Stefanova KT, Smith AB, Cullis BR (2009) Enhanced Diagnostics for the Spatial Analysis of Field Trials. J Agric Biol Environ Stat 14:392–410. doi: 10.1198/jabes.2009.07098
增強(qiáng)的現(xiàn)場試驗(yàn)空間分析診斷

我們報(bào)告了使用Gilmour，Cullis和Verbyla提出的技術(shù)的一系列均勻性場試驗(yàn)的分析。特別是妖碉，我們澄清樣本變差函數(shù)的作用涌庭，并提出一系列增強(qiáng)的圖形診斷以幫助空間建模過程。我們強(qiáng)調(diào)與常見的農(nóng)藝實(shí)踐相關(guān)的外來變異的存在欧宜，例如蛇紋石收獲坐榆。
關(guān)鍵詞：農(nóng)藝實(shí)踐;覆蓋間隔;混合模型;殘余最大似然;空間模型;變異圖。

1.引言

Gilmour冗茸，Cullis和Verbyla（1997）提出了擴(kuò)展Cullis和Gleeson（1991）二維空間分析的現(xiàn)場試驗(yàn)分析方法猛拴。他們表明，分析人員需要確定空間變異的來源和原因蚀狰。他們認(rèn)為，這將導(dǎo)致對數(shù)據(jù)的更清晰的理解职员，以及對應(yīng)該確定的模型類型的自然選擇麻蹋。他們的方法承認(rèn)存在三種主要類型的空間變化：平滑的局部趨勢反映短期空間相關(guān)性，整個領(lǐng)域的平滑的全球趨勢焊切，以及與試驗(yàn)管理相關(guān)的外部變化扮授。
雖然現(xiàn)場技術(shù)已經(jīng)改善，但仍然檢測到外部變化的情況专肪。這種變化通常與蛇形收獲（即刹勃，在交替方向上收獲圖的排），不準(zhǔn)確的圖修剪方法（導(dǎo)致不等長的圖）或使用同時播種幾個圖的多孔播種機(jī)相關(guān)嚎尤。歷史上荔仁，許多技術(shù)人員和植物育種者認(rèn)為，以蛇形模式收獲地塊更容易;然而芽死，空間分析表明乏梁，這種做法可能導(dǎo)致外部變化，這可能使分析復(fù)雜化关贵，并潛在地降低選擇的效率遇骑。這種做法仍然在一些澳大利亞植物改良計(jì)劃中使用，例如西澳大利亞州揖曾。如Gilmour落萎，Cullis和Verbyla（1997）所示，也廣泛使用的多葉種子播種機(jī)可導(dǎo)致不同的播種深度或不同地塊之間的不同通道炭剪。
空間分析已經(jīng)常規(guī)地用于在澳大利亞的植物品種評價(jià)試驗(yàn)的分析一段時間练链，并且最近已被海外采用。我們知道它被植物育種研究所和公司在墨西哥奴拦，阿根廷和美國北部使用兑宇。空間變異的適當(dāng)建模在早期試驗(yàn)中特別重要，其中僅在具有有限復(fù)制的少數(shù)位置（通常對于許多測試線僅有一個重復(fù)）評估大量線隶糕。品種效應(yīng)的有效估計(jì)依賴于圖誤差方差模型的適當(dāng)選擇瓷产。 Gilmour，Cullis和Verbyla（1997）提出了一種建模的順序方法枚驻，從一個試驗(yàn)性的濒旦，可能的空間模型開始，并使用圖形和形式診斷來修正這個模型再登。樣本變異函數(shù)在這種方法中起著關(guān)鍵作用尔邓，但可能難以解釋。這個問題由于樣本變異函數(shù)缺少正式的推理工具而加劇锉矢，其抽樣分布是相當(dāng)難以處理的（見Diggle和Verbyla 1998）梯嗽。
在本文中，我們介紹了來自西澳大利亞的幾組均勻性數(shù)據(jù)的分析沽损。我們的目標(biāo)是加強(qiáng)對數(shù)據(jù)驅(qū)動建模的需求灯节，而不是單個基于距離的空間模型的自動配置。 Gilmour绵估，Cullis和Verbyla（1997）在多樣化試驗(yàn)數(shù)據(jù)的背景下顯示了這一點(diǎn)炎疆，識別了平滑生育趨勢之外的模型變化。在這篇文章中国裳，我們消除任何對使用均勻性數(shù)據(jù)集的這種外部變化的現(xiàn)實(shí)的懷疑形入。建模方法需要工具來診斷外部變量的存在，并評估模型的平滑趨勢的充分性缝左。 Gilmour亿遂，Cullis和Verbyla（1997）提出使用樣本變差函數(shù)為這一點(diǎn)，但后來的經(jīng)驗(yàn)表明渺杉，解釋可能是困難的崩掘，這可能導(dǎo)致模型選擇的不確定性。 Gilmour et al少办。 （1999）表達(dá)了類似的觀點(diǎn)苞慢，表明樣本變差函數(shù)是一個有用的工具，但可能是模糊的英妓。在本文中挽放，我們對樣本變差函數(shù)進(jìn)行了改進(jìn)，目的是提高解釋的容易性和清晰度蔓纠。
文章的結(jié)構(gòu)安排如下辑畦。在第2節(jié)中，我們描述均勻性數(shù)據(jù)腿倚，在第3節(jié)纯出，我們簡要回顧了統(tǒng)計(jì)模型和診斷工具。在第4節(jié)中，我們給出了所有數(shù)據(jù)集的分析結(jié)果暂筝。詳細(xì)介紹了兩個試驗(yàn)的分析箩言，以加強(qiáng)Gilmour，Cullis和Verbyla（1997）描述的建模過程焕襟。

