【PBRT】補(bǔ)充知識(shí)——曲線和曲面的微分幾何

pbrt的實(shí)現(xiàn)中，對(duì)球體進(jìn)行了建模判族，而球的表面是曲面躺盛，所以，表示球面就用到了球的曲面參數(shù)方程形帮。不僅如此槽惫，反走樣技術(shù)中用到了曲面的其他屬性（比如說(shuō)曲率），所以沃缘，我就專(zhuān)門(mén)學(xué)了曲線和曲面的相關(guān)知識(shí)躯枢，在此做一個(gè)總結(jié)，復(fù)習(xí)學(xué)到的內(nèi)容槐臀，并且希望能對(duì)想要連接曲線和曲面相關(guān)知識(shí)的讀者有所幫助锄蹂。

由于作者水平所限，文中如果有錯(cuò)誤或者沒(méi)有解釋到位的地方水慨，還請(qǐng)讀者不吝指正得糜。

本文主要討論的內(nèi)容是：可微參數(shù)曲線的定義敬扛、曲線的曲率、曲線的擾率朝抖、正則曲面的定義啥箭、第一基本形式、第二基本形式治宣。

可微參數(shù)曲線

在實(shí)踐過(guò)程中急侥，我們要處理的大多數(shù)曲線都是參數(shù)曲線，而且都是可微的侮邀，所以坏怪，給一個(gè)參數(shù)曲線的定義不如給一個(gè)可微參數(shù)曲線的定義。下面是可微參數(shù)曲線的定義：

可微參數(shù)曲線是一種將 $R$ 域上的開(kāi)區(qū)間 $I = (a, b)$ 內(nèi)的元素绊茧，轉(zhuǎn)換成 $R^3$ 域內(nèi)的元素的可微映射铝宵，記作 $\alpha : I \to R^3$

從定義中可以看出，曲線本質(zhì)上是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系华畏，這種對(duì)應(yīng)可以看成是一種函數(shù)鹏秋，把一維空間中的元素映射到三維空間中去。那么顯示生活中亡笑，啥東西是一維的呢侣夷？想來(lái)想去，只有一個(gè)東西是一維的仑乌，那就是時(shí)間惜纸！所以，參數(shù)曲線也可以看成是绝骚，一個(gè)點(diǎn)在三維空間中隨著時(shí)間運(yùn)動(dòng)的軌跡耐版！

來(lái)看一個(gè)參數(shù)曲線的例子——螺旋線

螺旋線的參數(shù)方程是，其中和都是標(biāo)量压汪。

曲線的切向量

曲線在某一點(diǎn)的切線意味著其在當(dāng)前點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向和速度粪牲，對(duì)研究曲線來(lái)說(shuō)，切向量非常重要止剖，幾乎所有的定理或者公式都有切向量腺阳，所以，它是既曲線的定義之后穿香，第二大重要的概念亭引。

切向量的定義是：

如果曲線 $\alpha(t)$ 是可微參數(shù)曲線，那么它的一階導(dǎo)數(shù) $\alpha'(t)$ 就是曲線 $\alpha$ 在點(diǎn) $t$ 出的切向量皮获。

這個(gè)很容易理解焙蚓，在學(xué)習(xí)微積分的時(shí)候，如何理解導(dǎo)數(shù)就是瞬時(shí)速度（雖然瞬時(shí)速度在現(xiàn)實(shí)生活中是不存在的），在一小段時(shí)間內(nèi)购公，小車(chē)行駛的距離與這段時(shí)間的比值萌京，不斷將這段時(shí)間縮短，取其極限就成了瞬時(shí)速度宏浩。把這個(gè)概念用到曲線上知残，曲線的切向量就是這樣推導(dǎo)出來(lái)的（上圖中的 $\alpha'(t)$ 就是t點(diǎn)的切向量）。

曲線的弧長(zhǎng)

