? 其實(shí)洪囤，思考早就寫(xiě)在我先前的簡(jiǎn)書(shū)和頭條的文章中，這里只不過(guò)是借兩道數(shù)學(xué)題來(lái)給讀者講解下先前的思考結(jié)果撕氧。
第一題
? 高中題瘤缩。已知函數(shù),實(shí)數(shù)m，n滿(mǎn)足
? 這是今日頭條一位老師視頻中的題剥啤，我80年代末期讀高中自學(xué)數(shù)學(xué)時(shí)應(yīng)該沒(méi)學(xué)過(guò)三次函數(shù)锦溪，那時(shí)刷的題不多沈条，看的數(shù)學(xué)書(shū)不多惭蟋，還看與學(xué)習(xí)無(wú)關(guān)的書(shū)籍，也沒(méi)碰到過(guò)和三次函數(shù)有關(guān)的這樣的求和題如筛，但在高中自學(xué)時(shí)把數(shù)學(xué)思維玩的熟牺丙，初高中數(shù)學(xué)知識(shí)沒(méi)啥好玩的则涯，容易學(xué)，玩數(shù)學(xué)思維才有意思冲簿，初高中數(shù)學(xué)知識(shí)是玩數(shù)學(xué)思維鍛煉思維時(shí)的工具粟判，或指月之手，過(guò)河之舟峦剔，我們的目的是知道月亮在哪档礁、過(guò)河、鍛煉數(shù)學(xué)思維能力吝沫，領(lǐng)悟思維之道事秀，別一直偏重手指和舟，只盯著手指和舟野舶。讀大學(xué)期間很少學(xué)習(xí)易迹，掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)也不多，也不是數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)平道，幾十年來(lái)也不玩數(shù)學(xué)睹欲。
? ? 此時(shí)我如何處理？
? ? 我想到了聯(lián)想思維和類(lèi)比思維一屋，從思維方法論工具箱中搬出它們來(lái)用窘疮。另外，窮則思變冀墨，碰到無(wú)從下手的題闸衫，要有變化的思想和聯(lián)系&關(guān)系思想，找關(guān)系建構(gòu)關(guān)系才有出路诽嘉，要變化才有出路蔚出。
? ? 觀察題目特征，有3次函數(shù)虫腋，所以就聯(lián)想到2次函數(shù)骄酗，再聯(lián)想到二次函數(shù)的配方法(配平方)，所以就類(lèi)比出配立方悦冀，配立方就是變化的操作手段趋翻，最終方法如下圖。
? 做完之后盒蟆，看了這位老師的視頻踏烙，原來(lái)三次函數(shù)有對(duì)稱(chēng)中心师骗，用二階導(dǎo)數(shù)求對(duì)稱(chēng)中心，利用對(duì)稱(chēng)中心求出m+n之和讨惩。那時(shí)讀高中辟癌，沒(méi)學(xué)過(guò)三次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心和微積分，微積分到大學(xué)才學(xué)步脓，三次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心一直沒(méi)學(xué)過(guò)愿待。
? 對(duì)這道題的解題思維過(guò)程，引發(fā)我們什么思考靴患？
1.數(shù)學(xué)知識(shí)重要仍侥，需要學(xué)。我沒(méi)學(xué)過(guò)三次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心知識(shí)鸳君，所以不知道這位老師的方法农渊。其實(shí)大多數(shù)知識(shí)不難學(xué)，可以自學(xué)或颊，就像看新聞和收集信息一樣砸紊，你掌握的多，碰到問(wèn)題時(shí)很可能就比不掌握這些信息的人反應(yīng)快或做的決策要好囱挑，信息不對(duì)稱(chēng)醉顽，但也不一定，還要有思維之道平挑。