2.均勻性數(shù)據(jù)的描述

這些數(shù)據(jù)涉及在西澳各地進(jìn)行的七個實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)陨收。三個試驗(yàn)播種羽扇豆（cv。Tanjil）鸵赖，其他四個是小麥試驗(yàn)（cv务漩。westonia）。表1提供了試驗(yàn)的簡要描述它褪。每個試驗(yàn)被認(rèn)為是由兩個因子饵骨，行和列索引的矩形矩陣陣列。所有試驗(yàn)包括25排茫打，12（小麥）或6（羽扇豆）柱居触。地塊大小是10 m×1 m為羽扇豆試驗(yàn)，5 m×1.25 m為小麥試驗(yàn)包吝。羽扇豆的收獲面積為8m×1m，小麥的收獲面積為3m×1.25m源葫。管理實(shí)踐通常與行和列對齊诗越。例如，通過橫穿柱子息堂，即沿著行之間的路徑行駛來播種試驗(yàn)嚷狞。操作者以蛇形方式完成這個過程;也就是說，錐形播種機(jī)在一個方向上被驅(qū)動荣堰，直到它到達(dá)該行的末端床未，然后沿相反的方向返回。這些方向標(biāo)記為東（E）和西（W）振坚。試驗(yàn)用播種兩個地塊的錐形播種機(jī)播種薇搁。錐形播種機(jī)的兩側(cè)標(biāo)記為左（L）和右（R）。表2列出了這些試驗(yàn)的完整播種模式渡八。試驗(yàn)也以蛇形方式收獲啃洋，類似于播種過程。表2還給出了每排（東或西）的收獲方向屎鳍。協(xié)變量定義為播種方向（sdir）宏娄，錐形播種機(jī)側(cè)（錐體）和收獲方向（hdir）。