計(jì)算曲線的弧長(zhǎng)需要用到曲線的切向量比庄，如果曲線在某一點(diǎn)沒(méi)有切向量求妹，這種曲線我們沒(méi)法處理，而之前定義的可微參數(shù)曲線就解決了這個(gè)問(wèn)題佳窑，可微參數(shù)曲線保證曲線是處處可導(dǎo)的（有切向量）扒最。

但是光可微還不夠，我們還需要一個(gè)條件华嘹，那就是曲線的一階導(dǎo)數(shù)不為0。這就引出了正則曲線的定義法竞。

如果 $\alpha(t) : I \to R^3$ 是可微參數(shù)曲線耙厚，其一階導(dǎo)數(shù)在整個(gè)定義域 $I$ 上處處不為0，我們就說(shuō)這條曲線是正則曲線岔霸。

然后薛躬，弧長(zhǎng)的計(jì)算公式如下：

$s(t) = \int_{t_0}^{t}|\alpha'(u)|du$

這里不用 $a(t)$ 來(lái)表示是因?yàn)檫@個(gè)公式中只有一個(gè)變量那就是 $t$ ，而 $t$ 是積分的上限呆细，其余的比如 $t_0$ 型宝， $u$ 在這個(gè)式子中都不是變量。所以 $s(t)$ 本質(zhì)上是一個(gè)關(guān)于積分上限 $t$ 的函數(shù)絮爷。

我們不妨這么來(lái)看趴酣，令 $f(u) = |a'(u)|$ ，則積分等式右邊變成了 $\int_{t_0}^{t}f(u)du$ 坑夯，然后 $f(u)$ 積分之后變成 $F(u)$ 岖寞，于是弧長(zhǎng)計(jì)算公式就變成：
$s(t) = \left.F(u)\right|_{t_0}^{t}$
也就是 $s(t)=F(t) - F(t_0)$ ，因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=t_0" alt="t_0" mathimg="1">是一個(gè)常量柜蜈，所以整個(gè)式子就是一個(gè)關(guān)于 $t$ 的函數(shù)仗谆。

還有一點(diǎn)要注意的是，對(duì) $|\alpha'(u)|$ 積分之后淑履，跟 $\alpha(u)$ 沒(méi)有半毛錢(qián)關(guān)系隶垮，也就是說(shuō) $\int_{t_0}^{t}|\alpha'(u)|du$ 不能表示成 $\left.|\alpha(u)|\right|_{t_0}^{t}$ ，取 $\alpha'(u)$ 的長(zhǎng)度會(huì)把表達(dá)式變成一個(gè)完全不同的函數(shù)秘噪，和 $\alpha(u)$ 不再有什么關(guān)系狸吞。

曲線的曲率

對(duì)一條曲線來(lái)說(shuō)，我們很自然地會(huì)去考慮，這條曲線到底有多“曲”捷绒？那么瑰排，在數(shù)學(xué)上，怎么表示這個(gè)彎曲程度呢暖侨？答案是：曲率椭住。

下面是曲率的定義：

令 $\alpha:I \to R^3$ 是一條正則參數(shù)曲線，其參數(shù)為 $s$ 字逗，且參數(shù) $s$ 恰好是曲線的弧長(zhǎng)京郑，那么曲線 $\alpha(s)$ 的曲率是 $|\alpha''(s)|$ ，記作 $\kappa(s)$ 葫掉。

乍一看些举，曲率的定義過(guò)于苛刻了，因?yàn)樗笄€的參數(shù)正好是其弧長(zhǎng)俭厚，這點(diǎn)似乎很難辦到户魏，但是我們?cè)趯?shí)際的應(yīng)用過(guò)程中，這點(diǎn)還是比較容易辦到的挪挤，因?yàn)椋?/p>