2.掌握數(shù)學(xué)知識(shí)有多重要游添？或者說(shuō)高中掌握眾多的知識(shí)有多重要？庸俗點(diǎn)說(shuō)通熄，可能可以考上理想的大學(xué)唆涝。但很多讀過(guò)高中和大學(xué)的，你掌握的眾多數(shù)學(xué)知識(shí)有多大用處?用到了多少唇辨？還能記得多少廊酣？
3.很多時(shí)候，思維比知識(shí)重要赏枚，或者說(shuō)知識(shí)和思維同等重要亡驰。數(shù)學(xué)是鍛煉思維的體操，鍛煉思維沒(méi)有比用數(shù)學(xué)更好的方式嗡贺。知識(shí)很容易忘記隐解，很多在人的一生中也用不上，但鍛煉出來(lái)的思維能力诫睬，靈活、嚴(yán)謹(jǐn)帕涌、系統(tǒng)摄凡、深刻续徽、辯證、批判的思維品質(zhì)亲澡，在很多行業(yè)和領(lǐng)域是需要的钦扭，受用終身的，不只是數(shù)學(xué)領(lǐng)域床绪。思維是有靈性的有智慧的客情，知識(shí)是工具，是靠思維來(lái)驅(qū)動(dòng)的癞己。
4.初高中乃至大學(xué)教育膀斋，一直偏重知識(shí)的輸貫，鮮有真正的思維能力的鍛煉熏陶痹雅，老師在講題過(guò)程中仰担，很少有能把思維過(guò)程講透徹講清楚的，通常一上來(lái)就講解題方法和知識(shí)绩社，層次不夠高摔蓝，浪費(fèi)了用好題來(lái)鍛煉思維的機(jī)會(huì)，學(xué)生很難體會(huì)到思維的樂(lè)趣愉耙，不知道如何用思維方法論來(lái)探索發(fā)現(xiàn)解題方法贮尉，大多只是機(jī)械記住了解題方法和數(shù)學(xué)知識(shí)，過(guò)后很容易遺忘朴沿。
5.解題過(guò)程中和解題結(jié)束后猜谚，要回味自己的思維過(guò)程和解題后的思維總結(jié)體會(huì)，得與失：怎么思考分析的悯仙，運(yùn)用了哪些思維方法龄毡，哪些思想方法，寫(xiě)出對(duì)思維方法和思想方法的實(shí)踐體會(huì)锡垄。例如這道題我通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)題目特征:三次函數(shù)沦零。類(lèi)比二次函數(shù)，類(lèi)比二次函數(shù)的配方法(配平方)货岭，我想到要對(duì)三次函數(shù)配立方路操。這道題鍛煉了類(lèi)比思維能力和辯證法的聯(lián)系觀，關(guān)系思想千贯、函數(shù)思想屯仗、構(gòu)造思想。
? 理想的數(shù)學(xué)考試搔谴，應(yīng)該取消選擇題魁袜，另一個(gè)對(duì)有些題，不能只有解題方法，要學(xué)生寫(xiě)出自己的思維過(guò)程和解題后的思維總結(jié)體會(huì)峰弹。
? 數(shù)學(xué)是鍛煉思維的體操店量，只有對(duì)各種思維方法和思想方法念念不忘，在初高中數(shù)學(xué)物理學(xué)習(xí)中鞠呈，經(jīng)常把它們掛在嘴上融师，寫(xiě)在紙上，印在腦中蚁吝，多探索多體會(huì)它們的作用旱爆。玩索而有得，這樣才能達(dá)到鍛煉思維的目的窘茁，而不只是偏重對(duì)知識(shí)的學(xué)習(xí)掌握怀伦，這樣即便掌握很多知識(shí)，碰到有難度的題庙曙，沒(méi)有思維方法去破題空镜，眾多知識(shí)也難以運(yùn)用。
第二題
? 如圖捌朴，邊長(zhǎng)為6的正三角形ABC吴攒，對(duì)三邊作6等分線(xiàn)，出現(xiàn)各種大小的三角形砂蔽，求圖中三角形的總數(shù)洼怔。這題是小學(xué)題，但高中生也可以做左驾，可以推廣擴(kuò)展下镣隶，考慮邊長(zhǎng)為n且n等分時(shí)的情況。
對(duì)這道題诡右，要把做這道題鍛煉了什么思維方法和思想方法安岂，讓學(xué)生理解，而不是只教學(xué)生數(shù)數(shù)帆吻。