3.統(tǒng)計(jì)方法的回顧

3.1擴(kuò)展的空間模型

在這里逮壁，我們提出了一個來自小型田地實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)模型孵坚，包括除了由自然變異引起的額外變異來源。該模型將誤差變化分解為三個分量：全局變化，外部變化和局部（空間）變化卖宠。我們假設(shè)有n = rc圖的產(chǎn)量數(shù)據(jù)巍杈，其中r和c分別是行和列的數(shù)量。在這些試驗(yàn)中逗堵，圖是連續(xù)的;也就是說秉氧，它們由單個數(shù)組組成。擴(kuò)展到幾個單獨(dú)的數(shù)組或不規(guī)則數(shù)組是直接的蜒秤。表示繪圖產(chǎn)量的向量yi（si）汁咏，i = 1，...作媚，n攘滩，其中{si}是繪圖質(zhì)心的笛卡爾坐標(biāo)的兩個單元格矢量（Zimmerman和Harville 1991）。在由相等尺寸的矩形單個陣列的地塊組成的現(xiàn)場試驗(yàn)
并且等間距纸泡，行和列數(shù)可以用作笛卡爾坐標(biāo)漂问。 y的模型是
y =Xτ+ Zu +ξ+η（3.1）
要么
y =Xτ+ Zu + e，
其中e =ξ+η是繪圖誤差的向量女揭，τ（t×1）是設(shè)計(jì)矩陣X（n×t）的固定效應(yīng)的向量蚤假，u（b×1） Z（n×b），ξ（n×1）是空間相關(guān)隨機(jī)誤差向量吧兔，η（n×1）是具有成對獨(dú)立元素的均值0隨機(jī)向量磷仰。后者通常在地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)文獻(xiàn)中被稱為測量誤差或塊效應(yīng)。我們進(jìn)一步假設(shè)（u境蔼，ξ灶平，η）是成對獨(dú)立的。注意箍土，這個模型可以通過省略u和ξ或η來簡化逢享。
我們假設(shè)隨機(jī)分量的聯(lián)合分布在方程（3.1），（u吴藻，ξ瞒爬，η）是高斯分布，平均值為0沟堡，方差矩陣
其中ψ=σ2 /σ2和σ2是測量誤差的方差分量疮鲫，γ是對應(yīng)于u中可能的子向量的方差分量比的向量，ρ是空間相關(guān)參數(shù)的向量弦叶。那么y的邊際分布
需要R和G的形式來完成y的邊緣分布的規(guī)定俊犯。 ξ，表示局部空間變化的向量或“局部趨勢”的模型可以從可分離過程的類中選擇（Martin 1990; Cullis和Gleeson 1991）伤哺⊙嘞溃或者者祖，可以使用在地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)中使用并由Cressie（1991）和Zimmerman和Harville（1991）討論的協(xié)方差模型。但是這些模型通常是各向同性的绢彤，Cullis和Gleeson（1991）和Gilmour七问，Cullis和Verbyla（1997）已經(jīng)表明，各向異性模型往往被推薦用于模擬實(shí)驗(yàn)中的方差結(jié)構(gòu)茫舶。此外械巡，可分離性的假設(shè)導(dǎo)致計(jì)算機(jī)時間的顯著節(jié)省。由于大規(guī)模和小規(guī)娜氖希空間不均勻性而對變化建模類似于地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)中的建模趨勢讥耗。在這種情況下，趨勢被建模為空間協(xié)方差和/或空間坐標(biāo)的確定性函數(shù)的混合（Cressie 1991）疹启。因此古程，我們可以包括X中的空間坐標(biāo)的多項(xiàng)式函數(shù)。我們還可以通過在X和Z中包括適當(dāng)?shù)捻?xiàng)來使用平滑樣條喊崖，如Verbyla等人詳細(xì)討論的挣磨。 （1999）。
通常在Z中存在幾個隨機(jī)項(xiàng)荤懂。這些效應(yīng)通常被假定為在項(xiàng)之間和項(xiàng)內(nèi)是不相關(guān)的茁裙，使得G是包括縮放的單位矩陣的塊對角矩陣。

3.2在建模過程中使用的診斷和測試

空間建模過程通過省略等式1中的η開始节仿。 （使得e =ξ）晤锥，并且假設(shè)誤差分量的方差模型是涉及用于行和列（指定為AR1×AR1）的一階自回歸模型的可分離過程。然后粟耻，來自該模型的殘差為識別全局和外部變化以及評估局部趨勢的方差結(jié)構(gòu)的充分性提供了基礎(chǔ)查近。
除了用于檢查標(biāo)準(zhǔn)線性模型中的分布假設(shè)的通常的診斷工具之外眉踱，我們還具有檢查誤差的假設(shè)方差（或相關(guān)性）模型的充分性的額外復(fù)雜性挤忙。我們專注于以下關(guān)鍵問題：
1.全球變化和/或非穩(wěn)態(tài)的存在
2.存在外部變異，通常與行和列相關(guān)聯(lián)
3.相關(guān)模型對局部趨勢的充分性
4.需要測量誤差分量谈喳。
我們使用幾個診斷工具來檢查這些問題册烈。首先，我們檢查殘差的圖婿禽，其是殘差對行（列）數(shù)的條件關(guān)于列（行）的圖赏僧。檢查這個圖經(jīng)常揭示數(shù)據(jù)異常和全球趨勢的存在。
下一個圖形診斷涉及樣本變異函數(shù)扭倾。首先淀零，我們記得數(shù)據(jù)（以及誤差）由一組n個笛卡爾坐標(biāo)si索引，其中sri =（six膛壹，siy）r驾中。因此唉堪，誤差向量e的元素ei由ei（si）給出。此外肩民，我們定義圖i和j之間的位移矢量為lij = | si-sj |唠亚。
對于隨機(jī)過程E（s），變差函數(shù)定義為
ω（s持痰，t）= 1 V（s灶搜，t）= 1 var [E（s）
其中s，t都是包含x和y坐標(biāo)的矢量工窍，V（·割卖，·）是E（·）的協(xié)方差函數(shù)。在大多數(shù)應(yīng)用中移剪，我們假設(shè)E（·）是靜止的究珊，在這種情況下ω（s，t）=ω（s-t）纵苛，并且在變差函數(shù)和相關(guān)函數(shù)ρ（l）即
ω（1）=σ2（1-ρ（1））剿涮。
從觀察到的殘差對之間的半平方差（也稱為半變量）計(jì)算樣本變異圖，
vij = 1 [ei（si）-ej（sj）] 2攻人，?i入客，j = 1，...循帐， i / = j给赞。
當(dāng)e是高斯分布時，vij的抽樣分布是
vij
?χ蓬坡，
ω（si猿棉，sj）1