對(duì)于任何正則參數(shù)曲線來(lái)說(shuō)叼丑，都可以把它化作以弧長(zhǎng)為參數(shù)的形式。

也就是說(shuō)如果我有一條曲線扛门，就說(shuō)是 $\alpha(t)$ 吧鸠信，這個(gè) $t$ 不是弧長(zhǎng)。我可以找到一條曲線 $\beta(s)$ 论寨，使得這個(gè) $s$ 正好是 $\alpha(t)$ 的弧長(zhǎng)星立。并且，這個(gè) $\beta(s)$ 和 $\alpha(t)$ 是同一條曲線葬凳！然后绰垂，曲率的定義就可以在 $\beta(s)$ 上應(yīng)用了，因?yàn)樗?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Calpha(t)" alt="\alpha(t)" mathimg="1">是同一條曲線火焰，所以 $\beta(s)$ 的曲率也就是 $\alpha(t)$ 的曲率辕坝。

以弧長(zhǎng)為參數(shù)的曲線還有一個(gè)好處，就是 $\alpha''(s)$ 和 $\alpha'(s)$ 是垂直的荐健。因?yàn)榧偃缥覀冇没￠L(zhǎng)計(jì)算公式去計(jì)算的話酱畅，我們得到的結(jié)果是 $S(s)=\int_{s_0}^{s}|\alpha'(u)|du$ ，這個(gè)正好等于 $s$ 江场，也就是說(shuō) $|\alpha'(u)|$ 正好是1纺酸，并且恒等于1。即
$|\alpha'(s)|=1$
成立址否。那么我們可以得到 $\alpha'(s) \bullet \alpha'(s)=1$ 餐蔬，對(duì)等式兩邊求導(dǎo)（運(yùn)用乘積公式）得 $\alpha''(s)\bullet\alpha'(s)+\alpha'(s)\bullet\alpha''(s)=0$ 碎紊，化簡(jiǎn)得 $\alpha''(s)\bullet\alpha'(s)=0$
也就是說(shuō) $\alpha''(s)$ 與 $\alpha'(s)$ 是垂直的。

曲率的幾何意義

現(xiàn)在我們知道曲線有多“曲”了樊诺，它的彎曲程度是 $\kappa(s)$ 仗考，這是一個(gè)標(biāo)量。那么词爬，它的幾何意義是什么秃嗜？

我們可以很直觀地想到，如果 $\kappa(s)$ 越大顿膨，那么這條曲線在點(diǎn) $s$ 的附近就會(huì)越彎曲锅锨。所以，曲率的幾何意義就是恋沃，當(dāng) $s$ 增加一個(gè)微小量 $\Delta{s}$ 之后必搞，曲線 $\alpha(s)$ 在垂直于 $\alpha'(s)$ 的方向上（也就是 $\alpha''(s)$ 方向上）增加了多少。這與我們對(duì)彎曲程度的概念是一致的囊咏！

曲線的擾率

對(duì)曲線來(lái)說(shuō)恕洲，曲率是沿著 $\alpha''(s)$ 方向彎曲的程度， $\alpha''(s)$ 與 $\alpha'(s)$ 垂直梅割，也就是說(shuō) $\alpha''(s)$ 和 $\alpha'(s)$ 共同組成了一個(gè)平面霜第。曲率是曲線在這個(gè)平面上的變化程度。

那么炮捧，如果我的曲線 $\alpha(s)$ 是三維空間中的一條曲線，只有曲率怕是不夠的吧惦银？沒(méi)錯(cuò)咆课，這就引出了另一個(gè)概念：擾率。

