不重也不漏地填滿全部三維空間闲昭？這無疑是個有趣而迷人的問題，由美國普林斯頓大學計算機科學教授Nick Pippenger提出并給出了解答靡挥，我們不妨把這個問題稱作“’圓滿’的空間”序矩。
? ? ? ? 乍一看很簡單，最容易想到的是把三維空間分成摞在一起的無窮多個平面跋破，也就是把三維空間看作無窮多個平面的并集簸淀，再把每個平面分成無窮多個同心圓瓶蝴。
? ? ? ? 然而這樣處理有個重大問題，這些同心圓的圓心被漏掉了，不屬于任何一個圓，空間因此沒有被圓填滿墅拭。雖然直線也可以看作半徑是無窮大的圓哄孤，可以把圓心“填上”韵丑，但如果不允許這樣放寬條件，這種分割方式顯然是行不通的。對于每個平面來說，不妨把這樣不屬于任何一個圓的點稱作“奇異點”歉眷。
? ? ? ? 稍作拓展，如上圖所示颤枪，對于一個球面來說汗捡，如果把球面看作是無窮多個圓的并集，容易理解畏纲，球面上一定會出現(xiàn)兩個奇異點扇住，如圖中的P1和P2。不過盗胀，兩個奇異點不一定是球上的對跖點台囱，本公眾號《從平面上能畫多少個“丫”談起》一文介紹了通過一一對應探討無窮的思想，若對此種觀念有所領(lǐng)會读整，就會明白其實球面上任意兩點都可以作為奇異點。換一種方式說明如下：
? ? ? ? 如上圖咱娶，球面O上T1,T2是兩個奇異點米间，過T1,T2的切平面相交于直線CC'。圍繞CC'軸膘侮，平面CC'T1從切點T1連續(xù)變化到T2屈糊，將在球面上截出無窮多個不重不漏的圓周。即球面除了兩個奇異點外是圓的并集琼了，圖中的圓AA'就是并集中的一個元素逻锐。
? ? ? ? 有了這些準備，我們自然會試著先把三維空間分成一個個球面雕薪，再補上一些圓把球面上的奇異點“填住”昧诱。令人驚喜的是，以這樣的思路所袁，果然有種非常完美的解答盏档。
? ? ? ? 如上圖所示，在XY平面上放置一個一個半徑等于1的單位圓燥爷，這些單位圓的圓心在X軸上蜈亩，橫坐標滿足被4除后余1懦窘，如(—7,0),(—3,0),(1,0),(5,0),(9,0)……。圖中虛線表示無窮多個同心球面稚配，觀察不難發(fā)現(xiàn)畅涂，任意一個球面，都與這些單位圓在且僅在兩個點處相交道川，球面上的兩個奇異點因此被填補午衰，巧妙至極。由上文的分析愤惰，每個球面的其余部分是無窮多個圓的并集苇经，三維空間于是被不重不漏地分成一個個圓。
? ? ? ? 這個問題利用環(huán)面等等還有其他的解決方案宦言，但這個解答堪稱數(shù)學中簡潔扇单、優(yōu)雅的極致，令人嘆為觀止奠旺。如此得到“圓滿”的空間蜘澜，也是一件藝術(shù)大師妙手偶得的杰作。
? ? ? ? 當然响疚，空間的圓滿寓意雖好鄙信，只存在于理想之中，否則就不會有建立在資源稀缺性基礎(chǔ)上的學科——經(jīng)濟學及其思維方式了忿晕。這里我想到的是出生于19世紀末的荷蘭畫家蒙德里安装诡。這位從立體主義汲取精華的偉大畫家一生致力于將表象化的現(xiàn)實還原至最本質(zhì)的構(gòu)成，是新柏拉圖主義的信徒践盼。
? ? ? ? 有趣的是鸦采，在“純粹抽象”的理念世界里構(gòu)建崇樓杰閣的畫家不斷嘗試直線、直角和矩形原色塊的種種組合咕幻，他掀起的風格派運動在家具渔伯、建筑設(shè)計以及裝飾藝術(shù)上也影響深遠。我倒覺得肄程，本文講述的“無窮多個圓如何既不重也不漏地填滿全部三維空間”這類問題最為完美地體現(xiàn)了蒙德里安式的藝術(shù)理念和追求锣吼，是向著理念世界的一次突進。蒙氏元素多是代表人工蓝厌、人為的直角玄叠、矩形，大約也是覺得天意高難問拓提。最后诸典，我們再來欣賞一下“圓滿”的空間這件藝術(shù)杰作。