使得對于ω（si，sj）vij是不偏置的屑咳。
在大多數(shù)現(xiàn)場實(shí)驗(yàn)中萨赁，將有許多具有相同絕對位移的vij，因?yàn)檫@些圖以規(guī)則陣列排列兆龙。也就是說杖爽，位移矢量lij = si-sj的分量的絕對值取值0，d1紫皇，2d1慰安，...，（r-1）d1和0聪铺，d2化焕，2d2，...铃剔， c-1）d2撒桨，其中d1和d2是繪圖尺寸脂倦。
樣本變差函數(shù)被作為三元組（x，y元莫，z）=（| lij x |赖阻，| lijy |，vˉij）踱蠢，其中l(wèi)ij x = six_sjx火欧，lijy = siy -sjy是行和列位移vij是具有相同絕對位移的vij的樣本均值。 （參見Haskard茎截，Cullis和Verbyla 2007對于變異函數(shù)的更一般的解釋苇侵。）我們選擇將樣本變異函數(shù)呈現(xiàn)為截?cái)嗟臉颖咀儺惡瘮?shù)，作為在每個平均值中具有大于約30對的三元組的透視圖企锌。實(shí)際上榆浓，我們用估計(jì)e - 替換真實(shí)殘差e的向量（更多細(xì)節(jié)見Gilmour，Cullis和Verbyla 1997）撕攒。
Gilmour陡鹃，Cullis和Verbyla（1997）以非正式的方式使用樣本變異函數(shù)，并依賴于對修正模型的后續(xù)正式測試以支持視覺解釋抖坪。全局和/或外來變異的存在通常在樣本變異函數(shù)中產(chǎn)生非常獨(dú)特的模式萍鲸。意識到這些模式可以幫助建模過程。這些模式在第4節(jié)中詳細(xì)討論擦俐。
在這里我們提出一種增強(qiáng)診斷脊阴，以輔助解釋。我們考慮樣本變異函數(shù)的兩個“面”蚯瞧，即嘿期，對應(yīng)于零行/列位移的切片，用大約95％的點(diǎn)覆蓋間隔增加埋合。我們將行面定義為對應(yīng)于零列位移的切片备徐，并且將列面定義為對應(yīng)于零行位移的切片。覆蓋間隔通過以與Atkinson（1985）報(bào)道的方式類似的方式通過模擬當(dāng)前模型來獲得饥悴，該方法構(gòu)造用于半正態(tài)圖的包絡(luò)坦喘。過程中的步驟如下：
1.將線性混合模型擬合到觀察數(shù)據(jù)以獲得方差參數(shù)和固定效應(yīng)的估計(jì)盲再。用σ2西设，γ0，ρ0答朋，ψ0和τ0表示這些贷揽。計(jì)算行和列面的樣本變量坐標(biāo)。相關(guān)聯(lián)的矢量由vro和vco表示梦碗，每個具有由位移值的數(shù)量（分別對于行和列面的r和c）給出的長度禽绪。
給定步驟1中的方差參數(shù)的估計(jì)蓖救，模擬隨機(jī)效應(yīng)的值。因此印屁，通過從分布N（0循捺，σ2G（γ0））采樣來生成u ;通過從N（0，σ2Σ（ρo））采樣來生成ξ;并通過從N（0雄人，σ2ψo(hù)I）采樣來生成η从橘。因此，生成的數(shù)據(jù)具有形式
y * =Xτo + Zu * +ξ +η*础钠。
然后將混合模型應(yīng)用于生成的數(shù)據(jù)恰力，并計(jì)算由vr *和vc *表示的行和列面的關(guān)聯(lián)樣本變量坐標(biāo)。
3.重復(fù)步驟2大量（N）次以獲得變量坐標(biāo)vr * ik（對于i = 1旗吁，...踩萎，r和k = 1，...很钓，N）和vc * jk 1香府，...，c码倦，k = 1回还，...，N）叹洲。對于