下面是關(guān)于擾率的計(jì)算過(guò)程：

令曲線 $\alpha(s)$ 是以弧長(zhǎng)為參數(shù)的正則曲線扯俱， $t(s)=\alpha'(s)$ 书蚪，則其曲率為 $\kappa(s)=|\alpha''(s)|=|t'(s)|$
令 $n(s)=\frac{1}{\kappa(s)}\alpha''(s)=\frac{t'(s)}{|t'(s)|}$ ，即迅栅， $n(s)$ 是單位 $\alpha''(s)$ 殊校，則
$b(s)=t(s)\times{n(s)} \quad\quad (1)$
由等式1可以推導(dǎo)得到：
$n(s)=b(s)\times{t(s)} \quad\quad (2)$
顯然， $b(s)$ 是單位向量读存。那么就有
$b'(s)\bullet{b(s)}=0 \quad\quad (3)$
對(duì)式2兩邊求導(dǎo)可得 $b'(s)=t'(s)\times{n(s)}+t(s)\times{n'(s)}$ 很明顯为流， $t'(s)$ 和 $n(s)$ 是線性相關(guān)的，所以它們的叉積是 $0$ 向量让簿，所以敬察，我們的等式可以化簡(jiǎn)為
$b'(s)=t(s)\times{n'(s)} \quad\quad (4)$
通過(guò)觀察等式3和等式4我們可以知道， $b'(s)$ 與 $b(s)$ 是垂直的尔当， $b'(s)$ 與 $t(s)$ 是垂直的莲祸，在觀察等式2就可以得出結(jié)論 $b'(s)$ 與 $n(s)$ 是線性相關(guān)的，也就是說(shuō) $b'(s)$ 可以表示成
$b'(s) =\tau{n(s)}$
這個(gè) $\tau$ 就是曲線的擾率！

很復(fù)雜的推理過(guò)程锐帜，比 $\kappa$ 要復(fù)雜地多田盈。擾率的幾何意義是，在垂直于 $\alpha'(s)$ 和 $\alpha''(s)$ 形成的平面的方向上缴阎，曲線的“彎曲”程度允瞧，也就是空間的第三個(gè)維度上的變化情況。

就是上圖中方向上的變化情況药蜻。

正則曲面的定義

同樣瓷式，從實(shí)際應(yīng)用的角度出發(fā)，跟找曲面的意義相比语泽，找正則曲面的意義更大贸典。所以，下面要給出正則曲面的定義踱卵，說(shuō)實(shí)話廊驼，正則曲面的定義比曲線的定義復(fù)雜很多，但是惋砂，復(fù)雜就不學(xué)了嗎妒挎？

正則曲面的定義如下：

假設(shè)有一個(gè) $R^3$ 的子集 $S$ ，如果對(duì)于 $S$ 上的每一點(diǎn) $p$ 西饵，都可以找到一個(gè)鄰域 $V$ （ $V\subset{R^3}$ ）酝掩，和一個(gè)映射 $x:U\to{V}\cap{S}$ ，其中 $U$ 是 $R^2$ 上的開(kāi)集眷柔， $V\cap{S}$ 是 $V$ 和 $S$ 的交集期虾，顯然 $V\cap{S}\subset{R^3}$ ，滿足如下的條件：
1驯嘱、 $x$ 是可微的镶苞。這就表示 $x(u,v)$ 的各階偏導(dǎo)數(shù)都存在。
2鞠评、 $x$ 是同胚映射茂蚓。和條件1結(jié)合起來(lái)，這就意味著 $x$ 有一個(gè)逆映射 $x^{-1}$ 使得 $V\cap{S}\to{U}$ 剃幌，并且 $x^{-1}$ 是連續(xù)的聋涨。
3、對(duì)每一個(gè) $q\in{U}$ 负乡，微分運(yùn)算 $dx_q:R^2\to{R}^3$ 是一一對(duì)應(yīng)的牛郑。
那么，這個(gè)子集 $S$ 就是一個(gè)正則曲面敬鬓。

研究研究定義就可以發(fā)現(xiàn)淹朋，數(shù)學(xué)上的曲面定義好苛刻啊笙各。最苛刻的地方在于，它必須要有的映射關(guān)系础芍，如果我們憑空繪制一個(gè)曲面杈抢，哪來(lái)的這種關(guān)系可以對(duì)應(yīng)？更何況這映射還需要滿足3個(gè)條件仑性！