這道題域那，鍛煉觀察能力，形象思維能力和歸納能力猜煮〈卧保可發(fā)現(xiàn)所有大大小小的三角形都是正三角形，且三角形有兩種形式王带，如下圖所示淑蔚，一種是一個(gè)頂點(diǎn)在上方，另一種是兩個(gè)頂點(diǎn)在上方愕撰。
除此之外刹衫，這題顯然還鍛煉有序化思想醋寝、分類(lèi)思想、化整為零思想绪妹。三角形按邊長(zhǎng)大小分成6類(lèi)甥桂，對(duì)每一類(lèi)三角形計(jì)數(shù)柿究，再匯總起來(lái)就是所求的總數(shù)邮旷。在計(jì)數(shù)時(shí)，按邊長(zhǎng)大小從小到大的順序計(jì)數(shù)蝇摸，且從上到下婶肩，從左到右計(jì)數(shù)。這樣就不容易遺漏貌夕，也不容易重復(fù)律歼。
高中生就不要只限于做這樣的題，要推廣擴(kuò)展下啡专，考慮邊長(zhǎng)為n且n等分時(shí)的情況下有多少個(gè)三角形险毁。
邊長(zhǎng)為n，這是抽象情況们童，抽象問(wèn)題如果不好解決畔况，可運(yùn)用抽象到具體的辯證思維，以退為進(jìn)簡(jiǎn)化問(wèn)題慧库，考察下邊長(zhǎng)為1跷跪、2、3齐板、4吵瞻、5、6等具體數(shù)字且數(shù)字較小時(shí)的情況甘磨，得到一些啟發(fā)和感性經(jīng)驗(yàn)橡羞，歸納猜想出結(jié)論，或從簡(jiǎn)化問(wèn)題中得到啟發(fā)和感性經(jīng)驗(yàn)之后济舆，再回到邊長(zhǎng)為n的情況卿泽。
根據(jù)從邊長(zhǎng)為具體數(shù)字時(shí)得到的啟發(fā)和感性認(rèn)識(shí)：三角形為正三角形、可運(yùn)用分類(lèi)思想吗冤、有序化思想又厉、化整為零思想。我們可得出n時(shí)的情況椎瘟。
另一種數(shù)學(xué)思想也很容易想到覆致，就是遞推思想，邊長(zhǎng)為n且n等分時(shí)的情況可由邊長(zhǎng)為n-1且n-1等分的情況演化而來(lái)肺蔚，就是在n-1三角形下方增加1個(gè)長(zhǎng)度煌妈，延伸下等分線(xiàn)。再考慮從n-1到n時(shí)增加了多少三角形(增量)。這些增加的三角形璧诵，必有一個(gè)或兩個(gè)頂點(diǎn)在邊長(zhǎng)為n的三角形的底邊汰蜘。抽象化地統(tǒng)一考慮邊長(zhǎng)為k()的三角形增加了多少，得到一個(gè)公式
之宿，再
族操，從1到n累加起來(lái)就得到增量
。在得到
的時(shí)候比被，要注意觀察圖形色难，要發(fā)現(xiàn)在考慮兩個(gè)頂點(diǎn)在上方的三角形的計(jì)數(shù)，要滿(mǎn)足必要條件
等缀，故要按n的奇偶性來(lái)討論枷莉。
另外在計(jì)數(shù)時(shí)，要運(yùn)用對(duì)應(yīng)思想尺迂，找出三角形和它的其中一個(gè)頂點(diǎn)(例如左下方的頂點(diǎn)或下方的頂點(diǎn))的對(duì)應(yīng)關(guān)系笤妙，把對(duì)三角形的計(jì)數(shù)變成對(duì)頂點(diǎn)的計(jì)數(shù)。
? 設(shè)邊長(zhǎng)為n時(shí)的三角形個(gè)數(shù)為,則
噪裕《着蹋考慮n的奇偶性，數(shù)列累加就可得出
? 自己回味總結(jié)下做這道題在思維&思想上的收獲辜限。
? 每道有意義的數(shù)學(xué)題都這樣回味總結(jié)，數(shù)學(xué)思維能力就容易鍛煉好严蓖，不要只盯著解題方法和方法中涉及到的底層的數(shù)學(xué)知識(shí)和低級(jí)的數(shù)學(xué)方法薄嫡，它們大多數(shù)很簡(jiǎn)單，難點(diǎn)在思維上颗胡，也就是難在如何想毫深、想什么上，難在解題的分析與破題上毒姨，如何思考出解題方法哑蔫，這才是需要領(lǐng)悟的大道：數(shù)學(xué)思維之道&數(shù)學(xué)思維方法論體系。否則就是本末倒置弧呐，買(mǎi)櫝還珠闸迷，撿了芝麻丟了西瓜。