行面柠硕，計(jì)算第i個位移的平均值為.N

vr * ik

/ N。

還計(jì)算每個位移的2.5％和97.5％百分位數(shù)运提。對柱面也這樣做蝗柔。最后，繪制觀察到的變異圖面以及來自模擬的均值和百分位數(shù)民泵。
在這項(xiàng)工作中癣丧，我們選擇了基于N = 1000模擬的覆蓋區(qū)間;然而，基于較少模擬（低至N = 100）的間隔足以用作此處檢查的數(shù)據(jù)集大小的診斷工具栈妆。
在概念上胁编，也可以用覆蓋間隔來增大樣本變差函數(shù)的完整三維圖，但是這可能是壓倒性的鳞尔。因此嬉橙，我們使用面孔的覆蓋區(qū)間，并建議除了三維樣本變差函數(shù)之外檢查這些圖形寥假。重要的是觀察后者市框，而不注意變差函數(shù)的面。面部將警告從業(yè)者潛在的問題糕韧，但是這些不可能是真實(shí)的枫振，除非發(fā)現(xiàn)在整個三維變差函數(shù)中一致地發(fā)生喻圃。如果不使用覆蓋區(qū)間，可能會完全錯過一些效果粪滤。
通過標(biāo)準(zhǔn)或非標(biāo)準(zhǔn)限制最大似然（REML）比率檢驗(yàn)（REMLRT）提供具有嵌套方差結(jié)構(gòu)但相同固定效應(yīng)模型的模型的正式檢驗(yàn)斧拍。例如，REMLRT可以用于測試與外部變化相關(guān)的隨機(jī)效應(yīng)的顯著性杖小。在這些情況下饮焦，零假設(shè)規(guī)定了感興趣的設(shè)計(jì)因子的方差分量為0.這不包括兩個嵌套模型之間的REML對數(shù)似然的變化的D = -2倍的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)果，其中存在減少一個方差參數(shù)分布為χ2漸近窍侧。 Stram和Lee（1994）的結(jié)果可用于這些情況县踢。 REMLRT統(tǒng)計(jì)量D的近似p值為0.5（1-Pr（χ2≤d）），其中d是D的觀測值伟件。ψ> 0的測量誤差方差也使用該結(jié)果硼啤。使用D的標(biāo)準(zhǔn)漸近分布來執(zhí)行空間相關(guān)參數(shù)的零值的測試「耍可以使用基于Wald統(tǒng)計(jì)的近似F檢驗(yàn)來測試涉及固定效應(yīng)的假設(shè)谴返。我們使用Kenward和Roger的方法計(jì)算分母自由度（1997）。在單自由度對比的情況下咧织，我們可以報(bào)告近似的t統(tǒng)計(jì)量（F統(tǒng)計(jì)量的平方根）嗓袱。
包括測量誤差項(xiàng)的強(qiáng)統(tǒng)計(jì)和生物學(xué)原因（Wilkinson等人，1983）习绢。這個術(shù)語隱含在Wilkinson等人的原始趨勢加誤差模型中渠抹。 （1983）和Besag和Kempton（1986）。 Cullis et al闪萄。 （1998）證明包括測量誤差項(xiàng)（η在等式（3.1））不一定增加計(jì)算負(fù)荷梧却，雖然當(dāng)自回歸相關(guān)參數(shù)小時存在可識別性的問題。
在這項(xiàng)工作中的所有分析使用ASReml-R（Butler等人2007）進(jìn)行败去。