我們來(lái)仔細(xì)看看正則曲面的定義惶楼。首先， $S$ 上的一點(diǎn) $p$ 的鄰域 $V$ 是一個(gè)球诊杆，它和 $S$ 的交集就是 $S$ 的一個(gè)子集（注意還不能認(rèn)為 $S$ 是一個(gè)曲面歼捐，所以交集就不能認(rèn)為是一個(gè)面片）。然后晨汹， $S$ 的這個(gè)子集和 $U$ 有著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系豹储。最后，這種對(duì)應(yīng)關(guān)系還需要滿足1,2,3的條件淘这。如此這般之后剥扣， $S$ 才能被稱(chēng)為是一個(gè)正則曲面。

第一基本形式

想要定義第一基本形式铝穷，先得定義曲面的切線空間的概念钠怯。

下面定義切線空間：

令 $x(u,v)$ 是一個(gè)正則參數(shù)曲面，則點(diǎn) $p\in{S}$ 處的切線空間是向量 $x_u$ 和 $x_v$ 所張成的向量空間曙聂，其中 $x_u$ 晦炊， $x_v$ 分別是 $x$ 關(guān)于 $u$ ， $v$ 的偏導(dǎo)數(shù)宁脊。

有了切線空間的定義断国，我們就能定義曲面的第一基本形式了：

令 $w$ 是正則曲面 $S$ 在點(diǎn) $p$ 處的向量空間中的一個(gè)向量，則曲面的第一基本形式為： $<w, w>$ 朦佩，其中 $<,>$ 符號(hào)表示兩個(gè)向量的內(nèi)積并思。

上面這個(gè)定義不好理解庐氮，我們舉個(gè)例子說(shuō)明一下就好了：
假設(shè)我們有一個(gè)正則曲面 $S$ 语稠，它上面有一條參數(shù)曲線 $\alpha(t)=x(u(t), v(t))$ ，點(diǎn) $p=\alpha(0)=x(u_0, v_0)$ 處的第一基本形式是：
$<\alpha'(0), \alpha'(0)>\quad=\quad<x_u{u'} + x_v{v'}, x_u{u'}+x_v{v'}>$
$\quad=\quad<x_u, x_u>(u')^2 + 2<x_u, x_v>u'v'+<x_v, x_v>(v')^2$
$=E(u')^2+2Fu'v'+G(v')^2$
其中弄砍，
$E\quad=\quad<x_u,\quad x_u>$
$F\quad=\quad<x_u,\quad x_v>$
$G\quad=\quad<x_v,\quad x_v>$
所以仙畦， $S$ 在點(diǎn) $p$ 處的第一基本形式是： $E(u')^2+2Fu'v'+G(v')^2$ 。通常音婶，我們都把這種樣子的東西叫做第一基本形式慨畸，而 $E,F,G$ 被稱(chēng)為第一基本形式的系數(shù)！

注意：雖然有一些資料上說(shuō)是曲面的第一基本形式衣式，但是這是錯(cuò)誤的叫法寸士，曲面根本就沒(méi)有什么第一基本形式檐什，這只是曲面上的一點(diǎn)的第一基本形式，因?yàn)槲覀兺耆梢钥闯鋈蹩ǎ@個(gè)式子計(jì)算出來(lái)的是一個(gè)標(biāo)量乃正，根本就不是曲面上的點(diǎn)！

第一基本形式的作用是計(jì)算曲面上曲線的長(zhǎng)度婶博，兩條曲線交點(diǎn)切向量的夾角瓮具，或是某一塊曲面片的面積。

第二基本形式

同第一基本形式一樣凡人，第二基本形式也不是曲面的名党，而是曲面上一點(diǎn)的。第二基本形式的幾何意義是挠轴，曲面在當(dāng)前這個(gè)點(diǎn)上的曲率是多少传睹，也就是曲面在這點(diǎn)上有多“曲”。

