無(wú)伴奏的阿基里斯奏鳴曲
? ? 從這一章開始作者選擇了奏鳴曲的格式作為引言昧捷，那么何為奏鳴曲闲昭？——奏鳴曲（Sonata），是由一件獨(dú)奏樂(lè)器演奏或由一件獨(dú)奏樂(lè)器和鋼琴合奏的器樂(lè)套曲靡挥。其有兩種常見形式序矩，一種叫三重奏鳴曲，另一種叫獨(dú)奏（或二重）奏鳴曲跋破。所謂三重奏鳴曲即三個(gè)聲部簸淀，兩個(gè)小提琴聲部瓶蝴，一個(gè)由大提琴和古鋼琴演奏的通奏低音聲部，直到鋼琴的出現(xiàn)租幕，原來(lái)處于主導(dǎo)地位的弦樂(lè)讓位于鍵盤樂(lè)器舷手，鋼琴成為奏鳴曲的主角。那么無(wú)伴奏的奏鳴曲就只剩下主旋律樂(lè)器的獨(dú)奏了令蛉，比如最有名的巴赫的三首無(wú)伴奏小提琴奏鳴曲聚霜，被譽(yù)為“小提琴演奏的圣經(jīng)”，巴赫設(shè)計(jì)了小提琴表達(dá)所能演奏的一切和弦珠叔，使用了幾乎不可能演奏的對(duì)位技巧蝎宇。
? ? 扯遠(yuǎn)了，那么本文中作者只讓阿基里斯一人對(duì)話祷安，而烏龜?shù)幕卮鸢诹税⒒锼沟幕卮鹬欣呀妫徽前⒒锼挂粋€(gè)人的無(wú)伴奏對(duì)話，但完整到足以讓人們聽出對(duì)話內(nèi)容嗎汇鞭。當(dāng)然這也是為圖形與襯底做鋪墊凉唐，對(duì)話中“秋鵲”的字謎與艾舍爾的《鑲嵌畫》拋磚引玉，足見遣詞造句之功底霍骄。
圖形與襯底
? ? 素?cái)?shù)&合數(shù)
????關(guān)于素?cái)?shù)也許數(shù)學(xué)家唐·察吉爾在1975年這樣評(píng)論“像生長(zhǎng)于自然數(shù)間的雜草台囱，似乎不服從幾率之外的法則，但是又表現(xiàn)出驚人的規(guī)律性读整，并由規(guī)范其行為之法則簿训，并且以軍事化的精準(zhǔn)度遵守著這些法則”更能體現(xiàn)素?cái)?shù)的神秘性。作者在這里更直觀的用鑲嵌畫中圖形與襯底的關(guān)系來(lái)描述素?cái)?shù)米间、合數(shù)的關(guān)系强品。也就是說(shuō)，一旦你清楚素?cái)?shù)的性質(zhì)屈糊，根據(jù)鑲嵌的原則就可以推導(dǎo)出合數(shù)的性質(zhì)的榛，反之亦反。
? ? t-q系統(tǒng)
? ? p-q系統(tǒng)是plus-equal逻锐，那么t-q系統(tǒng)就是times-equal夫晌。作者為了構(gòu)造出表達(dá)合數(shù)的簡(jiǎn)單方式，運(yùn)用了這兩個(gè)簡(jiǎn)單的規(guī)則昧诱。????
? ??作者創(chuàng)造了一個(gè)可以表現(xiàn)乘法的 t-q 系統(tǒng)慷丽，然后利用合數(shù)和素?cái)?shù)的性質(zhì)，也就是說(shuō)所有合數(shù)都可以用兩個(gè)大于 1 的數(shù)的乘積來(lái)表現(xiàn)鳄哭，那么在推理規(guī)則里加一個(gè)條件要糊，t-q 系統(tǒng)就變成了可以表現(xiàn)合數(shù)的形式系統(tǒng)。書中把這個(gè)一長(zhǎng)串解釋簡(jiǎn)化叫做 C 型定理。
? ? 而作者的目的是——“可我們現(xiàn)在的目標(biāo)是做一個(gè)形式系統(tǒng)锄俄，使定理都是 Px 的形狀局劲，其中字母 x 代表一個(gè)短杠符號(hào)串，并且只有當(dāng)短杠符號(hào)串中的短杠數(shù)目是素?cái)?shù)時(shí)才能成為定理奶赠。這樣鱼填，P--- 是一個(gè)定理，而 P---- 則不是毅戈。怎么能用印符操作來(lái)做這件事苹丸？”這就是這一篇當(dāng)中給出的要求，把這個(gè)可以區(qū)分素?cái)?shù)和合數(shù)的形式系統(tǒng)叫做P型定理苇经，而現(xiàn)在我們做到的是C型定理赘理。