4.實(shí)施例

4.1 WHEAT試驗(yàn)

在這里我們提出了小麥試驗(yàn)的空間分析結(jié)果放航。詳細(xì)描述了Wongan Hills研究站（指定為WH-W試驗(yàn)）的試驗(yàn)的建模過程。選擇該試驗(yàn)是因?yàn)樗f明了錐形播種機(jī)對空間變化的影響圆裕」泖ⅲ總結(jié)了其他試驗(yàn)的結(jié)果。
表3提供了WH-W試驗(yàn)的模型序列的概述吓妆。我們開始用一個可分離的過程建纳奘保空間變化，包括行和列的第一階自回歸模型耿战。這是Gilmour蛋叼，Cullis和Verbyla（1997）使用的模型焊傅，我們發(fā)現(xiàn)這對于模擬局部趨勢很有用剂陡。
圖1中每列的殘差相對于行數(shù)的圖示表明在第4列（第7和17行）和第12列（第6和16行）中有些不尋常的數(shù)據(jù)點(diǎn)狈涮。在線性混合模型中對異常值的正式測試是一個困難的問題，是正在進(jìn)行的研究的主題鸭栖。對于我們的例子歌馍，數(shù)據(jù)被檢查對場記錄，并發(fā)現(xiàn)是正確的晕鹊，因此保留在數(shù)據(jù)集中作進(jìn)一步分析松却。存在外來變異的指示，特別是產(chǎn)量相對于行數(shù)的線性增加;然而溅话，對于這些數(shù)據(jù)晓锻，使用樣本變異函數(shù)更容易識別變異。圖2給出了表3中提出的三個模型的樣本變異函數(shù)飞几。這里我們首先關(guān)注部分（a）中描述的模型1的變異函數(shù)砚哆。對應(yīng)于局部趨勢的AR1×AR1模型的理論變差函數(shù)是平滑的，并且在x和y方向上以指數(shù)方式增加到過程的方差的公共基底（asymptote）屑墨。樣本變異圖顯示出與此形式的明顯偏離躁锁。行的模型的不適當(dāng)性清楚地示出在圖3（a）中。樣本變異圖看起來與模型1的1000次模擬的平均值非常不同卵史。它在多個位移處落在95％覆蓋范圍之外战转。關(guān)鍵特征是隨著行方向（x）上的位移增加，半變化的穩(wěn)定增加[圖2（a）和3（a）]以躯。這個特性通常意味著在殘差中存在線性漂移槐秧。模型2包括行數(shù)收益的線性回歸，以說明這種全球趨勢忧设。相關(guān)的近似Wald t檢驗(yàn)非常顯著（p <0.001）色鸳。
來自模型1的樣本變差函數(shù)也具有特有的鋸齒形外觀[圖2（a）和3（a）]，表示循環(huán)行效應(yīng)见转。為了幫助識別模式及其可能的原因命雀，將表中指定為ran（row）的隨機(jī)行因子添加到模型2。
圖4繪制了來自模型3的預(yù)測行效應(yīng)斩箫。用與特定行相關(guān)的錐因子的水平來標(biāo)記效應(yīng)吏砂。對于用錐形播種機(jī)的左側(cè)播種的地塊，存在明顯的產(chǎn)量損失乘客。傳統(tǒng)上假設(shè)該效應(yīng)是平均0高斯過程的獨(dú)立實(shí)現(xiàn)狐血，阻塞因子，例如完全塊設(shè)計(jì)中的復(fù)制和可解決的不完全塊設(shè)計(jì)的復(fù)制內(nèi)的塊易核。對于這里的阻塞因子（即行）匈织，對效應(yīng)的公共均值的假設(shè)是清楚的是不合適的。對于錐形播種機(jī)的每一側(cè)有單獨(dú)的平均值。因此缀匕，我們需要在這個模型中的固定錐因子纳决。
模型4包括錐作為因子。這種效應(yīng)的近似Wald t-statistic非常顯著（p <0.001）乡小。圖2（b）顯示了來自該模型的殘差的樣本變差函數(shù)阔加。大多數(shù)外來變化已經(jīng)被去除，包括兩個項(xiàng)满钟，lin（row）和cone胜榔。模型4a用于測試隨機(jī)行項(xiàng)的顯著性，現(xiàn)在表示未被錐效應(yīng)考慮的殘余行變化湃番。
即使這不是高度顯著（p = 0.07）夭织，它仍然保留在模型中。
對變異圖的仔細(xì)檢查表明柱效應(yīng)仍然可能存在于來自該模型的殘差中吠撮。為了看到這一點(diǎn)摔癣，我們考慮誤差過程的理論變差函數(shù)，它是三個獨(dú)立隨機(jī)項(xiàng)的和纬向，
eij = ri + cj +δij择浊，

其中eij是繪圖（i，j）的誤差逾条，ri是行i的效果琢岩，cj是列j的效果，δij是殘差师脂。如果我們將這些項(xiàng)的方差分量表示為σ2担孔，σ2，

和σ2

r c

因此吃警，如果存在行效應(yīng)糕篇，則當(dāng)x = 0時減小半變量，并且如果存在列效應(yīng)酌心，則當(dāng)y = 0時減少半變量拌消。
圖2（b）中的樣本變差函數(shù)表明任何行位移的半變化從零到非零列位移的跳躍，這表示隨機(jī)列效應(yīng)安券。通過檢查對應(yīng)于零柱位移的樣品變差函數(shù)的面（圖3（b））墩崩，更容易看到效果。樣本變異函數(shù)的曲線（約0.03）遠(yuǎn)低于模擬的平均值（0.04）侯勉，位于覆蓋區(qū)間的下邊界鹦筹。這表明隨機(jī)列效應(yīng)。注意址貌，這些效應(yīng)的方差分量的估計(jì)可以作為基值的差值铐拐，即0.01徘键。
模型5包括隨機(jī)列效應(yīng)。與模型4相比遍蟋，REML對數(shù)似然值有顯著增加。來自模型5的殘差的樣本變量圖（如圖2（c）所示）與局部趨勢的方差模型的理論變量圖合理一致匿值。樣本變異圖[圖3（c）和（f）]的面與來自模擬的平均值良好一致赠制，并且處于95％覆蓋區(qū)間內(nèi)赂摆。對于局部趨勢的空間相關(guān)性參數(shù)的REML估計(jì)很行尽（表4），如在樣本變異函數(shù)中所反映的烟号。線（行）和錐的固定效應(yīng)是顯著的绊谭。
表4和表5顯示了每個小麥試驗(yàn)的最終空間模型的方差參數(shù)的REML估計(jì)值和固定效應(yīng)的廣義最小二乘估計(jì)值。與行和列相關(guān)的全局和外部變化存在于所有試驗(yàn)中汪拥。錐形播種機(jī)的效果對于兩個試驗(yàn)是明顯的达传，而對于KT-W，觀察到收獲方向的顯著效果迫筑。 KT-W宪赶，MD-W和ND-W的局部趨勢的空間相關(guān)性較強(qiáng)。包括測量誤差僅對KT-W是有必要的脯燃，REML對數(shù)似然性的增加為7.65單位（p <0.001）搂妻。圖5繪制了來自具有（a）和沒有（b）測量誤差項(xiàng)的最終空間模型的殘差的y = 0的半變量。具有測量誤差的模型的繪圖誤差e由兩個分量的和給出;見等式（3.1）辕棚。覆蓋間隔和來自1000次模擬的平均值疊加在圖上欲主。 （a）中的樣本變異函數(shù)看起來與模擬的平均值非常不同，而（b）顯示出改善的一致性逝嚎。