第二基本形式的計(jì)算方法如下：

令曲面 $S=x(u,v)$ 是正則曲面忠荞，在點(diǎn) $p$ 處的標(biāo)準(zhǔn)單位法線為 $\mathrm{N}=\frac{x_u\times{x_v}}{|x_u\times{x_v}|}$ 蒋歌，則曲面 $S$ 在點(diǎn) $p$ 處的第二基本形式是 $edu^2+2fdudv+gdv^2$ ，其中 $e=x_{uu}\bullet \mathrm{N},f=x_{uv}\bullet \mathrm{N},g=x_{vv}\bullet\mathrm{N}$ 委煤， $x_{uu}$ 是 $x$ 關(guān)于 $u$ 的二階偏導(dǎo)數(shù)堂油，依次類(lèi)推。 $e, f, g$ 被稱(chēng)為第二基本形式的系數(shù)碧绞。

從式子中也可以看出來(lái)府框，這玩意兒就是一個(gè)標(biāo)量而已。所以讥邻，我不喜歡把它叫成曲面的第二基本形式迫靖，因?yàn)檫@會(huì)產(chǎn)生很大的歧義，仿佛這是曲面的表達(dá)式似的兴使。

第二基本形式的產(chǎn)生思路是這樣子的系宜。前面我們研究曲線的時(shí)候，計(jì)算了曲線的曲率发魄，有了一個(gè)量來(lái)表示曲線有多“曲”盹牧，那么自然地，我們也會(huì)想知道一個(gè)曲面有多“曲”励幼，這就引出了第二基本形式汰寓。

第二基本形式是曲面上兩點(diǎn)之間，法向量方向上的距離苹粟，如下圖所示：

下面來(lái)推導(dǎo)這個(gè)第二基本形式有滑。首先，假設(shè)曲面的參數(shù)形式是嵌削，曲面上一點(diǎn)p的坐標(biāo)是毛好，我們要求圖中d的長(zhǎng)度：望艺，這個(gè)公式非常簡(jiǎn)單。難的是下面這步：
我們可以把用泰勒多項(xiàng)式展開(kāi)肌访，得到在點(diǎn)(0,0)附近的曲面的近似多項(xiàng)式曲面荣茫，就會(huì)得到：

其中是余項(xiàng)。當(dāng)u和v的值趨近于0的時(shí)候场靴，余項(xiàng)可以舍棄掉啡莉。
于是，我們得到

將這個(gè)式子帶入到求的公式中

因?yàn)榉ㄏ蛄看怪庇谇衅矫嬷及院偷闹刀际?咧欣，可以消去，所以我們得到了上面的式子轨帜。把放到括號(hào)里去魄咕，然后微小變化量我們通常用表示，就得到了第二基本形式

另一種第二基本形式的表示方式

另外一種第二基本形式的表示方式蚌父，可以說(shuō)是一種巧合哮兰，因?yàn)樗鼪](méi)有什么幾何意義。我們來(lái)看：
因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%3Cx_u%2C%20N%3E%3D0" alt="<x_u, N>=0" mathimg="1">苟弛，對(duì)這個(gè)式子兩邊求導(dǎo)我們可以得到
$<x_{uu}, N> + <x_u, N_u> = 0$
$<x_{uv}, N> + <x_u, N_v> = 0$
對(duì) $<x_v, N>=0$ 兩邊求導(dǎo)可得
$<x_{vu}, N> + <x_v, N_u>=0$
$<x_{vv},N>+<x_v, N_v>=0$
這就說(shuō)明
$e=<x_{uu},N>=-<x_u,N_u>$
$f=<x_{uv},N>=-<x_u,N_v>=-<x_v,N_u>$
$g=<x_{vv},N>=-<x_v,N_v>$
這就是說(shuō)
$-dx*dN=-(x_udu+x_vdv)*(N_udu+N_vdv)$
$-dx*dN=-x_uN_udu^2+(-x_uN_v)dudv+(-x_vN_u)dudv+(-x_vN_v)dv^2=Ldu^2+2Mdudv+Ndv^2$
沒(méi)錯(cuò)喝滞，就是這么巧。也就是說(shuō)
$-dx*dN$
也是第二基本形式膏秫。