?????C 系統(tǒng)只能表現(xiàn)合數(shù)數(shù)目的短杠數(shù)，而我們的要求是P系統(tǒng)扇单∩棠＃看起來(lái)二者之間的關(guān)系已經(jīng)非常接近了，可問(wèn)題就在于如果限制于形式系統(tǒng)的表現(xiàn)方式蜘澜，我們沒(méi)辦法從 C 系統(tǒng)跨到 P 系統(tǒng)施流。這一步的差距真的可以說(shuō)是咫尺天涯，可以聯(lián)想到上一篇筆記里說(shuō)的那個(gè)關(guān)于兩分法悖論的證明問(wèn)題鄙信。這是計(jì)算機(jī)和真人思維差距的最明顯的表現(xiàn)瞪醋，我們的思維已經(jīng)可以理解這個(gè)概念了，而計(jì)算機(jī)受制于形式系統(tǒng)装诡，無(wú)論如何也得不到那個(gè)結(jié)果趟章。
音樂(lè)與圖畫中的圖形與襯底
? ??“當(dāng)一個(gè)圖形或者‘正空間’（例如，一個(gè)人形慎王、一個(gè)字母、一個(gè)靜物）畫在畫框里時(shí)宏侍，不可避免的也就畫上了與它互補(bǔ)的形狀——也稱作‘襯底’赖淤、‘背景’或‘負(fù)空間’。在多數(shù)繪畫中谅河，這種圖形與襯底的關(guān)系不起多少作用咱旱。藝術(shù)家對(duì)襯底遠(yuǎn)不如對(duì)圖形那么感興趣”了＃”——這是圖畫中的襯底吐限。
????“在音樂(lè)中也可以找到圖形和襯底。類比之一就是旋律與伴奏之間的區(qū)別——因?yàn)樵谀撤N意義上講褂始，旋律總是處在我們注意力的前沿诸典，而伴奏是第二位的。因此當(dāng)我們?cè)谝徊繕?lè)曲的叫低聲部發(fā)現(xiàn)可識(shí)別的旋律時(shí)會(huì)很驚奇崎苗。這種樂(lè)曲在巴洛克以后的音樂(lè)中不太常見狐粱。和聲通常不被當(dāng)作是前景舀寓。但是在巴洛克音樂(lè)中——尤其是在巴赫的音樂(lè)里——各個(gè)聲部，不論是高是低或在中間肌蜻，都是起‘圖形’作用的互墓。”
? ? （其實(shí)作為一個(gè)討厭復(fù)調(diào)樂(lè)曲的人蒋搜，看不出這個(gè)比喻的恰當(dāng)性篡撵，因?yàn)閺?fù)調(diào)旋律意味著左手的旋律很強(qiáng)，而本人左手又很菜所以復(fù)調(diào)樂(lè)曲比較難彈豆挽，沒(méi)有什么好感）
素?cái)?shù)的判定系統(tǒng)
? ? 這一部分超過(guò)了我的認(rèn)知能力育谬，因此以下片段均摘自他人的文章
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????首先是遞歸，也叫做遞回祷杈，在數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)中斑司，指在函數(shù)（在數(shù)學(xué)中為兩集合的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系）的定義中使用函數(shù)自身的方法。也可以用來(lái)描述以自相似的方法重復(fù)事物的過(guò)程但汞。比如上面制作的這個(gè)tq形式系統(tǒng)的運(yùn)算就是如此宿刮，帶入下一個(gè)字符串的x、y私蕾、z的短杠數(shù)目來(lái)自于上一個(gè)字符串僵缺，如此循環(huán)往復(fù)。形象點(diǎn)說(shuō)就是
????“當(dāng)兩面鏡子相互之間近似平行的時(shí)候踩叭，鏡中嵌套的圖像就是以無(wú)限遞歸的形式出現(xiàn)的磕潮，也可以理解為自我復(fù)制的過(guò)程∪荼矗”——摘自維基百科
????而遞歸論也叫做可計(jì)算性理論（概念上來(lái)說(shuō)相對(duì)狹義一點(diǎn)）自脯，是數(shù)學(xué)邏輯當(dāng)中的一個(gè)分支。它用于研究可計(jì)算函數(shù)和圖靈度（不可解度）的研究它所考慮的基本問(wèn)題是斤富，給定一個(gè)從自然數(shù)到自然數(shù)的函數(shù) f膏潮，f 是否可以被計(jì)算的÷Γ“可以被計(jì)算”這個(gè)結(jié)果焕参，假如以我們的思維直覺(jué)來(lái)看，是有這個(gè)結(jié)果的油额，那么一個(gè)函數(shù)可以被計(jì)算就存在一個(gè)給定過(guò)程叠纷，就是有輸入，然后經(jīng)過(guò)一定的操作輸出潦嘶。把計(jì)算這個(gè)直觀的概念上升到數(shù)學(xué)層面的形式化定義就是遞歸論的根本涩嚣。對(duì)我們的直觀感受來(lái)說(shuō)，所謂計(jì)算就是輸入——計(jì)算——結(jié)果。但是針對(duì)計(jì)算本身這一操作是什么樣的缓艳？有什么規(guī)律這個(gè)問(wèn)題一般來(lái)說(shuō)不回去想的太細(xì)校摩。如果要細(xì)分的話很難講清楚，大概又會(huì)回到那個(gè)兩分法悖論的證明問(wèn)題上面去阶淘。