4.2 LUPIN試驗(yàn)

我們現(xiàn)在詳細(xì)描述在Wongan山研究站的試驗(yàn)的分析扁瓢。
我們總結(jié)了來自表6，7和8中所有羽扇豆試驗(yàn)分析的結(jié)果补君。
表6給出了適用于WH-L的模型序列的概述引几。建模過程開始于定義AR1×AR1模型，沒有測量誤差挽铁，如前所述她紫。圖6（a）示出了來自模型1的殘差的樣本變差函數(shù)，指示存在系統(tǒng)行效應(yīng)屿储。該特征支配對應(yīng)于零列位移的變差函數(shù)和面（圖7（a））贿讹。如在WH-W的分析中，將隨機(jī)行因子添加到模型1以研究這些效應(yīng)的性質(zhì)够掠。
圖8繪制了來自模型2的預(yù)測行效應(yīng)對行數(shù)的圖民褂。這些點(diǎn)用每排的收獲方向標(biāo)記（見表2）。收獲方向的影響是清楚的，雖然這個圖表明該效果可能不一致的整個試驗(yàn)赊堪。這是完全可能的面殖，因?yàn)槭斋@方向的效果主要是收獲期間不完全谷物恢復(fù)的結(jié)果。試驗(yàn)地點(diǎn)的坡度哭廉，盛行的風(fēng)向和作物倒伏的程度均可影響收獲期間谷物的恢復(fù)脊僚。選擇試驗(yàn)地點(diǎn)是合理的，如果當(dāng)時的風(fēng)力強(qiáng)度被認(rèn)為是一個問題遵绰，則停止采伐辽幌。盡管有這些預(yù)防措施，在東風(fēng)方向收獲的地塊與在西風(fēng)方向收獲的地塊之間的產(chǎn)量差異為約0.22t / ha（參見表8）椿访，代表試驗(yàn)平均產(chǎn)量的13％乌企。
模型3包括收獲方向作為固定因子。相關(guān)的近似Wald檢驗(yàn)是顯著的（p <0.001）成玫。來自該模型的殘差的樣本變量圖[圖6（b）]示出當(dāng)y = 0（列效應(yīng)）和當(dāng)x = 0（行效應(yīng)）時隨機(jī)效應(yīng)減少的一些證據(jù)加酵。使用樣本變差函數(shù)的面更好地說明這些效應(yīng)。在圖7（b）和（e）中哭当，樣本變異圖的基石遠(yuǎn)低于模擬的平均值猪腕，并且接近覆蓋區(qū)間的下邊界。附加的钦勘，相當(dāng)奇怪的特征是樣品變差函數(shù)在行方向上的鋸齒性質(zhì)[圖6（b）和7（b）]陋葡。這表明對于局部趨勢需要不同的相關(guān)模型。 AR1×AR1模型不能充分解釋y = 0的模式个盆。
模型4包括行和列效應(yīng)脖岛，并使用AR2×AR1模型用于局部趨勢。 REML對數(shù)似然增加了22.2單位颊亮。我們將模型4（a）柴梆，（b）和（c）與模型4進(jìn)行比較，以分別評估與列终惑，行和AR2×AR1過程相關(guān)的每個附加方差參數(shù)對局部趨勢的貢獻(xiàn)绍在。 AR2×AR1模型明顯優(yōu)于AR1×AR1模型[模型4和4（c）的比較]。行的方差分量是重要的[模型4與模型4（b）]雹有，而列的方差分量在5％水平[模型4與模型4（a）]不顯著偿渡，但保留在模型中。圖6（c）給出了來自該模型的殘差的樣本變差函數(shù)霸奕。對于零列位移的變差函數(shù)的面[圖7（c）]表明溜宽，用于行的AR（2）處理比AR（1）處理更合適，其中樣本變差函數(shù)現(xiàn)在表現(xiàn)出與模擬的手段质帅。來自該模型[圖7（c）和（f）]的變異函數(shù)的兩個面顯示與95％覆蓋區(qū)間內(nèi)的平均值和位置良好一致适揉。
表7示出了模型4的方差參數(shù)的REML估計(jì)留攒。自回歸參數(shù)指示與滯后1相關(guān)（0.188 = 0.094 /（1-0.499））相比的滯后2相關(guān)的強(qiáng)度（0.517 = 0.499 + 0.0942 / 1?0.499））。對于差異的合理解釋是收獲方向的影響是瞬時的嫉嘀，并且可以反映坡度或作物倒伏的局部變化炼邀。因此，相鄰地塊的谷物恢復(fù)是負(fù)相關(guān)的剪侮，這抵消了從平滑生育趨勢的積極關(guān)聯(lián)拭宁。缺乏有效數(shù)據(jù)可用于保證更復(fù)雜的空間方差模型（參見Box和Jenkins 1970，pp瓣俯。121-122）杰标。
表7和表8總結(jié)了所有羽扇豆試驗(yàn)的最終空間模型的方差參數(shù)的REML估計(jì)和固定效應(yīng)的廣義最小二乘估計(jì)。如在小麥試驗(yàn)中降铸，對所有試驗(yàn)檢測到全局和外來變異在旱。收獲方向的影響對所有試驗(yàn)都是顯著的摇零。此外推掸，在MG-L，對于圖4驻仅，圖8谅畅，...分開的半變異性持續(xù)減小。這對應(yīng)于用錐形種子播種機(jī)的同一側(cè)播種并且在相同方向上的圖噪服。因此毡泻，我們包括列，播種方向和錐形播種機(jī)之間的隨機(jī)三向相互作用粘优，以解釋這種影響（見表7）仇味。在這種情況下，高階自回歸移動平均模型可能證明是有用的雹顺。