為啥沒(méi)意義呢右遭？因?yàn)閐x可以看成是x的某一個(gè)切向量，而dN可以看成是N的切向量（如果N看成是一個(gè)單位球的曲面的話缤削，也可以說(shuō)是高斯映射窘哈，當(dāng)然，這是不正經(jīng)定義）亭敢，那么兩個(gè)切向量的點(diǎn)積滚婉，還要求相反數(shù)，這就沒(méi)有啥意義了帅刀。當(dāng)然让腹，這只是我個(gè)人的理解，如果讀者有更好的理解的話劝篷，請(qǐng)留言告訴我哨鸭，謝謝民宿！

總結(jié)

說(shuō)實(shí)話娇妓，這些定義都是非常基本的但是要理解這些東西也并不容易活鹰，其中的有一些概念可以擴(kuò)展延伸成更有用的概念哈恰，在這里就不整理了只估，因?yàn)椋灰@些基本的概念在着绷，就不虛蛔钙！

參考資料

Differential Geometry of Curves and Surfaces, by do Carmo
Elemetary Diffential Geometry Second Edition, by Andrew Pressley

最后編輯于：2019.11.15 17:21:57

?著作權(quán)歸作者所有,轉(zhuǎn)載或內(nèi)容合作請(qǐng)聯(lián)系作者

人面猴
序言：七十年代末，一起剝皮案震驚了整個(gè)濱河市荠医，隨后出現(xiàn)的幾起案子吁脱，更是在濱河造成了極大的恐慌，老刑警劉巖彬向，帶你破解...
沈念sama閱讀 218,941評(píng)論 6贊 508
死咒
序言：濱河連續(xù)發(fā)生了三起死亡事件兼贡，死亡現(xiàn)場(chǎng)離奇詭異，居然都是意外死亡娃胆，警方通過(guò)查閱死者的電腦和手機(jī)遍希，發(fā)現(xiàn)死者居然都...
沈念sama閱讀 93,397評(píng)論 3贊 395
救了他兩次的神仙讓他今天三更去死
文/潘曉璐我一進(jìn)店門(mén)，熙熙樓的掌柜王于貴愁眉苦臉地迎上來(lái)里烦，“玉大人凿蒜，你說(shuō)我怎么就攤上這事⌒埠冢” “怎么了废封？”我有些...
開(kāi)封第一講書(shū)人閱讀 165,345評(píng)論 0贊 356
道士緝兇錄：失蹤的賣(mài)姜人
文/不壞的土叔我叫張陵，是天一觀的道長(zhǎng)丧蘸。經(jīng)常有香客問(wèn)我虱饿，道長(zhǎng)，這世上最難降的妖魔是什么触趴？我笑而不...
開(kāi)封第一講書(shū)人閱讀 58,851評(píng)論 1贊 295
?港島之戀（遺憾婚禮）
正文為了忘掉前任氮发，我火速辦了婚禮，結(jié)果婚禮上冗懦，老公的妹妹穿的比我還像新娘爽冕。我一直安慰自己，他們只是感情好披蕉，可當(dāng)我...
茶點(diǎn)故事閱讀 67,868評(píng)論 6贊 392
惡毒庶女頂嫁案：這布局不是一般人想出來(lái)的
文/花漫我一把揭開(kāi)白布颈畸。她就那樣靜靜地躺著，像睡著了一般没讲。火紅的嫁衣襯著肌膚如雪眯娱。梳的紋絲不亂的頭發(fā)上，一...
開(kāi)封第一講書(shū)人閱讀 51,688評(píng)論 1贊 305
城市分裂傳說(shuō)
那天爬凑，我揣著相機(jī)與錄音徙缴，去河邊找鬼。笑死嘁信，一個(gè)胖子當(dāng)著我的面吹牛于样，可吹牛的內(nèi)容都是我干的疏叨。我是一名探鬼主播，決...