????那么接下來(lái)終于可以說(shuō)到遞歸集合了衙吩，遞歸集合就是在可計(jì)算理論（遞歸論）當(dāng)中，一個(gè)自然數(shù)的子集被稱為遞歸的溪窒、可計(jì)算的或具可判定性坤塞，如果可以構(gòu)造一個(gè)算法，是只能在有限時(shí)間內(nèi)終止并判定一個(gè)給定元素是否屬于這個(gè)集合澈蚌。（上面那個(gè)費(fèi)力地要構(gòu)建出來(lái)的判定素?cái)?shù)的形式系統(tǒng)就類似這么個(gè)工作摹芙。）
?????而遞歸可枚舉集合定義是：假設(shè)一個(gè)可數(shù)集合S被稱為是遞歸可枚舉、計(jì)算可枚舉的宛瞄。如果存在一個(gè)算法浮禾，可以把S集合中的成員枚舉出來(lái)。那么輸入S集合的元素時(shí)份汗，這個(gè)計(jì)算就會(huì)停止盈电，反之則會(huì)無(wú)限的運(yùn)行下去。
????這里看起來(lái)好像說(shuō)的非常復(fù)雜杯活，但其實(shí)實(shí)際操作中可能是一個(gè)意外簡(jiǎn)單的事情匆帚。因?yàn)樵谇懊娴娜齻€(gè)形式系統(tǒng)中，類似的事情我們已經(jīng)做過(guò)了旁钧。比如 WJU 形式系統(tǒng)中吸重，如果得不到要求的字符串，推導(dǎo)規(guī)則就會(huì)無(wú)限的運(yùn)行下去歪今，一直到得到那個(gè)結(jié)果嚎幸，運(yùn)算就會(huì)停止（理論上的）。p-q 系統(tǒng)和 t-q 系統(tǒng)則類似于用印符操作的方式構(gòu)建出那個(gè)計(jì)算規(guī)則寄猩。
????那么把這個(gè)問(wèn)題推廣出去嫉晶，通過(guò)前面舉出的那個(gè)圖形和襯底的問(wèn)題來(lái)看待數(shù)學(xué)集合。我們知道并不是每一幅畫都可以做到圖形和襯底有一樣的意義焦影。所以同樣的，并不是所有的數(shù)學(xué)集合都是遞歸的封断。這個(gè)問(wèn)題討論的用詞看上去非常的專業(yè)斯辰，非常的高大上，但是面對(duì)的問(wèn)題可能是一些意外的?很質(zhì)樸的問(wèn)題坡疼。
????通過(guò)形式系統(tǒng)構(gòu)建彬呻，還有素?cái)?shù)和合數(shù)的關(guān)系，以及圖形和襯底之間的關(guān)系。我們發(fā)現(xiàn)了我們是如何“知道”一些“輪廓外面的東西”闸氮。任何東西我們劃定一個(gè)畫框出來(lái)剪况，我們自己可以明確判定的東西就是輪廓，那么我們?cè)趫D形的范圍內(nèi)所有的東西都是清晰明了的蒲跨，可操作的译断。但我們也同樣了解輪廓之外的襯底部分，恰恰就是通過(guò)圖形和襯底之間的關(guān)系了解的或悲。
? ??看起來(lái)上面說(shuō)了那么多孙咪，好像很復(fù)雜，好像很難巡语。但其實(shí)在過(guò)程中結(jié)果已經(jīng)提示給我們了翎蹈。聯(lián)想阿基里斯猜測(cè)烏龜給的那個(gè)字謎一樣。我們?cè)谟懻摷m結(jié)的過(guò)程中答案已經(jīng)出來(lái)了男公。既然我們已經(jīng)得到一個(gè)用乘積來(lái)表現(xiàn)合數(shù)的 t-q 形式系統(tǒng)荤堪，而且考慮到圖形和襯底之間的關(guān)系，那我們只需要把概念顛倒過(guò)來(lái)就可以了枢赔，不需要表現(xiàn)素?cái)?shù)地乘積問(wèn)題（只能用 1 乘以素?cái)?shù)本身）澄阳，而是用除法，直接表現(xiàn)素?cái)?shù)地不可整除性就可以了糠爬。書里后來(lái)也給出了答案寇荧，直接用一條公理和一條推理規(guī)則來(lái)表現(xiàn)一個(gè)數(shù)不能整除另一個(gè)數(shù)這個(gè)概念就可以了。
（太難了真的太難了执隧，還需要反復(fù)看看）