討論

本文提出的例子強(qiáng)調(diào)需要一個建模方法來分析現(xiàn)場試驗(yàn)丹墨。我們發(fā)現(xiàn)無法使用單個平滑空間模型充分建模的外來變化的明確證據(jù)。如在Gilmour嬉愧，Cullis和Verbyla（1997）的工作中贩挣，變化與已知來源相關(guān)，即與田行和列對齊的農(nóng)藝實(shí)踐没酣。
在提出使用數(shù)據(jù)驅(qū)動建模時王财，我們注意到診斷的需要，這將有助于適當(dāng)?shù)哪Ｐ瓦x擇和防止過度配置裕便。 Gilmour绒净，Cullis和Verbyla（1997）建議檢查樣本變異函數(shù)，但我們后來發(fā)現(xiàn)偿衰，沒有經(jīng)驗(yàn)的用戶可能很難解釋這些挂疆。在本文中论颅，我們通過以更正式的方式檢查樣本變差函數(shù)來解決這個問題，用大約95％的覆蓋間隔擴(kuò)大變差函數(shù)的面囱嫩。這是一個重要的增強(qiáng)恃疯，導(dǎo)致更容易和更知情的模型選擇。在確定了適應(yīng)外部和全局變化的看似最終模型之后墨闲，可以考慮對固定空間趨勢的充分性的正式診斷今妄。 Cullis，McGilchrist和Gleeson（1991）獲得了大量樣本分布的現(xiàn)場實(shí)驗(yàn)誤差診斷鸳碧。這項(xiàng)工作可以擴(kuò)展到樣本變差函數(shù)盾鳞，以獲得大樣本置信區(qū)間，從而執(zhí)行形式測試瞻离。
這些例子的分析表明腾仅，某些農(nóng)藝實(shí)踐的使用如何使建模過程復(fù)雜化。不是依賴于分析調(diào)整和隨機(jī)近似套利，優(yōu)選避免使用它們推励。即使這是可能的，仍然可以預(yù)期到外部變化肉迫。這對實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)有影響验辞。例如，Eccleston和Chan（1998）提出了一種方法喊衫，可以適應(yīng)幾個變異源跌造，包括隨機(jī)行和列效應(yīng)和平滑的空間趨勢，Cullis族购，Smith和Coombes（2006）考慮了具有預(yù)定空間相關(guān)結(jié)構(gòu)壳贪。
觀察到非平滑外部變化和平滑空間趨勢的規(guī)律性需要使用建模方法進(jìn)行分析。非常樂觀的期望一個單一的隨機(jī)模型來充分模擬在現(xiàn)場試驗(yàn)數(shù)據(jù)中可能出現(xiàn)的所有變化來源寝杖。一旦外來變化已經(jīng)適應(yīng)违施，協(xié)調(diào)變量結(jié)構(gòu)的平滑空間趨勢的選擇可能有點(diǎn)問題。由Cullis和Gleeson（1991）和Gilmour朝墩，Cullis和Verbyla（1997）提出的可分離靜止過程的性能是眾所周知的醉拓。與替代模型比較的基礎(chǔ)，如Besag和Higdon（1999）的非穩(wěn)定模型收苏，但是還不清楚亿卤。這可能是一個進(jìn)一步研究的主題，雖然空間變化的平滑分量的模型的選擇可能沒有實(shí)際影響鹿霸。