沈念sama閱讀 40,414評(píng)論 3贊 418
雙鴛鴦連環(huán)套：你想象不到人心有多黑
文/蒼蘭香墨我猛地睜開(kāi)眼穿剖，長(zhǎng)吁一口氣：“原來(lái)是場(chǎng)噩夢(mèng)啊……” “哼蚤蔓！你這毒婦竟也來(lái)了？” 一聲冷哼從身側(cè)響起糊余，我...
開(kāi)封第一講書(shū)人閱讀 39,319評(píng)論 0贊 276
萬(wàn)榮殺人案實(shí)錄
序言：老撾萬(wàn)榮一對(duì)情侶失蹤秀又，失蹤者是張志新（化名）和其女友劉穎，沒(méi)想到半個(gè)月后贬芥，有當(dāng)?shù)厝嗽跇?shù)林里發(fā)現(xiàn)了一具尸體涮坐，經(jīng)...
沈念sama閱讀 45,775評(píng)論 1贊 315
?護(hù)林員之死
正文獨(dú)居荒郊野嶺守林人離奇死亡，尸身上長(zhǎng)有42處帶血的膿包…… 初始之章·張勛以下內(nèi)容為張勛視角年9月15日...
茶點(diǎn)故事閱讀 37,945評(píng)論 3贊 336
?白月光啟示錄
正文我和宋清朗相戀三年誓军，在試婚紗的時(shí)候發(fā)現(xiàn)自己被綠了袱讹。大學(xué)時(shí)的朋友給我發(fā)了我未婚夫和他白月光在一起吃飯的照片。...
茶點(diǎn)故事閱讀 40,096評(píng)論 1贊 350
活死人
序言：一個(gè)原本活蹦亂跳的男人離奇死亡昵时，死狀恐怖捷雕，靈堂內(nèi)的尸體忽然破棺而出，到底是詐尸還是另有隱情壹甥，我是刑警寧澤听想，帶...
沈念sama閱讀 35,789評(píng)論 5贊 346
?日本核電站爆炸內(nèi)幕
正文年R本政府宣布绿渣，位于F島的核電站，受9級(jí)特大地震影響，放射性物質(zhì)發(fā)生泄漏幔戏。R本人自食惡果不足惜缩挑，卻給世界環(huán)境...
茶點(diǎn)故事閱讀 41,437評(píng)論 3贊 331
男人毒藥：我在死后第九天來(lái)索命
文/蒙蒙一弹渔、第九天我趴在偏房一處隱蔽的房頂上張望媒熊。院中可真熱鬧，春花似錦谜酒、人聲如沸叹俏。這莊子的主人今日做“春日...
開(kāi)封第一講書(shū)人閱讀 31,993評(píng)論 0贊 22
一樁弒父案僻族，背后竟有這般陰謀
文/蒼蘭香墨我抬頭看了看天上的太陽(yáng)粘驰。三九已至，卻和暖如春述么，著一層夾襖步出監(jiān)牢的瞬間蝌数，已是汗流浹背。一陣腳步聲響...
開(kāi)封第一講書(shū)人閱讀 33,107評(píng)論 1贊 271
情欲美人皮
我被黑心中介騙來(lái)泰國(guó)打工度秘，沒(méi)想到剛下飛機(jī)就差點(diǎn)兒被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留顶伞，地道東北人。一個(gè)月前我還...
沈念sama閱讀 48,308評(píng)論 3贊 372
代替公主和親
正文我出身青樓，卻偏偏與公主長(zhǎng)得像枝哄，于是被迫代替她去往敵國(guó)和親。傳聞我的和親對(duì)象是個(gè)殘疾皇子阻荒，可洞房花燭夜當(dāng)晚...
茶點(diǎn)故事閱讀 45,037評(píng)論 2贊 355